การสลายตัวบวกของจำนวนเต็มบวกประกอบด้วยการแสดงเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวกสองจำนวนขึ้นไป ดังนั้นเราจึงได้ว่าหมายเลข 5 สามารถแสดงเป็น 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 หรือ 5 = 1 + 2 + 2 วิธีการเขียนเลข 5 แต่ละวิธีเหล่านี้คือสิ่งที่เราเรียกว่าการสลายตัวของสารเติมแต่ง

หากเราใส่ใจเราจะเห็นว่านิพจน์ 5 = 2 + 3 และ 5 = 3 + 2 แสดงถึงองค์ประกอบเดียวกัน ทั้งคู่มีตัวเลขเดียวกัน อย่างไรก็ตามเพื่อความสะดวกแต่ละส่วนเสริมมักจะเขียนตามเกณฑ์จากต่ำสุดไปสูงสุด

การย่อยสลายสารเติมแต่ง

เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งที่เราสามารถหาเลข 27 ซึ่งเราสามารถแสดงเป็น:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

การย่อยสลายสารเติมแต่งเป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มากที่ช่วยให้เราเสริมสร้างความรู้เกี่ยวกับระบบเลข

การสลายตัวของสารเติมแต่งที่ยอมรับได้

เมื่อเรามีตัวเลขที่มีมากกว่าสองหลักวิธีแยกย่อยโดยเฉพาะคือการคูณ 10, 100, 1000, 10,000 เป็นต้นซึ่งประกอบกันขึ้น วิธีการเขียนตัวเลขนี้เรียกว่าการสลายตัวของสารเติมแต่งตามบัญญัติ ตัวอย่างเช่นหมายเลข 1456 สามารถย่อยสลายได้ดังนี้:

1456 = 1,000 + 400+ 50 + 6

หากเรามีหมายเลข 20846295 การสลายตัวของสารเติมแต่งที่ยอมรับได้จะเป็น:

20846295 = 20,000,000 + 800,000 + 40,000 + 6000 + 200 + 90 +5.

ด้วยการสลายตัวนี้เราจะเห็นว่าค่าของตัวเลขที่กำหนดนั้นได้รับจากตำแหน่งที่มันครอบครอง ลองใช้ตัวเลข 24 และ 42 เป็นตัวอย่าง:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

ที่นี่เราจะเห็นว่าใน 24 2 มีค่า 20 หน่วยและ 4 ค่า 4 หน่วย; ในทางกลับกันใน 42 4 มีค่า 40 หน่วยและ 2 จากสองหน่วย ดังนั้นแม้ว่าตัวเลขทั้งสองจะใช้ตัวเลขเดียวกัน แต่ค่าของมันก็แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงเนื่องจากตำแหน่งที่พวกเขาครอบครอง

การประยุกต์ใช้งาน

หนึ่งในแอปพลิเคชั่นที่เราสามารถมอบให้กับการสลายตัวแบบเติมแต่งคือในการพิสูจน์บางประเภทซึ่งการดูจำนวนเต็มบวกเป็นผลรวมของคนอื่น ๆ จะมีประโยชน์มาก

ตัวอย่างทฤษฎีบท

ให้เรายกตัวอย่างทฤษฎีบทต่อไปนี้พร้อมกับการพิสูจน์ตามลำดับ

- ให้ Z เป็นจำนวนเต็ม 4 หลักจากนั้น Z หารด้วย 5 ได้ถ้าตัวเลขที่สอดคล้องกับหน่วยเป็นศูนย์หรือห้า

สาธิต

ขอให้เราจำไว้ว่าความแตกแยกคืออะไร ถ้าเรามีจำนวนเต็ม "a" และ "b" เราจะบอกว่า "a" หาร "b" ถ้ามีจำนวนเต็ม "c" เช่นนั้น b = a * c

คุณสมบัติประการหนึ่งของการหารบอกเราว่าถ้า "a" และ "b" หารด้วย "c" ได้การลบ "ab" ก็หารลงตัวเช่นกัน

