เหตุการณ์อิสระ: การสาธิตตัวอย่างแบบฝึกหัด - ดูดาส - 2026

เหตุการณ์สองเหตุการณ์เป็นอิสระเมื่อความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นไม่ได้รับอิทธิพลจากความจริงที่ว่าเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นโดยพิจารณาว่าเหตุการณ์เหล่านี้เกิดขึ้นแบบสุ่ม

สถานการณ์นี้เกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่กระบวนการที่สร้างผลลัพธ์ของเหตุการณ์ 1 ไม่เปลี่ยนแปลงความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ 2 แต่อย่างใด แต่ถ้าไม่เกิดขึ้นเหตุการณ์จะขึ้นอยู่กับว่า

รูปที่ 1. หินอ่อนสีมักใช้เพื่ออธิบายความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ ที่มา: Pixabay

สถานการณ์เหตุการณ์ที่เป็นอิสระมีดังนี้: สมมติว่าทอยลูกเต๋าหกด้านสองลูกหนึ่งสีน้ำเงินและสีชมพูอีกลูกหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่ 1 จะกลิ้งไปบนแม่พิมพ์สีน้ำเงินนั้นไม่ขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นที่ 1 จะกลิ้งหรือไม่กลิ้งบนดายสีชมพู

อีกกรณีหนึ่งของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เป็นอิสระคือการโยนเหรียญสองครั้งติดต่อกัน ผลของการโยนครั้งแรกจะไม่ขึ้นอยู่กับผลของการโยนครั้งที่สองและในทางกลับกัน

หลักฐานสองเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ

ในการตรวจสอบว่าเหตุการณ์สองเหตุการณ์เป็นอิสระเราจะกำหนดแนวคิดของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์หนึ่งเกี่ยวกับเหตุการณ์อื่น สำหรับสิ่งนี้จำเป็นต้องแยกความแตกต่างระหว่างเหตุการณ์พิเศษและเหตุการณ์รวม:

เหตุการณ์สองเหตุการณ์เป็นเอกสิทธิ์หากค่าหรือองค์ประกอบที่เป็นไปได้ของเหตุการณ์ A ไม่มีอะไรเหมือนกันกับค่าหรือองค์ประกอบของเหตุการณ์ B

ดังนั้นในสองเหตุการณ์พิเศษเซตของจุดตัดของ A กับ B คือสุญญากาศ:

ไม่รวมเหตุการณ์: A∩B = Ø

ในทางตรงกันข้ามหากรวมเหตุการณ์ไว้อาจเกิดขึ้นได้เนื่องจากเหตุการณ์ A เกิดขึ้นพร้อมกับอีก B โดยที่ A และ B เป็นเหตุการณ์ที่แตกต่างกัน ในกรณีนี้:

เหตุการณ์รวม: A∩B≠Ø

สิ่งนี้ทำให้เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขของเหตุการณ์ที่รวมสองเหตุการณ์กล่าวคือความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ A เมื่อใดก็ตามที่เหตุการณ์ B เกิดขึ้น:

P (A¦B) = P (A∩B) / P (B)

ดังนั้นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือความน่าจะเป็นที่ A และ B จะเกิดขึ้นหารด้วยความน่าจะเป็นที่ B จะเกิดขึ้นความน่าจะเป็นที่ B จะเกิดขึ้นตามเงื่อนไขบน A สามารถกำหนดได้:

P (B¦A) = P (A∩B) / P (A)

เกณฑ์เพื่อทราบว่าสองเหตุการณ์เป็นอิสระหรือไม่

ต่อไปเราจะให้เกณฑ์สามข้อเพื่อทราบว่าเหตุการณ์สองเหตุการณ์เป็นอิสระหรือไม่ เพียงพอแล้วที่หนึ่งในสามจะสำเร็จเพื่อให้เห็นความเป็นอิสระของเหตุการณ์

1.- ถ้าความน่าจะเป็นที่ A เกิดขึ้นเมื่อใดก็ตามที่ B เกิดขึ้นเท่ากับความน่าจะเป็นของ A แสดงว่าเป็นเหตุการณ์อิสระ:

P (A¦B) = P (A) => A เป็นอิสระจาก B

2.- ถ้าความน่าจะเป็นที่ B เกิดขึ้นโดยให้ A เท่ากับความน่าจะเป็นของ B แสดงว่ามีเหตุการณ์อิสระ:

