สมการพหุนาม (พร้อมแบบฝึกหัดที่แก้ไข) - เลข - 2026

สมการพหุนามเป็นคำสั่งที่ก่อให้เกิดความเท่าเทียมกันของทั้งสองแสดงออกหรือสมาชิกที่หนึ่งน้อยของข้อตกลงที่ทำให้การ ขึ้น แต่ละด้านของความเสมอภาคเป็นพหุนาม P (x) สมการเหล่านี้ตั้งชื่อตามระดับของตัวแปร

โดยทั่วไปสมการคือคำสั่งที่สร้างความเท่าเทียมกันของสองนิพจน์โดยที่อย่างน้อยหนึ่งในจำนวนนี้มีปริมาณที่ไม่รู้จักซึ่งเรียกว่าตัวแปรหรือไม่ทราบ ถึงแม้ว่าสมการจะมีหลายประเภท แต่โดยทั่วไปแล้วพวกมันแบ่งออกเป็นสองประเภท: พีชคณิตและวิชชา

สมการพหุนามมีเฉพาะนิพจน์พีชคณิตซึ่งอาจมีสมการที่ไม่รู้จักอย่างน้อยหนึ่งตัว ตามเลขชี้กำลัง (องศา) ที่พวกเขามีสามารถจำแนกได้เป็นระดับที่หนึ่ง (เชิงเส้น) ระดับที่สอง (กำลังสอง) ระดับที่สาม (ลูกบาศก์) ระดับที่สี่ (ควอร์ติก) ระดับที่มากกว่าหรือเท่ากับห้าและไม่มีเหตุผล

ลักษณะเฉพาะ

สมการพหุนามคือนิพจน์ที่เกิดจากความเท่าเทียมกันระหว่างพหุนามสองตัว นั่นคือโดยผลรวม จำกัด ของการคูณระหว่างค่าที่ไม่รู้จัก (ตัวแปร) และจำนวนคงที่ (สัมประสิทธิ์) โดยที่ตัวแปรสามารถมีเลขชี้กำลังและค่าของมันอาจเป็นจำนวนเต็มบวกรวมทั้งศูนย์

เลขชี้กำลังเป็นตัวกำหนดระดับหรือประเภทของสมการ คำศัพท์ในนิพจน์ที่มีเลขชี้กำลังสูงสุดจะแสดงถึงระดับสัมบูรณ์ของพหุนาม

สมการพหุนามเรียกอีกอย่างว่าสมการพีชคณิตค่าสัมประสิทธิ์อาจเป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนและตัวแปรคือจำนวนที่ไม่รู้จักซึ่งแสดงด้วยตัวอักษรเช่น "x"

หากแทนค่าสำหรับตัวแปร "x" ใน P (x) ผลลัพธ์จะเท่ากับศูนย์ (0) ค่านั้นจะตอบสนองสมการ (มันคือคำตอบ) และโดยทั่วไปเรียกว่ารากของพหุนาม

เมื่อพัฒนาสมการพหุนามคุณต้องการหารากหรือคำตอบทั้งหมด

ประเภท

มีสมการพหุนามหลายประเภทซึ่งมีความแตกต่างกันไปตามจำนวนตัวแปรและตามระดับของเลขชี้กำลัง

ดังนั้นสมการพหุนาม - โดยที่เทอมแรกเป็นพหุนามที่ไม่ทราบค่าเดียวโดยพิจารณาว่าระดับของมันอาจเป็นจำนวนธรรมชาติใดก็ได้ (n) และพจน์ที่สองเป็นศูนย์ - สามารถแสดงได้ดังนี้:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 + … + ก_{1 *} x ¹ + ก_{0 *} x ₀ = 0

ที่ไหน:

- เป็น_{n, n-1}และ₀มีค่าสัมประสิทธิ์จริง (ตัวเลข)

- _nแตกต่างจากศูนย์

- เลขชี้กำลัง n คือจำนวนเต็มบวกที่แสดงถึงระดับของสมการ

- x คือตัวแปรหรือไม่รู้จักที่จะค้นหา

ระดับสัมบูรณ์หรือมากกว่าของสมการพหุนามคือเลขชี้กำลังที่มีค่าสูงสุดในบรรดาสมการพหุนาม ดังนั้นสมการจึงถูกจัดประเภทเป็น:

ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1

สมการพหุนามดีกรีแรกหรือที่เรียกว่าสมการเชิงเส้นคือสมการที่ดีกรี (เลขชี้กำลังมากที่สุด) เท่ากับ 1 พหุนามอยู่ในรูป P (x) = 0; y ประกอบด้วยพจน์เชิงเส้นและหนึ่งอิสระ เขียนไว้ดังนี้:

ขวาน + b = 0

ที่ไหน:

- a และ b คือจำนวนจริงและ a ≠ 0

- ขวานเป็นศัพท์เชิงเส้น

- b คือศัพท์อิสระ

ตัวอย่างเช่นสมการ 13x - 18 = 4x

ในการแก้สมการเชิงเส้นคำศัพท์ทั้งหมดที่มีค่า x ที่ไม่รู้จักจะต้องถูกส่งผ่านไปยังด้านหนึ่งของความเท่าเทียมกันและคำที่ไม่มีพวกมันย้ายไปอีกด้านหนึ่งเพื่อที่จะแก้มันและหาทางออก:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

ดังนั้นสมการที่กำหนดจึงมีเพียงคำตอบเดียวหรือรูทซึ่งก็คือ x = 2

ชั้นประถมศึกษาปีที่สอง

สมการพหุนามดีกรีสองหรือที่เรียกว่าสมการกำลังสองคือสมการที่มีดีกรี (เลขชี้กำลังที่ใหญ่ที่สุด) เท่ากับ 2 พหุนามอยู่ในรูป P (x) = 0 และประกอบด้วยพจน์ที่เป็นกำลังสอง หนึ่งเชิงเส้นและหนึ่งอิสระ แสดงดังนี้:

ขวาน² + bx + c = 0

ที่ไหน:

- a, b และ c คือจำนวนจริงและ a ≠ 0

- ax ²คือพจน์กำลังสองและ "a" คือสัมประสิทธิ์ของระยะกำลังสอง

- bx คือพจน์เชิงเส้นและ "b" คือสัมประสิทธิ์ของพจน์เชิงเส้น

- c คือศัพท์อิสระ

ตัวทำละลาย

โดยทั่วไปคำตอบของสมการประเภทนี้จะได้รับโดยการล้าง x ออกจากสมการและเป็นดังนี้ซึ่งเรียกว่าตัวต้านทาน:

ที่นั่น (b ² - 4ac) เรียกว่าตัวเลือกของสมการและนิพจน์นี้จะกำหนดจำนวนคำตอบที่สมการสามารถมีได้:

- ถ้า (b ² - 4ac) = 0 สมการจะมีคำตอบเดี่ยวที่เป็นสองเท่า นั่นคือมันจะมีสองคำตอบที่เท่ากัน

- ถ้า (b ² - 4ac)> 0 สมการจะมีคำตอบจริงสองแบบที่แตกต่างกัน

- ถ้า (b ² - 4ac) <0 แสดงว่าสมการไม่มีคำตอบ (จะมีคำตอบที่ซับซ้อนสองคำตอบที่แตกต่างกัน)

ตัวอย่างเช่นเรามีสมการ 4x ² + 10x - 6 = 0 ในการแก้ปัญหาให้ระบุคำศัพท์ a, b และ c ก่อนจากนั้นแทนที่ด้วยสูตร:

a = 4

b = 10

c = -6

มีบางกรณีที่สมการพหุนามดีกรีที่สองไม่มีทั้งสามเทอมและนั่นคือสาเหตุที่แก้ต่างกัน:

- ในกรณีที่สมการกำลังสองไม่มีระยะเชิงเส้น (นั่นคือ b = 0) สมการจะแสดงเป็นขวาน² + c = 0 ในการแก้ปัญหาให้แก้ x ²แล้วใช้รากที่สองในสมาชิกแต่ละตัว โดยจำไว้ว่าต้องพิจารณาสัญญาณที่เป็นไปได้สองประการที่ไม่ทราบสาเหตุ:

ขวาน² + c = 0

x ² = - ค÷ก

ตัวอย่างเช่น 5 x ² - 20 = 0

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ±√4

x = ± 2

x ₁ = 2

x ₂ = -2.

- เมื่อสมการกำลังสองไม่มีเทอมอิสระ (นั่นคือ c = 0) สมการจะแสดงเป็นขวาน² + bx = 0 ในการแก้ปัญหาเราต้องเอาตัวประกอบร่วมของ x ที่ไม่รู้จักในสมาชิกตัวแรก เนื่องจากสมการมีค่าเท่ากับศูนย์จึงเป็นจริงอย่างน้อยหนึ่งในปัจจัยจะเท่ากับ 0:

ขวาน² + bx = 0

x (ขวาน + b) = 0

ดังนั้นคุณต้อง:

x = 0

x = -b ÷ก.

