การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง: ลักษณะแบบฝึกหัด - เลข - 2026

การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องเป็นฟังก์ชันที่กำหนดให้กับแต่ละองค์ประกอบของ X (S) = {x1, x2, … , xi, … } โดยที่ X คือตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องที่กำหนดและ S คือพื้นที่ตัวอย่างความน่าจะเป็นที่ เหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้น ฟังก์ชันนี้ f ของ X (S) ที่กำหนดเป็น f (xi) = P (X = xi) บางครั้งเรียกว่าฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็น

โดยทั่วไปแล้วมวลของความน่าจะเป็นนี้จะแสดงในรูปแบบตาราง เนื่องจาก X เป็นตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง X (S) จึงมีจำนวนเหตุการณ์ที่ จำกัด หรือไม่มีที่สิ้นสุดที่นับได้ ในบรรดาการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบไม่ต่อเนื่องที่พบบ่อยที่สุดเรามีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอการแจกแจงแบบทวินามและการแจกแจงแบบปัวซอง

ลักษณะเฉพาะ

ฟังก์ชันการแจกแจงความน่าจะเป็นต้องตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:

นอกจากนี้ถ้า X รับค่าจำนวน จำกัด เท่านั้น (เช่น x1, x2, …, xn) ดังนั้น p (xi) = 0 ถ้า i> ny ดังนั้นอนุกรมเงื่อนไขที่ไม่สิ้นสุด b จะกลายเป็น a ซีรีส์ จำกัด

ฟังก์ชันนี้ยังตอบสนองคุณสมบัติต่อไปนี้:

ให้ B เป็นเหตุการณ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรสุ่ม X ซึ่งหมายความว่า B อยู่ใน X (S) สมมติว่า B = {xi1, xi2, … } ดังนั้น:

กล่าวอีกนัยหนึ่งความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของผลลัพธ์แต่ละรายการที่เกี่ยวข้องกับ B

จากสิ่งนี้เราสามารถสรุปได้ว่าถ้า a <b เหตุการณ์ (X ≤ a) และ (a <X ≤ b) เป็นเอกสิทธิ์ร่วมกันและยิ่งไปกว่านั้นการรวมกันของพวกเขาคือเหตุการณ์ (X ≤ b) ดังนั้นเราจึงมี:

ประเภท

การกระจายสม่ำเสมอบน n จุด

กล่าวกันว่าตัวแปรสุ่ม X ตามการแจกแจงที่มีลักษณะสม่ำเสมอที่ n จุดหากแต่ละค่าถูกกำหนดให้มีความน่าจะเป็นเท่ากัน ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นคือ:

สมมติว่าเรามีการทดลองที่มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้สองอย่างอาจเป็นการโยนเหรียญซึ่งผลลัพธ์ที่เป็นไปได้คือหัวหรือก้อยหรือการเลือกจำนวนเต็มซึ่งผลลัพธ์อาจเป็นเลขคู่หรือคี่ก็ได้ การทดลองประเภทนี้เรียกว่าการทดสอบ Bernoulli

โดยทั่วไปผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งสองเรียกว่าความสำเร็จและความล้มเหลวโดยที่ p คือความน่าจะเป็นของความสำเร็จและ 1-p คือความน่าจะเป็นของความล้มเหลว เราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นของความสำเร็จ x ในการทดสอบ n Bernoulli ที่ไม่ขึ้นต่อกันด้วยการแจกแจงต่อไปนี้

การแจกแจงทวินาม

เป็นฟังก์ชันที่แสดงถึงความน่าจะเป็นที่จะได้รับ x สำเร็จในการทดสอบ Bernoulli อิสระ n ซึ่งความน่าจะเป็นของความสำเร็จคือ p ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นคือ:

กราฟต่อไปนี้แสดงถึงฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นสำหรับค่าต่าง ๆ ของพารามิเตอร์ของการแจกแจงทวินาม

การแจกแจงต่อไปนี้เป็นชื่อของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Simeon Poisson (1781-1840) ซึ่งได้รับค่านี้เป็นขีด จำกัด ของการแจกแจงแบบทวินาม

การแจกแจงแบบปัวซอง

ตัวแปรสุ่ม X ถูกกล่าวว่ามีการแจกแจงพารามิเตอร์แบบปัวซองλเมื่อสามารถรับค่าจำนวนเต็มบวก 0,1,2,3, … โดยมีความน่าจะเป็นดังต่อไปนี้:

ในนิพจน์นี้λคือจำนวนเฉลี่ยที่สอดคล้องกับเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นในแต่ละหน่วยเวลาและ x คือจำนวนครั้งที่เหตุการณ์เกิดขึ้น

ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นคือ:

นี่คือกราฟที่แสดงถึงฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นสำหรับค่าต่างๆของพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบปัวซอง

โปรดทราบว่าตราบใดที่จำนวนความสำเร็จต่ำและจำนวน n ของการทดสอบที่ดำเนินการกับการแจกแจงทวินามมีค่าสูงเราสามารถประมาณการแจกแจงเหล่านี้ได้เสมอเนื่องจากการแจกแจงแบบปัวซองเป็นขีด จำกัด ของการแจกแจงแบบทวินาม

