- ลักษณะวงรี
- - สมการมาตรฐาน
- - สมการพาราเมตริกของทรงรี
- - ร่องรอยของทรงรี
- - ปริมาณ
- กรณีพิเศษของทรงรี
- วงรีอ้างอิง
- ตัวอย่างตัวเลข
- สารละลาย
- อ้างอิง
รีเป็นพื้นผิวในพื้นที่ที่อยู่ในกลุ่มของพื้นผิว quadric และมีสมการทั่วไปของแบบฟอร์มนี้:
เป็นวงรีเทียบเท่าสามมิติโดยมีลักษณะเป็นวงรีและวงกลมในบางกรณีพิเศษ ร่องรอยคือเส้นโค้งที่ได้จากการตัดทรงรีด้วยระนาบ
รูปที่ 1. ทรงรีที่แตกต่างกันสามอัน: ที่ด้านบนสุดของทรงกลมซึ่งทั้งสามแกนมีความเท่าเทียมกันที่ด้านล่างซ้ายเป็นทรงกลมโดยมีสองแกนกึ่งเท่ากันและอีกอันที่แตกต่างกันและสุดท้ายที่ด้านล่างขวาเป็นทรงกลมสามแกนที่มีแกนต่างกันสามแกน ความยาว. ที่มา: Wikimedia Commons Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)
นอกจากรูปไข่แล้วยังมีรูปสี่เหลี่ยมอีกห้าแบบ ได้แก่ ไฮเพอร์โบลอยด์หนึ่งแผ่นและสองแผ่นพาราโบลาสองประเภท (ไฮเพอร์โบลิกและรูปไข่) และกรวยรูปไข่ ร่องรอยของมันยังเป็นรูปกรวย
วงรียังสามารถแสดงโดยสมการมาตรฐานในพิกัดคาร์ทีเซียน วงรีมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (0,0,0) และแสดงในลักษณะนี้คล้ายกับวงรี แต่มีคำเพิ่มเติม:
ค่าของ a, b และ c เป็นจำนวนจริงที่มากกว่า 0 และแสดงถึงกึ่งแกนสามแกนของทรงรี
ลักษณะวงรี
- สมการมาตรฐาน
สมการมาตรฐานในพิกัดคาร์ทีเซียนสำหรับวงรีที่อยู่ตรงกลางจุด (h, k, m) คือ:
- สมการพาราเมตริกของทรงรี
ในพิกัดทรงกลมสามารถอธิบายรูปไข่ได้ดังนี้:
x = บาปθ cos φ
y = b บาปθ เสนφ
z = c cos θ
กึ่งแกนของวงรียังคงเป็น a, b และ c ในขณะที่พารามิเตอร์คือมุมθและφของรูปต่อไปนี้:
รูปที่ 2. ระบบพิกัดทรงกลม ellipsoid สามารถกำหนดพารามิเตอร์ได้โดยใช้มุมที่แสดง theta และ phi เป็นพารามิเตอร์ ที่มา: Wikimedia Commons Andeggs / สาธารณสมบัติ
- ร่องรอยของทรงรี
สมการทั่วไปของพื้นผิวในอวกาศคือ F (x, y, z) = 0 และร่องรอยของพื้นผิวคือเส้นโค้ง:
- x = c; F (c, y, z) = 0
- y = c; F (x, c, z) = 0
- z = c; F (x, y, c) = 0
ในกรณีของทรงรีเส้นโค้งดังกล่าวจะเป็นวงรีและบางครั้งก็เป็นวงกลม
- ปริมาณ
ปริมาตร V ของทรงรีถูกกำหนดโดย (4/3) πคูณผลคูณของสามแกน:
V = (4/3) π. abc
กรณีพิเศษของทรงรี
- วงรีจะกลายเป็นทรงกลมเมื่อกึ่งแกนทั้งหมดมีขนาดเท่ากัน: a = b = c ≠ 0 สิ่งนี้สมเหตุสมผลเนื่องจากทรงรีเป็นเหมือนทรงกลมที่ยืดออกไปตามแต่ละอัน แกน.
