ความแตกต่างของคิวบ์: สูตรสมการตัวอย่างแบบฝึกหัด - เลข - 2026

ความแตกต่างของคิวบ์คือนิพจน์ทวินามพีชคณิตของรูปแบบ a ³ - b ³โดยที่คำว่า a และ b อาจเป็นจำนวนจริงหรือนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตประเภทต่างๆ ตัวอย่างของความแตกต่างของคิวบ์คือ 8 - x ³เนื่องจาก 8 สามารถเขียนเป็น 2 ³ได้

ในทางเรขาคณิตเราสามารถนึกถึงลูกบาศก์ขนาดใหญ่โดยมีด้าน a ซึ่งลูกบาศก์ขนาดเล็กที่มีด้าน b จะถูกลบออกดังแสดงในรูปที่ 1:

รูปที่ 1. ความแตกต่างของลูกบาศก์ ที่มา: F. Zapata

ปริมาตรของรูปที่ได้คือความแตกต่างของลูกบาศก์:

V = a ³ - b ³

เพื่อหานิพจน์ทางเลือกสังเกตว่ารูปนี้สามารถย่อยสลายได้เป็นสามปริซึมดังที่แสดงด้านล่าง:

รูปที่ 2 ความแตกต่างของลูกบาศก์ (ด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน) เท่ากับผลรวมของปริมาตรบางส่วน (ขวา) ที่มา: F. Zapata

ปริซึมมีปริมาตรที่กำหนดโดยผลิตภัณฑ์สามมิติ ได้แก่ กว้าง x สูง x ลึก ด้วยวิธีนี้ปริมาณผลลัพธ์คือ:

V = a ³ - b ³ = a ² .b + b ³ + ab ²

ปัจจัย b เป็นเรื่องปกติทางด้านขวา นอกจากนี้ในรูปที่แสดงด้านบนเป็นความจริงอย่างยิ่งที่:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

จึงกล่าวได้ว่า: b = a - b. ดังนั้น:

วิธีการแสดงความแตกต่างของคิวบ์นี้จะพิสูจน์ได้ว่ามีประโยชน์มากในหลาย ๆ แอพพลิเคชั่นและจะได้รับในลักษณะเดียวกันแม้ว่าด้านข้างของคิวบ์ที่หายไปในมุมจะแตกต่างจาก b = a / 2

โปรดสังเกตว่าวงเล็บที่สองมีลักษณะใกล้เคียงกับผลคูณที่โดดเด่นของกำลังสองของผลรวม แต่คำไขว้จะไม่คูณด้วย 2 ผู้อ่านสามารถขยายทางด้านขวาเพื่อตรวจสอบว่าได้³ - b ³จริงหรือไม่

ตัวอย่าง

ลูกบาศก์มีความแตกต่างหลายประการ:

1 - ม. ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹²และ⁶

(1/125) .x ⁶ - 27.y ⁹

ลองวิเคราะห์แต่ละคนดู ในตัวอย่างแรกที่ 1 สามารถเขียนเป็น 1 = 1 ³และคำม. ⁶กลายเป็น: (ม. ² ) 3 คำศัพท์ทั้งสองเป็นลูกบาศก์ที่สมบูรณ์แบบดังนั้นความแตกต่างของมันคือ:

1 - ม. ⁶ = 1 ³ - (ม. ² ) ³

ในตัวอย่างที่สองมีการเขียนคำศัพท์ใหม่:

ก⁶ข³ = (ก²ข) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴ ) ³ (y ² ) ³ = (2z ⁴ y ² ) ³

ความแตกต่างของก้อนเหล่านี้คือ: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³ .

ในที่สุดส่วน (1/125) เป็น (1/5 ³ ) x ⁶ = (x ² ) ³ , 27 = 3 ³และปี^{ที่ 9} = (y ³ ) 3 การแทนที่ทั้งหมดนี้ในนิพจน์ดั้งเดิมคุณจะได้รับ:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³ ) ³

แยกความแตกต่างของลูกบาศก์

การแยกความแตกต่างของลูกบาศก์ช่วยลดความยุ่งยากในการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิตจำนวนมาก ในการทำเช่นนี้ให้ใช้สูตรอนุมานด้านบน:

รูปที่ 3. การแยกตัวประกอบของความแตกต่างของลูกบาศก์และการแสดงออกของผลหารที่โดดเด่น ที่มา: F. Zapata

ตอนนี้ขั้นตอนในการใช้สูตรนี้ประกอบด้วยสามขั้นตอน:

- ในตอนแรกจะได้รับรูทลูกบาศก์ของแต่ละเงื่อนไขของความแตกต่าง

- จากนั้นทวินามและไตรโนเมียลที่ปรากฏทางด้านขวาของสูตรจะถูกสร้างขึ้น

- สุดท้ายทวินามและตรีเนตรจะถูกแทนที่เพื่อให้ได้มาซึ่งการแยกตัวประกอบขั้นสุดท้าย

ลองอธิบายการใช้ขั้นตอนเหล่านี้กับตัวอย่างความแตกต่างของคิวบ์แต่ละตัวอย่างที่เสนอไว้ข้างต้นและทำให้ได้ค่าเทียบเท่าแฟกเตอร์

ตัวอย่าง 1

แยกตัวประกอบของนิพจน์ 1 - ม. ⁶ตามขั้นตอนที่อธิบาย เราเริ่มต้นด้วยการเขียนนิพจน์ใหม่เป็น 1 - ม. ⁶ = 1 ³ - (ม. ² ) ³เพื่อแยกรากคิวบ์ตามลำดับของแต่ละเทอม:

ถัดไปทวินามและไตรโนเมียลถูกสร้างขึ้น:

a = 1

b = ม²

ดังนั้น:

ก - ข = 1 - ม²

(ก² + ab + b ² ) = 1 ² + 1.m ² + (m ² ) ² = 1 + m ² + m ⁴

สุดท้ายมันถูกแทนที่ในสูตร a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ² ):

1 - ม. ⁶ = (1 - ม. ² ) (1 + ม. ² + ม. ⁴ )

ตัวอย่าง 2

Factorize:

ก⁶ข³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ² ) ³

เนื่องจากสิ่งเหล่านี้เป็นลูกบาศก์ที่สมบูรณ์แบบรากของลูกบาศก์จึงเกิดขึ้นทันที: a ² b และ 2z ⁴และ²ดังนั้นจึงเป็นไปตามนั้น:

- ทวินาม: a ² b - 2z ⁴และ²

- ตรีโกณมิติ: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (ก² b + 2z ⁴ y ² ) ²

และตอนนี้การแยกตัวประกอบที่ต้องการถูกสร้างขึ้น:

ก⁶ข³ -8z ¹² y ⁶ = (ก² b - 2z ⁴ y ² ) =

= (ก² b - 2z ⁴ y ² )

ตามหลักการแล้วการแยกตัวประกอบพร้อมแล้ว แต่มักจะต้องทำให้แต่ละเทอมง่ายขึ้น จากนั้นผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น - กำลังสองของผลรวม - ที่ปรากฏในตอนท้ายจะได้รับการพัฒนาจากนั้นจึงมีการเพิ่มเงื่อนไข จำไว้ว่ากำลังสองของผลรวมคือ:

ผลิตภัณฑ์เด่นทางด้านขวาได้รับการพัฒนาดังนี้:

(ก² b + 2z ⁴และ² ) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴และ² + 4z ⁸และ⁴

การแทนที่การขยายตัวที่ได้รับจากการแยกตัวประกอบของความแตกต่างของลูกบาศก์:

ก⁶ข³ -8z ¹² y ⁶ = (ก² b - 2z ⁴ y ² ) =

ในที่สุดการจัดกลุ่มคำศัพท์และการแยกตัวประกอบของค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขซึ่งเป็นจำนวนเท่ากันเราจะได้รับ:

(ก² b - 2z ⁴ y ² ) = 2 (ก² b - 2z ⁴ y ² )

ตัวอย่างที่ 3

การแยกตัวประกอบ (1/125) x ⁶ - 27y ⁹นั้นง่ายกว่ากรณีก่อนหน้านี้มาก ก่อนอื่นให้ระบุความเทียบเท่าของ a และของ b:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

จากนั้นจะถูกแทนที่โดยตรงในสูตร:

(1/125) .x ⁶ - 27y ⁹ =.

การออกกำลังกายได้รับการแก้ไข

ความแตกต่างของลูกบาศก์มีดังที่เราได้กล่าวไปแล้วคือแอปพลิเคชั่นที่หลากหลายในพีชคณิต มาดูกันบ้าง:

แบบฝึกหัด 1

แก้สมการต่อไปนี้:

ก) x ⁵ - 125 x ² = 0

ข) 64 - 729 x ³ = 0

วิธีแก้ปัญหา

ก่อนอื่นให้แยกสมการด้วยวิธีนี้:

x ² (x ³ - 125) = 0

เนื่องจาก 125 เป็นลูกบาศก์ที่สมบูรณ์แบบวงเล็บจึงเขียนเป็นผลต่างของลูกบาศก์:

x ² . (x ³ - 5 ³ ) = 0

คำตอบแรกคือ x = 0 แต่เราพบมากกว่านี้ถ้าเราสร้าง x ³ - 5 ³ = 0 แล้ว:

x ³ = 5 ³ → x = 5

แนวทางแก้ไข b

ด้านซ้ายของสมการจะเขียนใหม่เป็น 64-729 x ³ = 4 ³ - (9x) 3 ดังนั้น:

4 ³ - (9x) ³ = 0

เนื่องจากเลขชี้กำลังเหมือนกัน:

9x = 4 → x = 9/4

แบบฝึกหัด 2

แยกปัจจัยการแสดงออก:

(x + y) ³ - (x - y) ³

สารละลาย

นิพจน์นี้เป็นความแตกต่างของลูกบาศก์ถ้าในสูตรการแยกตัวประกอบเราสังเกตว่า:

a = x + y

b = x- y

จากนั้นทวินามจะถูกสร้างขึ้นก่อน:

ก - b = x + y - (x- y) = 2y

และตอนนี้ไตรโนเมียล:

ก² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

มีการพัฒนาผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น:

ถัดไปคุณต้องแทนที่และลดคำที่เหมือนกัน:

ก² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

ผลการแยกตัวประกอบใน:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y (3x ² + y ² )

อ้างอิง

1. Baldor, A. 1974. พีชคณิต. กองบรรณาธิการ Cultural Venezolana SA
2. มูลนิธิ CK-12 ผลรวมและผลต่างของลูกบาศก์ สืบค้นจาก: ck12.org.
3. Khan Academy. การแยกตัวประกอบของความแตกต่างของลูกบาศก์ สืบค้นจาก: es.khanacademy.org.
4. คณิตศาสตร์เป็นเรื่องสนุกขั้นสูง ความแตกต่างของสองก้อน ดึงมาจาก: mathsisfun.com
5. ไต้หวัน แยกความแตกต่างของลูกบาศก์ กู้คืนจาก: dcb.fi-c.unam.mx.