ตัวอย่างเช่นเรามีสมการ 5x ² + 30x = 0 อันดับแรกเราแยกตัวประกอบ:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

ปัจจัยสองอย่างถูกสร้างขึ้นซึ่ง ได้แก่ xy (5x + 30) ถือว่าหนึ่งในสิ่งเหล่านี้จะเท่ากับศูนย์และอีกอันได้รับการแก้ไข:

x ₁ = 0

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6

เกรดสูงสุด

สมการพหุนามระดับสูงขึ้นไปคือสมการที่เริ่มจากระดับที่สามเป็นต้นไปซึ่งสามารถแสดงหรือแก้ไขได้ด้วยสมการพหุนามทั่วไปสำหรับทุกระดับ:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 + … + ก_{1 *} x ¹ + ก_{0 *} x ₀ = 0

สิ่งนี้ถูกใช้เนื่องจากสมการที่มีดีกรีมากกว่าสองเป็นผลมาจากการแยกตัวประกอบของพหุนาม นั่นคือมันแสดงเป็นการคูณของพหุนามระดับหนึ่งหรือมากกว่า แต่ไม่มีรากที่แท้จริง

คำตอบของสมการประเภทนี้เป็นทางตรงเนื่องจากการคูณของสองปัจจัยจะเท่ากับศูนย์หากปัจจัยใดเป็นโมฆะ (0) ดังนั้นสมการพหุนามแต่ละสมการที่พบจะต้องได้รับการแก้ไขโดยกำหนดให้แต่ละปัจจัยเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างเช่นเรามีสมการองศาที่สาม (ลูกบาศก์) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0 ในการแก้ปัญหาต้องปฏิบัติตามขั้นตอนต่อไปนี้:

- เงื่อนไขถูกจัดกลุ่ม:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ² ) + (4x + 4) = 0.

- สมาชิกถูกย่อยสลายเพื่อรับปัจจัยร่วมของสิ่งที่ไม่รู้จัก:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- ด้วยวิธีนี้จะได้รับสองปัจจัยซึ่งต้องเท่ากับศูนย์:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- จะเห็นได้ว่าตัวประกอบ (x ² + 4) = 0 จะไม่มีทางออกจริงในขณะที่ตัวประกอบ (x + 1) = 0 ทำ ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาคือ:

(x + 1) = 0

x = -1.

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แก้สมการต่อไปนี้:

ออกกำลังกายครั้งแรก

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0

สารละลาย

ในกรณีนี้สมการจะแสดงเป็นการคูณของพหุนาม นั่นคือมันเป็นปัจจัย ในการแก้ปัญหาต้องตั้งค่าแต่ละปัจจัยให้เท่ากับศูนย์:

- 2x ² + 5 = 0 มันไม่มีทางแก้

- x - 3 = 0

- x = 3

- 1 + x = 0

- x = - 1.

ดังนั้นสมการที่กำหนดจึงมีสองคำตอบ: x = 3 และ x = -1

การออกกำลังกายครั้งที่สอง

x ⁴ - 36 = 0

สารละลาย

มีการกำหนดพหุนามซึ่งสามารถเขียนใหม่เป็นผลต่างของกำลังสองเพื่อให้ได้โซลูชันที่เร็วขึ้น ดังนั้นสมการคือ:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

ในการหาคำตอบของสมการปัจจัยทั้งสองจะถูกกำหนดให้เท่ากับศูนย์:

(x ² + 6) = 0 ไม่มีทางแก้

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ±√6

ดังนั้นสมการเริ่มต้นจึงมีสองคำตอบ:

x = √6

x = - √6

อ้างอิง

1. Andres, T. (2010). คณิตศาสตร์โอลิมปิก Tresure สปริงเกอร์ นิวยอร์ก.
2. แองเจิล, AR (2007). พีชคณิตเบื้องต้น. เพียร์สันการศึกษา,.
3. เยอร์, ​​อาร์. (2012). พีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตโปรเจกต์ Courier Corporation
4. Baldor, A. (2484). พีชคณิต. ฮาวานา: วัฒนธรรม.
5. คาสตาโญ, HF (2005). คณิตศาสตร์ก่อนการคำนวณ มหาวิทยาลัย Medellin
6. CristóbalSánchez, MR (2000). คู่มือคณิตศาสตร์เตรียมโอลิมปิก. มหาวิทยาลัย Jaume I.
7. Kreemly Pérez, ML (1984). พีชคณิตที่สูงกว่า I.
8. Massara, NC-L. (1995). คณิตศาสตร์ 3.