- ทรงกลมเป็นรูปไข่ที่มีสองแกนกึ่งเหมือนกันและแกนที่สามแตกต่างกันเช่นอาจเป็น a = b ≠ c
ทรงกลมนี้เรียกอีกอย่างหนึ่งว่าวงรีแห่งการปฏิวัติเนื่องจากสามารถสร้างขึ้นได้โดยการหมุนวงรีรอบแกน
ถ้าแกนของการหมุนตรงกับแกนหลักทรงกลมจะเป็นโพรเลต แต่ถ้ามันตรงกับแกนรองมันจะเอียง:
รูปที่ 3 Oblate spheroid ทางด้านซ้ายและ prolate spheroid ทางด้านขวา ที่มา: Wikimedia Commons
การวัดความแบนของทรงกลม (รูปไข่) ได้รับจากความแตกต่างของความยาวระหว่างแกนกึ่งสองแกนซึ่งแสดงในรูปเศษส่วนนั่นคือมันเป็นหน่วยที่แบนราบโดย:
f = (a - b) / ก
ในสมการนี้ a แสดงถึงแกนเซมิ - เมเจอร์และ b แกนกึ่งรองจำไว้ว่าแกนที่สามเท่ากับหนึ่งในแกนเหล่านี้สำหรับทรงกลม ค่า f อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1 และสำหรับทรงกลมนั้นจะต้องมากกว่า 0 (ถ้ามันเท่ากับ 0 เราก็จะมีทรงกลม)
วงรีอ้างอิง
โดยทั่วไปแล้วดาวเคราะห์และดวงดาวมักไม่ได้เป็นทรงกลมที่สมบูรณ์แบบเนื่องจากการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบแกนของพวกมันทำให้ร่างกายแบนลงที่ขั้วและกระพุ้งที่เส้นศูนย์สูตร
นั่นคือเหตุผลที่โลกกลายเป็นเหมือนทรงกลมทรงแบนแม้ว่าจะไม่เกินจริงเหมือนในรูปก่อนหน้านี้และในส่วนของมันดาวเสาร์ก๊าซยักษ์เป็นดาวเคราะห์ที่แบนที่สุดในระบบสุริยะ
ดังนั้นวิธีที่เป็นจริงมากขึ้นในการเป็นตัวแทนของดาวเคราะห์ก็คือสมมติว่าพวกมันเป็นเหมือนทรงกลมหรือทรงรีของการปฏิวัติซึ่งมีแกนกึ่งหลักคือรัศมีเส้นศูนย์สูตรและแกนกึ่งรองคือรัศมีเชิงขั้ว
การวัดอย่างรอบคอบที่เกิดขึ้นบนโลกทำให้สามารถสร้างวงรีอ้างอิงของโลกเป็นวิธีที่แม่นยำที่สุดในการทำงานทางคณิตศาสตร์
ดวงดาวยังมีการเคลื่อนที่แบบหมุนซึ่งทำให้มีรูปร่างแบนราบมากขึ้นหรือน้อยลง Achernar ดาวที่หมุนเร็วซึ่งเป็นดาวฤกษ์ที่สว่างที่สุดอันดับแปดในท้องฟ้ายามค่ำคืนในกลุ่มดาว Eridanus ทางตอนใต้มีลักษณะเป็นรูปไข่อย่างน่าทึ่งเมื่อเทียบกับส่วนใหญ่ อยู่ห่างจากเรา 144 ปีแสง
ในทางกลับกันไม่กี่ปีที่ผ่านมานักวิทยาศาสตร์พบวัตถุทรงกลมมากที่สุดเท่าที่เคยพบมา: ดาวเคปเลอร์ 11145123 ซึ่งอยู่ห่างออกไป 5,000 ปีแสงมีขนาดใหญ่กว่าดวงอาทิตย์เป็นสองเท่าและความแตกต่างระหว่างกึ่งแกนเพียง 3 กม. ตามที่คาดไว้มันหมุนช้ากว่าด้วย