ความแตกต่างหลักระหว่างการแจกแจงทั้งสองนี้ก็คือในขณะที่ทวินามขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์สองตัวคือ n และ p ปัวซองขึ้นอยู่กับλเท่านั้นซึ่งบางครั้งเรียกว่าความเข้มของการแจกแจง

จนถึงตอนนี้เราได้พูดถึงการแจกแจงความน่าจะเป็นสำหรับกรณีที่การทดลองต่างกันไม่ขึ้นต่อกัน นั่นคือเมื่อผลลัพธ์ของสิ่งหนึ่งไม่ได้รับผลกระทบจากผลลัพธ์อื่น ๆ

เมื่อเกิดกรณีที่มีการทดลองที่ไม่เป็นอิสระการแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริกจะมีประโยชน์มาก

การแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก

ให้ N เป็นจำนวนออบเจ็กต์ทั้งหมดของเซต จำกัด ซึ่งเราสามารถระบุ k ของสิ่งเหล่านี้ได้ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งจึงสร้างเซตย่อย K ซึ่งส่วนเติมเต็มนั้นเกิดจากองค์ประกอบ Nk ที่เหลือ

หากเราสุ่มเลือก n อ็อบเจกต์ตัวแปรสุ่ม X ที่แสดงจำนวนอ็อบเจ็กต์ที่เป็นของ K ในตัวเลือกดังกล่าวจะมีการแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริกของพารามิเตอร์ N, n และ k ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นคือ:

กราฟต่อไปนี้แสดงถึงฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นสำหรับค่าต่างๆของพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบไฮเปอร์จีโอเมตริก

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

ออกกำลังกายครั้งแรก

สมมติว่าความน่าจะเป็นที่ท่อวิทยุ (วางอยู่ในอุปกรณ์บางประเภท) จะทำงานได้นานกว่า 500 ชั่วโมงเท่ากับ 0.2 ถ้าทดสอบ 20 หลอดความน่าจะเป็นเท่าไหร่ที่ k ของเหล่านี้จะทำงานได้นานกว่า 500 ชั่วโมง k = 0, 1,2, …, 20?

สารละลาย

ถ้า X คือจำนวนหลอดที่ทำงานมากกว่า 500 ชั่วโมงเราจะถือว่า X มีการแจกแจงแบบทวินาม ดังนั้น

ดังนั้น:

สำหรับk≥11ความน่าจะเป็นน้อยกว่า 0.001

ดังนั้นเราจะเห็นว่าความน่าจะเป็นที่ k ของการทำงานเหล่านี้เป็นเวลานานกว่า 500 ชั่วโมงจะเพิ่มขึ้นได้อย่างไรจนกระทั่งถึงค่าสูงสุด (โดยมี k = 4) จากนั้นจะเริ่มลดลง

การออกกำลังกายครั้งที่สอง

เหรียญจะถูกโยน 6 ครั้ง เมื่อผลมีราคาแพงเราจะบอกว่าประสบความสำเร็จ ความน่าจะเป็นที่สองหัวจะเกิดขึ้นกันแน่?

สารละลาย

สำหรับกรณีนี้เรามี n = 6 และทั้งความน่าจะเป็นของความสำเร็จและความล้มเหลวคือ p = q = 1/2

ดังนั้นความน่าจะเป็นที่จะได้รับสองหัว (นั่นคือ k = 2) คือ

การออกกำลังกายครั้งที่สาม

ความน่าจะเป็นที่จะพบอย่างน้อยสี่หัวคืออะไร?

สารละลาย

สำหรับกรณีนี้เรามี k = 4, 5 หรือ 6

การออกกำลังกายครั้งที่สาม

สมมติว่า 2% ของสินค้าที่ผลิตในโรงงานมีข้อบกพร่อง ค้นหาความน่าจะเป็น P ที่มีสามรายการที่มีข้อบกพร่องในตัวอย่าง 100 รายการ

สารละลาย

ในกรณีนี้เราสามารถใช้การแจกแจงแบบทวินามสำหรับ n = 100 และ p = 0.02 เพื่อให้ได้ผลลัพธ์:

อย่างไรก็ตามเนื่องจาก p มีขนาดเล็กเราจึงใช้การประมาณแบบปัวซองกับλ = np = 2 ดังนั้น,

อ้างอิง

1. ไก่ลายจุง. ทฤษฎีความน่าจะเป็นเบื้องต้นด้วยกระบวนการสุ่ม Springer-Verlag New York Inc.
2. Kenneth.H Rosen คณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่องและการประยุกต์ใช้ SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA
3. พอลแอลเมเยอร์ ความน่าจะเป็นและการประยุกต์ใช้ทางสถิติ ซาอัลฮัมบราเม็กซิคาน่า
4. Seymour Lipschutz ปริญญาเอก 2000 แก้ไขปัญหาคณิตศาสตร์ไม่ต่อเนื่อง McGraw-Hill
5. Seymour Lipschutz ปริญญาเอก ปัญหาทฤษฎีและความน่าจะเป็น McGraw-Hill