P (B¦A) = P (B) => B เป็นอิสระจาก A

3.- ถ้าความน่าจะเป็นที่ A และ B เกิดขึ้นเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นที่ A เกิดขึ้นและความน่าจะเป็นที่ B เกิดขึ้นแสดงว่าเป็นเหตุการณ์อิสระ คอนเวิร์สก็จริงเช่นกัน

P (A∩B) = P (A) P (B) <=> A และ B เป็นเหตุการณ์อิสระ

ตัวอย่างเหตุการณ์อิสระ

เปรียบเทียบพื้นยางที่ผลิตโดยซัพพลายเออร์สองรายที่แตกต่างกัน ตัวอย่างจากผู้ผลิตแต่ละรายต้องผ่านการทดสอบหลายครั้งซึ่งสรุปได้ว่าอยู่ในข้อกำหนดหรือไม่

รูปที่ 2. พื้นยางหลากหลายแบบ ที่มา: Pixabay

ผลสรุปของกลุ่มตัวอย่าง 252 ตัวอย่างมีดังนี้:

ผู้ผลิต 1; 160 ตรงตามข้อกำหนด; 8 ไม่ตรงตามข้อกำหนด

ผู้ผลิต 2; 80 มีคุณสมบัติตรงตามข้อกำหนด 4 ไม่ตรงตามข้อกำหนด

เหตุการณ์ A: "ตัวอย่างมาจากผู้ผลิต 1"

เหตุการณ์ B: "ว่าตัวอย่างตรงตามข้อกำหนด"

เราต้องการทราบว่าเหตุการณ์ A และ B เหล่านี้เป็นอิสระหรือไม่ซึ่งเราใช้หนึ่งในสามเกณฑ์ที่กล่าวถึงในหัวข้อก่อนหน้านี้

เกณฑ์: P (B¦A) = P (B) => B เป็นอิสระจาก A

P (B) = 240/252 = 0.9523

P (B¦A) = P (A ⋂ B) / P (A) = (160/252) / (168/252) = 0.9523

สรุป: เหตุการณ์ A และ B เป็นอิสระ

สมมติว่าเหตุการณ์ C: "ที่ตัวอย่างมาจากผู้ผลิต 2"

เหตุการณ์ B จะเป็นอิสระจากเหตุการณ์ C หรือไม่?

เราใช้เกณฑ์อย่างใดอย่างหนึ่ง

เกณฑ์: P (B¦C) = P (B) => B เป็นอิสระจาก C

P (B¦C) = (80/252) / (84/252) = 0.9523 = P (B)

ดังนั้นจากข้อมูลที่มีอยู่ความน่าจะเป็นที่ยาง แต่เพียงผู้เดียวที่สุ่มเลือกนั้นตรงตามข้อกำหนดจึงไม่ขึ้นอยู่กับผู้ผลิต

แปลงเหตุการณ์อิสระเป็นเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา

ลองดูตัวอย่างต่อไปนี้เพื่อแยกความแตกต่างระหว่างเหตุการณ์ที่อ้างอิงและอิสระ

เรามีถุงที่มีลูกบอลช็อคโกแลตสีขาวสองลูกและลูกบอลสีดำสองลูก ความน่าจะเป็นที่จะได้ลูกบอลสีขาวหรือลูกบอลสีดำจะเท่ากันในการลองครั้งแรก

สมมติว่าผลลัพธ์คือลูกคิว หากลูกบอลที่ดึงออกมาถูกแทนที่ในถุงสถานการณ์เดิมจะเกิดขึ้นซ้ำ: ลูกบอลสีขาวสองลูกและลูกบอลสีดำสองลูก

ดังนั้นในเหตุการณ์ที่สองหรือการจับฉลากโอกาสในการวาดลูกคิวหรือลูกบอลสีดำจะเหมือนกับครั้งแรก พวกเขาจึงเป็นเหตุการณ์ที่เป็นอิสระ

แต่ถ้าไม่มีการเปลี่ยนลูกคิวในเหตุการณ์แรกเนื่องจากเรากินเข้าไปแล้วในการจับฉลากครั้งที่สองมีโอกาสมากขึ้นที่จะได้ลูกบอลสีดำ ความน่าจะเป็นที่การสกัดครั้งที่สองจะได้รับสีขาวอีกครั้งนั้นแตกต่างจากเหตุการณ์แรกและถูกกำหนดเงื่อนไขโดยผลลัพธ์ก่อนหน้า

