การหารสังเคราะห์: วิธีการและแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้ - เลข - 2026

การหารสังเคราะห์เป็นวิธีง่ายๆในการหารพหุนาม P (x) ใด ๆ ในรูปแบบ d (x) = x - c ตัวอย่างเช่นพหุนาม P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) สามารถแทนการคูณของพหุนามที่ง่ายที่สุดสองตัว (x + 1) และ (x ⁴ + 2x ³ )

เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากเนื่องจากนอกจากจะช่วยให้เราสามารถหารพหุนามได้แล้วยังช่วยให้เราสามารถประเมินพหุนาม P (x) ที่จำนวน c ใดก็ได้ซึ่งจะบอกเราได้อย่างแม่นยำว่าจำนวนดังกล่าวเป็นศูนย์ของพหุนามหรือไม่

ด้วยอัลกอริธึมการหารทำให้เรารู้ว่าถ้าเรามีพหุนามไม่คงที่สองตัวคือ P (x) และ d (x) มีพหุนามเฉพาะ q (x) และ r (x) ซึ่งเป็นจริงที่ว่า P (x) = q (x) d (x) + r (x) โดยที่ r (x) เป็นศูนย์หรือน้อยกว่า q (x) พหุนามเหล่านี้เรียกว่าผลหารและเศษหรือเศษเหลือตามลำดับ

ในบางครั้งที่พหุนาม d (x) อยู่ในรูป x- c การหารสังเคราะห์จะช่วยให้เราทราบได้อย่างสั้น ๆ ว่า q (x) และ r (x) คือใคร

วิธีการหารสังเคราะห์

ให้ P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + … + a ₁ x + a ₀พหุนามที่เราต้องการหารและ d (x) = xc เป็นตัวหาร ในการหารด้วยวิธีการหารสังเคราะห์เราดำเนินการดังนี้:

1- เราเขียนค่าสัมประสิทธิ์ของ P (x) ในแถวแรก หากพลังของ X ไม่ปรากฏขึ้นเราจะใส่ค่าสัมประสิทธิ์เป็นศูนย์

2- ในแถวที่สองทางด้านซ้ายของ_nเราวาง c และเราวาดเส้นแบ่งดังแสดงในรูปต่อไปนี้:

3- เราลดค่าสัมประสิทธิ์ชั้นนำลงในแถวที่สาม

ในนิพจน์นี้ b _n-1 = a _n

4- เราคูณ c ด้วยสัมประสิทธิ์นำหน้า b _n-1และเราเขียนผลลัพธ์ในแถวที่สอง แต่มีหนึ่งคอลัมน์ทางด้านขวา

5- เราเพิ่มคอลัมน์ที่เราเขียนผลลัพธ์ก่อนหน้านี้และเราวางผลลัพธ์ไว้ด้านล่างผลรวมนั้น นั่นคือในคอลัมน์เดียวกันแถวที่สาม

เมื่อเพิ่มเราได้ผลลัพธ์_n-1 + c * b _n-1ซึ่งเพื่อความสะดวกเราจะเรียก b _n-2

6- เราคูณ c ด้วยผลลัพธ์ก่อนหน้าและเขียนผลลัพธ์ทางด้านขวาในแถวที่สอง

7- เราทำซ้ำขั้นตอนที่ 5 และ 6 จนกว่าจะถึงค่าสัมประสิทธิ์ที่0

8- เราเขียนคำตอบ; นั่นคือผลหารและเศษเหลือ เนื่องจากเรากำลังหารพหุนามของดีกรี n ด้วยพหุนามของดีกรี 1 เราจึงได้ว่าผลหารจะเป็นดีกรี n-1

ค่าสัมประสิทธิ์ของพหุนามผลหารจะเป็นตัวเลขในแถวที่สามยกเว้นแถวสุดท้ายซึ่งจะเป็นพหุนามที่เหลือหรือส่วนที่เหลือของการหาร

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- ตัวอย่าง 1

ทำการหารต่อไปนี้โดยวิธีการหารสังเคราะห์:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1)

สารละลาย

ก่อนอื่นเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์ของเงินปันผลดังนี้:

จากนั้นเราเขียน c ทางด้านซ้ายในแถวที่สองพร้อมกับเส้นแบ่ง ในตัวอย่างนี้ c = -1

เราลดค่าสัมประสิทธิ์ชั้นนำ (ในกรณีนี้ b _n-1 = 1) และคูณด้วย -1:

เราเขียนผลลัพธ์ทางด้านขวาในแถวที่สองดังที่แสดงด้านล่าง:

เราเพิ่มตัวเลขในคอลัมน์ที่สอง:

เราคูณ 2 ด้วย -1 และเขียนผลลัพธ์ในคอลัมน์ที่สามแถวที่สอง:

เราเพิ่มในคอลัมน์ที่สาม:

เราดำเนินการในลักษณะเดียวกันจนกว่าเราจะมาถึงคอลัมน์สุดท้าย:

ดังนั้นเราจึงได้ว่าจำนวนสุดท้ายที่ได้คือส่วนที่เหลือของการหารและจำนวนที่เหลือคือสัมประสิทธิ์ของพหุนามผลหาร สิ่งนี้เขียนไว้ดังนี้:

หากเราต้องการตรวจสอบว่าผลลัพธ์นั้นถูกต้องก็เพียงพอที่จะตรวจสอบว่าสมการต่อไปนี้เป็นจริง:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

เราจึงตรวจสอบได้ว่าผลลัพธ์ที่ได้นั้นถูกต้อง

- ตัวอย่าง 2

ทำการหารพหุนามต่อไปนี้โดยวิธีการหารสังเคราะห์

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

สารละลาย

ในกรณีนี้เราพบว่าเทอม x ²ไม่ปรากฏดังนั้นเราจะเขียน 0 เป็นสัมประสิทธิ์ ดังนั้นพหุนามจะเป็น 7x ³ + 0x ² -x + 2

เราเขียนค่าสัมประสิทธิ์ของพวกเขาในแถวนี่คือ:

เราเขียนค่าของ C = -2 ทางด้านซ้ายของแถวที่สองและวาดเส้นแบ่ง

เราลดค่าสัมประสิทธิ์นำหน้า b _n-1 = 7 และคูณด้วย -2 เขียนผลลัพธ์ในแถวที่สองทางด้านขวา

เราเพิ่มและดำเนินการตามที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้จนกว่าเราจะถึงเทอมสุดท้าย:

ในกรณีนี้ส่วนที่เหลือคือ r (x) = - 52 และผลหารที่ได้คือ q (x) = 7x ² -14x + 27

- ตัวอย่าง 3

อีกวิธีหนึ่งในการใช้การหารสังเคราะห์มีดังต่อไปนี้สมมติว่าเรามีพหุนาม P (x) ของดีกรี n และเราต้องการทราบว่าค่าใดโดยการประเมินที่ x = c

โดยอัลกอริทึมการหารเราสามารถเขียนพหุนาม P (x) ได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

ในนิพจน์นี้ q (x) และ r (x) คือผลหารและส่วนที่เหลือตามลำดับ ทีนี้ถ้า d (x) = x- c เมื่อประเมินที่ c ในพหุนามเราจะได้สิ่งต่อไปนี้:

ดังนั้นจึงยังคงพบ ar (x) เท่านั้นและเราทำได้ด้วยการหารสังเคราะห์

ตัวอย่างเช่นเรามีพหุนาม P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 และเราต้องการทราบว่าค่าของมันคืออะไรโดยการประเมินที่ x = 5 ในการทำสิ่งนี้เราดำเนินการ การหารระหว่าง P (x) และ d (x) = x -5 โดยวิธีการหารสังเคราะห์:

เมื่อดำเนินการเสร็จแล้วเรารู้ว่าเราสามารถเขียน P (x) ได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

ดังนั้นเมื่อทำการประเมินเราต้อง:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

อย่างที่เราเห็นมันเป็นไปได้ที่จะใช้การหารสังเคราะห์เพื่อหาค่าของพหุนามโดยการประเมินค่าที่ c แทนที่จะแทนที่ c สำหรับ x

หากเราพยายามประเมินค่า P (5) ด้วยวิธีดั้งเดิมเราจะถูกบังคับให้ทำการคำนวณบางอย่างที่มักจะน่าเบื่อ

- ตัวอย่างที่ 4

อัลกอริธึมการหารสำหรับพหุนามยังเป็นจริงสำหรับพหุนามที่มีค่าสัมประสิทธิ์ที่ซับซ้อนและด้วยเหตุนี้เราจึงพบว่าวิธีการหารสังเคราะห์ใช้ได้กับพหุนามดังกล่าวด้วย เราจะเห็นตัวอย่างด้านล่าง

เราจะใช้วิธีการหารสังเคราะห์เพื่อแสดงว่า z = 1+ 2i เป็นศูนย์ของพหุนาม P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); นั่นคือส่วนที่เหลือของการหาร P (x) โดย d (x) = x - z เท่ากับศูนย์

เราดำเนินการตามเดิม: ในแถวแรกเราเขียนค่าสัมประสิทธิ์ของ P (x) จากนั้นในวินาทีที่เราเขียน z และวาดเส้นแบ่ง

เราดำเนินการแบ่งส่วนเหมือนเดิม นี่คือ:

เราสามารถสังเกตได้ว่าส่วนที่เหลือเป็นศูนย์ ดังนั้นเราจึงสรุปได้ว่า z = 1+ 2i เป็นศูนย์ของ P (x)

อ้างอิง

1. บัลลงดอร์ออเรลิโอ พีชคณิต กรุปโปบรรณาธิการ Patria
2. Demana, Waits, Foley & Kennedy Precalculus: กราฟิก, ตัวเลข, พีชคณิต 7 เอ็ดการศึกษาของเพียร์สัน
3. Flemming W & Varserg D. พีชคณิตและตรีโกณมิติด้วยเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. ศิษย์ฮอลล์
4. ไมเคิลซัลลิแวน Precalculus 4 เอ็ด การศึกษาของเพียร์สัน.
5. สีแดง อาร์มันโดโอ. พีชคณิต 1 6th Ed. Athenaeum.