สำหรับโลกนั้นไม่ใช่ทรงกลมที่สมบูรณ์แบบเนื่องจากพื้นผิวที่ขรุขระและความแปรปรวนของแรงโน้มถ่วงในท้องถิ่น ด้วยเหตุนี้จึงมี spheroid อ้างอิงมากกว่าหนึ่งแห่งและในแต่ละไซต์จะมีการเลือกที่เหมาะสมที่สุดกับภูมิศาสตร์ในแต่ละพื้นที่
ความช่วยเหลือของดาวเทียมเป็นสิ่งล้ำค่าในการสร้างแบบจำลองรูปร่างของโลกที่แม่นยำขึ้นเรื่อย ๆ เนื่องจากเป็นที่ทราบกันดีว่าขั้วใต้อยู่ใกล้กับเส้นศูนย์สูตรมากกว่าขั้วเหนือ
รูปที่ 4. Haumea ดาวเคราะห์แคระทรานส์ - เนปจูนมีรูปร่างเป็นวงรี ที่มา: Wikimedia Commons
ตัวอย่างตัวเลข
เนื่องจากการหมุนของโลกจึงมีการสร้างแรงเหวี่ยงขึ้นซึ่งทำให้มันมีรูปร่างเป็นทรงรีทรงรีแทนที่จะเป็นทรงกลม รัศมีเส้นศูนย์สูตรของโลกเป็นที่ทราบกันว่า 3963 ไมล์และรัศมีขั้วโลกคือ 3942 ไมล์
จงหาสมการของเส้นศูนย์สูตรของเส้นศูนย์สูตรของวงรีนี้และการวัดความแบนของมัน เปรียบเทียบกับรูปไข่ของดาวเสาร์ด้วยข้อมูลที่ให้ไว้ด้านล่าง:
- รัศมีเส้นศูนย์สูตรของดาวเสาร์: 60,268 กม
- รัศมีโพลาร์ของดาวเสาร์: 54,364 กม
สารละลาย
จำเป็นต้องมีระบบพิกัดซึ่งเราจะถือว่าศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด (ศูนย์กลางของโลก) เราจะถือว่าแกน z แนวตั้งและร่องรอยที่ตรงกับเส้นศูนย์สูตรอยู่บนระนาบ xy เทียบเท่ากับระนาบ z = 0
ในระนาบเส้นศูนย์สูตรกึ่งแกน a และ b เท่ากันดังนั้น a = b = 3963 ไมล์ในขณะที่ c = 3942 ไมล์ นี่เป็นกรณีพิเศษ: ทรงกลมที่อยู่ตรงกลางจุด (0,0,0) ตามที่กล่าวข้างต้น
เส้นศูนย์สูตรเป็นวงกลมรัศมี R = 3963 ไมล์โดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด คำนวณโดยการสร้าง z = 0 ในสมการมาตรฐาน:
และสมการมาตรฐานของวงรีบนบกคือ:
f Earth = (a - b) / a = (3963-3942) ไมล์ / 3963 ไมล์ = 0.0053
f ดาวเสาร์ = (60268-54363) กม. / 60268 กม. = 0.0980
โปรดสังเกตว่ารูปไข่ f เป็นปริมาณที่ไม่มีมิติ
อ้างอิง
- ArcGIS สำหรับเดสก์ท็อป Spheroids และทรงกลม ดึงมาจาก: desktop.arcgis.com.
- BBC World. ความลึกลับของวัตถุทรงกลมที่สุดที่เคยค้นพบในจักรวาล สืบค้นจาก: bbc.com.
- Larson, R. แคลคูลัสและเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. พิมพ์ครั้งที่หก. เล่ม 2 McGraw Hill.
- วิกิพีเดีย ทรงรี สืบค้นจาก: en.wikipedia.org.
- วิกิพีเดีย ลูกกลม สืบค้นจาก: en.wikipedia.org.