การออกกำลังกาย

- แบบฝึกหัด 1

ในกล่องเราใส่หินอ่อน 10 ลูกของรูปที่ 1 ซึ่ง 2 เป็นสีเขียว 4 เป็นสีน้ำเงินและ 4 เป็นสีขาว หินอ่อนสองลูกจะถูกเลือกแบบสุ่มหนึ่งลูกแรกและหนึ่งลูกในภายหลัง ระบบจะขอให้ค้นหา
ความน่าจะเป็นที่ไม่มีเลยเป็นสีน้ำเงินภายใต้เงื่อนไขต่อไปนี้:

a) ด้วยการเปลี่ยนนั่นคือส่งคืนหินอ่อนแผ่นแรกก่อนการเลือกที่สองไปที่กล่อง ระบุว่าเป็นเหตุการณ์อิสระหรือขึ้นอยู่กับเหตุการณ์

b) หากไม่มีการเปลี่ยนทดแทนในลักษณะที่หินอ่อนก้อนแรกที่สกัดออกจากกล่องในขณะที่ทำการเลือกครั้งที่สอง ในทำนองเดียวกันระบุว่าเป็นเหตุการณ์ที่อ้างอิงหรือเป็นอิสระ

วิธีแก้ปัญหา

เราคำนวณความน่าจะเป็นที่หินอ่อนแผ่นแรกที่สกัดไม่ใช่สีน้ำเงินซึ่งเท่ากับ 1 ลบความน่าจะเป็นที่เป็นสีน้ำเงิน P (A) หรือโดยตรงว่าไม่ใช่สีน้ำเงินเพราะมันออกมาเป็นสีเขียวหรือสีขาว:

P (A) = 4/10 = 2/5

P (อย่าเป็นสีน้ำเงิน) = 1 - (2/5) = 3/5

O ดี:

P (เขียวหรือขาว) = 6/10 = 3/5

หากหินอ่อนที่สกัดได้กลับมาทุกอย่างก็เหมือนเดิม ในการจับฉลากครั้งที่สองนี้ยังมีความน่าจะเป็น 3/5 ที่หินอ่อนที่วาดจะไม่เป็นสีน้ำเงิน

P (ไม่ใช่สีน้ำเงินไม่ใช่สีน้ำเงิน) = (3/5) (3/5) = 9/25.

เหตุการณ์ต่าง ๆ เป็นอิสระเนื่องจากหินอ่อนที่แยกออกมาถูกส่งกลับไปที่กล่องและเหตุการณ์แรกไม่มีผลต่อความน่าจะเป็นที่จะเกิดเหตุการณ์ที่สอง

แนวทางแก้ไข b

สำหรับการแยกครั้งแรกให้ดำเนินการตามหัวข้อก่อนหน้า ความน่าจะเป็นที่มันไม่ใช่สีน้ำเงินคือ 3/5

สำหรับการสกัดครั้งที่สองเรามีลูกหิน 9 ลูกในถุงเนื่องจากลูกแรกไม่กลับมา แต่มันไม่ใช่สีน้ำเงินดังนั้นในกระเป๋าจึงมีลูกหิน 9 ลูกและ 5 ลูกไม่ใช่สีน้ำเงิน:

P (เขียวหรือขาว) = 5/9

P (ไม่มีสีน้ำเงิน) = P (อันดับแรกไม่ใช่สีน้ำเงิน) P (ตัวที่สองไม่ใช่สีน้ำเงิน / ตัวแรกไม่ใช่สีน้ำเงิน) = (3/5) (5/9) = 1/3

ในกรณีนี้ไม่ใช่เหตุการณ์ที่เป็นอิสระเนื่องจากเหตุการณ์แรกเป็นเงื่อนไขที่สอง

- แบบฝึกหัด 2

ร้านค้ามีเสื้อเชิ้ต 15 ตัวใน 3 ขนาด: 3 ตัวเล็ก 6 ตัวและ 6 ตัวใหญ่ 2 เสื้อจะถูกสุ่มเลือก

ก) ความเป็นไปได้ที่เสื้อเชิ้ตทั้งสองตัวที่เลือกจะมีขนาดเล็กเป็นเท่าใดหากเสื้อตัวใดตัวหนึ่งถูกนำไปก่อนและไม่มีการแทนที่ในล็อตอื่น?

b) ความเป็นไปได้ที่เสื้อเชิ้ตที่เลือกทั้งสองตัวมีขนาดเล็กเป็นเท่าใดหากดึงออกมาก่อนจะถูกแทนที่ในแบทช์และตัวที่สองจะถูกเอาออก?