ให้ Z เป็นจำนวนเต็ม 4 หลัก ดังนั้นเราสามารถเขียน Z เป็น Z = ABCD

การใช้การสลายตัวของสารเติมแต่งที่เป็นที่ยอมรับเรามี:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

เป็นที่ชัดเจนว่า A * 1000 + B * 100 + C * 10 หารด้วย 5 สำหรับสิ่งนี้เรามี Z นั้นหารด้วย 5 ถ้า Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) หารด้วย 5 ลงตัว

แต่ Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D และ D เป็นตัวเลขหลักเดียวดังนั้นวิธีเดียวที่จะหารด้วย 5 ได้คือให้มันเป็น 0 หรือ 5

ดังนั้น Z หารด้วย 5 ถ้า D = 0 หรือ D = 5

โปรดสังเกตว่าถ้า Z มี n หลักการพิสูจน์เหมือนกันทุกประการมันจะเปลี่ยนแค่ตอนนี้เราจะเขียน Z = A ₁ A ₂ … A _nและวัตถุประสงค์คือเพื่อพิสูจน์ว่า A _nเป็นศูนย์หรือห้า

พาร์ทิชัน

เรากล่าวว่าพาร์ติชันของจำนวนเต็มบวกเป็นวิธีหนึ่งที่เราสามารถเขียนตัวเลขเป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก

ความแตกต่างระหว่างการย่อยสลายส่วนเสริมและพาร์ติชันคือในขณะที่พาร์ติชันแรกพยายามที่อย่างน้อยก็สามารถแยกย่อยออกเป็นสองส่วนเพิ่มเติมหรือมากกว่านั้นพาร์ติชันไม่มีข้อ จำกัด นี้

ดังนั้นเราจึงมีสิ่งต่อไปนี้:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

ด้านบนเป็นพาร์ติชันของ 5

นั่นคือเรามีว่าการย่อยสลายส่วนเสริมทั้งหมดเป็นพาร์ติชัน แต่ไม่ใช่ว่าทุกพาร์ติชันจะจำเป็นต้องมีการย่อยสลายเพิ่มเติม

ในทฤษฎีจำนวนทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตรับประกันว่าจำนวนเต็มทุกจำนวนสามารถเขียนได้โดยไม่ซ้ำกันเป็นผลคูณของไพรม์

เมื่อศึกษาพาร์ติชันเป้าหมายคือเพื่อกำหนดว่าจำนวนเต็มบวกสามารถเขียนเป็นผลรวมของจำนวนเต็มอื่นได้กี่วิธี ดังนั้นเราจึงกำหนดฟังก์ชันพาร์ติชันตามที่นำเสนอด้านล่าง

คำนิยาม

ฟังก์ชันพาร์ติชัน p (n) ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนวิธีที่สามารถเขียนจำนวนเต็มบวก n เป็นผลรวมของจำนวนเต็มบวก

กลับไปที่ตัวอย่างของ 5 เรามีสิ่งนั้น:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

ดังนั้น p (5) = 7

กราฟิก

ทั้งพาร์ติชันและการย่อยสลายเพิ่มเติมของจำนวน n สามารถแสดงในรูปแบบเรขาคณิต สมมติว่าเรามีการสลายตัวของ n ในการสลายตัวนี้สามารถจัดเรียงส่วนเสริมเพื่อให้สมาชิกของผลรวมเรียงลำดับจากน้อยไปหามากที่สุด โอเค:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ + … + a _rกับ

ก₁ ≤ก₂ ≤ก₃ ≤…≤ a _r .

เราสามารถกราฟสลายตัวนี้ในทางต่อไปนี้: ในแถวแรกที่เราทำเครื่องหมาย₁ -points แล้วในต่อไปที่เราทำเครื่องหมาย₂ -points และอื่น ๆ จนกว่าจะถึงR

ยกตัวอย่างเช่นหมายเลข 23 และการสลายตัวต่อไปนี้:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

เราสั่งการสลายตัวนี้และเรามี:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

กราฟที่สอดคล้องกันจะเป็น: