ค่าคงที่ของ BOLTZMANN: ประวัติศาสตร์สมการแคลคูลัสแบบฝึกหัด - กายภาพ - 2026

Boltzmann คงที่คือค่าที่เกี่ยวข้องพลังงานจลน์เฉลี่ยของระบบทางอุณหพลศาสตร์หรือวัตถุที่มีอุณหภูมิสัมบูรณ์ของเดียวกัน แม้ว่าพวกเขามักจะสับสน แต่อุณหภูมิและพลังงานไม่ใช่แนวคิดเดียวกัน

อุณหภูมิเป็นหน่วยวัดพลังงาน แต่ไม่ใช่พลังงาน ด้วยค่าคงที่ของ Boltzmann จะเชื่อมโยงกันด้วยวิธีต่อไปนี้:

หลุมฝังศพของ Boltzmann ในเวียนนา ที่มา: Daderot จาก English Wikipedia

สมการนี้ใช้ได้กับโมเลกุลของก๊าซอุดมคติเชิงเดี่ยวที่มีมวล m โดยที่ E _cคือพลังงานจลน์ที่กำหนดในหน่วยจูล k _Bคือค่าคงที่ของ Boltzmann และ T คืออุณหภูมิที่แน่นอนในเคลวิน

ด้วยวิธีนี้เมื่ออุณหภูมิเพิ่มขึ้นพลังงานจลน์เฉลี่ยต่อโมเลกุลของสารก็จะเพิ่มขึ้นด้วยเช่นกันที่คาดว่าจะเกิดขึ้น และสิ่งที่ตรงกันข้ามจะเกิดขึ้นเมื่ออุณหภูมิลดลงความสามารถในการไปถึงจุดที่หากการเคลื่อนไหวทั้งหมดหยุดลงอุณหภูมิต่ำสุดที่เป็นไปได้หรือถึงศูนย์สัมบูรณ์

เมื่อพูดถึงพลังงานจลน์โดยเฉลี่ยจำเป็นต้องจำไว้ว่าพลังงานจลน์เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่ และอนุภาคสามารถเคลื่อนที่ได้หลายวิธีเช่นเคลื่อนที่หมุนหรือสั่น แน่นอนว่าพวกเขาจะไม่ทำแบบเดียวกันทั้งหมดและเนื่องจากนับไม่ได้จึงนำค่าเฉลี่ยมากำหนดลักษณะของระบบ

สถานะพลังงานบางอย่างมีแนวโน้มมากกว่าสถานะอื่น ๆ แนวคิดนี้มีความสำคัญอย่างยิ่งยวดในอุณหพลศาสตร์ พลังงานที่พิจารณาในสมการก่อนหน้านี้คือพลังงานจลน์ที่แปลได้ ความน่าจะเป็นของสถานะและความสัมพันธ์กับค่าคงที่ของ Boltzmann จะถูกกล่าวถึงในภายหลัง

ในปี 2018 เคลวินถูกนิยามใหม่และมันคง Boltzmann ซึ่งในระบบระหว่างประเทศจะอยู่ที่ประมาณ 1.380649 x 10 ^-23เจ K -1 ค่าคงที่ของ Boltzmann สามารถทำได้อย่างแม่นยำมากขึ้นซึ่งได้รับการพิจารณาในห้องปฏิบัติการหลายแห่งทั่วโลกด้วยวิธีการที่แตกต่างกัน

ประวัติศาสตร์

ค่าคงที่ที่มีชื่อเสียงเป็นชื่อของนักฟิสิกส์ลุดวิกโบลต์ซมันน์ (Ludwig Boltzmann) ที่เกิดในเวียนนา (1844–1906) ซึ่งอุทิศชีวิตในฐานะนักวิทยาศาสตร์เพื่อศึกษาพฤติกรรมทางสถิติของระบบที่มีอนุภาคจำนวนมากจากมุมมองของกลศาสตร์นิวตัน

แม้ว่าในปัจจุบันการดำรงอยู่ของอะตอมจะเป็นที่ยอมรับในระดับสากล แต่ในศตวรรษที่ 19 ความเชื่อเกี่ยวกับว่าอะตอมนั้นมีอยู่จริงหรือเป็นสิ่งประดิษฐ์ที่อธิบายปรากฏการณ์ทางกายภาพหลายอย่างอยู่ในการถกเถียงกันอย่างเต็มที่

Boltzmann เป็นผู้ปกป้องการมีอยู่ของอะตอมอย่างแข็งขันและในช่วงเวลาของเขาต้องเผชิญกับการวิพากษ์วิจารณ์อย่างรุนแรงเกี่ยวกับงานของเขาจากเพื่อนร่วมงานหลายคนซึ่งคิดว่ามันมีความขัดแย้งที่ไม่ละลายน้ำ

เขากล่าวว่าปรากฏการณ์ที่สังเกตได้ในระดับมหภาคสามารถอธิบายได้ด้วยคุณสมบัติทางสถิติของอนุภาคที่เป็นส่วนประกอบเช่นอะตอมและโมเลกุล