วิธีแก้ปัญหา

นี่คือสองเหตุการณ์:

เหตุการณ์ A: เสื้อตัวแรกที่เลือกมีขนาดเล็ก

เหตุการณ์ B: เสื้อตัวที่สองที่เลือกมีขนาดเล็ก

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้นคือ: P (A) = 3/15

ความเป็นไปได้ที่เหตุการณ์ B จะเกิดขึ้นคือ: P (B) = 2/14 เนื่องจากเสื้อเชิ้ตถูกถอดออกไปแล้ว (เหลือ 14 ตัว) แต่นอกจากนี้เหตุการณ์ A ก็ต้องการที่จะเติมเต็มเสื้อตัวแรกที่ถอดออกจะต้องมีขนาดเล็กดังนั้น ทั้งสองมีขนาดเล็ก 2

นั่นคือความน่าจะเป็นที่ A และ B จะเป็นผลคูณของความน่าจะเป็นคือ:

P (A และ B) = P (B¦A) P (A) = (2/14) (3/15) = 0.029

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้นจึงเท่ากับผลคูณที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้นคูณความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ B เกิดขึ้นถ้าเหตุการณ์ A

ควรสังเกตว่า:

P (B¦A) = 2/14

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ B เกิดขึ้นไม่ว่าเหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นหรือไม่ก็ตาม:

P (B) = (2/14) ถ้าตัวแรกเล็กหรือ P (B) = 3/14 ถ้าตัวแรกไม่เล็ก

โดยทั่วไปสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้:

P (B¦A) ไม่เท่ากับ P (B) => B ไม่เป็นอิสระจาก A

แนวทางแก้ไข b

มีอีกสองเหตุการณ์:

เหตุการณ์ A: เสื้อตัวแรกที่เลือกมีขนาดเล็ก

เหตุการณ์ B: เสื้อตัวที่สองที่เลือกมีขนาดเล็ก

P (A) = 15/3

โปรดจำไว้ว่าไม่ว่าผลลัพธ์จะเป็นอย่างไรเสื้อที่ดึงมาจากชุดนั้นจะถูกแทนที่และอีกครั้งจะมีการสุ่มเสื้ออีกครั้ง ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ B เกิดขึ้นถ้าเหตุการณ์ A เกิดขึ้นคือ:

P (B¦A) = 15/3

ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A และ B เกิดขึ้นจะเป็น:

P (A และ B) = P (B¦A) P (A) = (3/15) (3/15) = 0.04

โปรดทราบว่า:

P (B¦A) เท่ากับ P (B) => B เป็นอิสระจาก A

- แบบฝึกหัด 3

พิจารณาเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ A และ B เป็นที่ทราบกันดีว่าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้นคือ 0.2 และความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ B เกิดขึ้นคือ 0.3 ความน่าจะเป็นที่ทั้งสองเหตุการณ์เกิดขึ้นคืออะไร?

โซลูชันที่ 2

เมื่อทราบว่าเหตุการณ์นั้นเป็นอิสระเป็นที่ทราบกันดีว่าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ทั้งสองเกิดขึ้นเป็นผลมาจากความน่าจะเป็นของแต่ละบุคคล กล่าวคือ,

P (A∩B) = P (A) P (B) = 0.2 * 0.3 = 0.06

สังเกตว่าความน่าจะเป็นน้อยกว่าความน่าจะเป็นที่แต่ละเหตุการณ์จะเกิดขึ้นโดยไม่คำนึงถึงผลลัพธ์ของเหตุการณ์อื่น ๆ หรือเลือกวิธีอื่นที่ต่ำกว่าอัตราต่อรองของแต่ละบุคคลมาก

อ้างอิง

1. Berenson, M. 1985. สถิติสำหรับการจัดการและเศรษฐศาสตร์. Interamericana SA 126-127
2. สถาบันมอนเตร์เรย์ ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อิสระ สืบค้นจาก: monterreyinstitute.org
3. ครูคณิตศาสตร์. เหตุการณ์อิสระ ดึงมาจาก: youtube.com
4. Superprof ประเภทของเหตุการณ์เหตุการณ์ที่เกี่ยวข้อง ดึงมาจาก: superprof.es
5. ติวเตอร์เสมือนจริง ความน่าจะเป็น ดึงมาจาก: vitutor.net
6. วิกิพีเดีย ความเป็นอิสระ (ความน่าจะเป็น) สืบค้นจาก: wikipedia.com