อาจเป็นไปได้ว่าการวิพากษ์วิจารณ์เหล่านี้เกิดจากเหตุการณ์สะเทือนใจครั้งใหญ่ที่ทำให้เขาต้องเอาชีวิตไปทิ้งเมื่อต้นเดือนกันยายน พ.ศ. 2449 ในช่วงที่เขายังมีเรื่องต้องทำอีกมากเนื่องจากเขาได้รับการยกย่องว่าเป็นนักฟิสิกส์เชิงทฤษฎีที่ยิ่งใหญ่คนหนึ่งในสมัยของเขาและมีเวลาเหลือน้อยมากที่จะไป ที่นักวิทยาศาสตร์คนอื่น ๆ มีส่วนช่วยยืนยันความจริงของทฤษฎีของพวกเขา

ไม่นานหลังจากการตายของเขาการค้นพบใหม่เกี่ยวกับธรรมชาติของอะตอมและอนุภาคที่เป็นส่วนประกอบของมันถูกเพิ่มเข้ามาเพื่อพิสูจน์ว่า Boltzmann ถูกต้อง

ค่าคงที่ของ Boltzmann และผลงานของพลังค์

ตอนนี้ค่าคงที่ของ Boltzmann k _Bได้รับการแนะนำให้รู้จักในปัจจุบันหลังจากการทำงานของนักฟิสิกส์ชาวออสเตรีย มันคือ Max Planck ในกฎของเขาเกี่ยวกับการปล่อยร่างกายสีดำซึ่งเป็นผลงานที่เขานำเสนอในปี 1901 ซึ่งในเวลานั้นให้ค่า 1.34 x 10 ⁻²³ J / K

ประมาณปีพ. ศ. 2476 แผ่นโลหะที่มีคำจำกัดความของเอนโทรปีที่เกี่ยวข้องกับค่าคงที่ที่มีชื่อเสียงได้ถูกเพิ่มเข้าไปในหลุมฝังศพของ Boltzmann ในเวียนนาในฐานะบรรณาการมรณกรรมซึ่งเกี่ยวข้องกับค่าคงที่ที่มีชื่อเสียง: S = k _B log W ซึ่งเป็นสมการที่จะกล่าวถึงในภายหลัง

ปัจจุบันค่าคงที่ของ Boltzmann เป็นสิ่งที่ขาดไม่ได้ในการประยุกต์ใช้กฎของอุณหพลศาสตร์กลศาสตร์สถิติและทฤษฎีสารสนเทศซึ่งนักฟิสิกส์ที่จบชีวิตลงอย่างน่าเศร้านี้เป็นผู้บุกเบิก

ค่าและสมการ

ก๊าซสามารถอธิบายได้ในรูปแบบมหภาคและในแง่ของกล้องจุลทรรศน์ สำหรับคำอธิบายแรกมีแนวคิดเช่นความหนาแน่นอุณหภูมิและความดัน

อย่างไรก็ตามควรจำไว้ว่าก๊าซประกอบด้วยอนุภาคจำนวนมากซึ่งมีแนวโน้มทั่วโลกต่อพฤติกรรมบางอย่าง เป็นแนวโน้มที่วัดได้ในระดับมหภาค วิธีหนึ่งในการกำหนดค่าคงที่ของ Boltzmann นั้นต้องขอบคุณสมการก๊าซในอุดมคติที่รู้จักกันดี:

นี่คือความดันของก๊าซ V คือปริมาตร n คือจำนวนโมลที่มีอยู่ R คือค่าคงที่ของก๊าซและ T คืออุณหภูมิ ในโมลของก๊าซในอุดมคติความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะเติมเต็มระหว่าง pV ของผลิตภัณฑ์และพลังงานจลน์การแปล K ของทั้งชุดคือ:

ดังนั้นพลังงานจลน์คือ:

เมื่อหารด้วยจำนวนโมเลกุลทั้งหมดที่มีอยู่ซึ่งจะเรียกว่า N จะได้รับพลังงานจลน์เฉลี่ยของอนุภาคเดี่ยว:

ในหนึ่งโมลมีจำนวนอนุภาคของ Avogadro N _Aดังนั้นจำนวนอนุภาคทั้งหมดคือ N = nN A โดยปล่อยให้:

อัตราส่วน R / N _{A ที่}แม่นยำคือค่าคงที่ของ Boltzmann ดังนั้นจึงแสดงให้เห็นว่าพลังงานจลน์เฉลี่ยของอนุภาคขึ้นอยู่กับอุณหภูมิสัมบูรณ์ T เท่านั้นและไม่ขึ้นอยู่กับปริมาณอื่น ๆ เช่นความดันปริมาตรหรือแม้แต่ชนิดของโมเลกุล:

ค่าคงที่และเอนโทรปีของ Boltzmann

ก๊าซมีอุณหภูมิที่กำหนด แต่อุณหภูมินั้นสามารถสอดคล้องกับสถานะต่างๆของพลังงานภายใน จะเห็นภาพความแตกต่างนี้ได้อย่างไร?

พิจารณาการพลิกเหรียญ 4 เหรียญพร้อมกันและวิธีที่จะตกได้:

วิธีที่ 4 สามารถหยอดเหรียญได้ 4 เหรียญ ที่มา: self made

ชุดเหรียญสามารถสรุปได้ทั้งหมด 5 สถานะซึ่งถือว่าเป็นภาพขนาดมหภาคตามที่อธิบายไว้ในรูป ผู้อ่านคิดว่ารัฐใดต่อไปนี้มีโอกาสมากที่สุด

คำตอบควรเป็นสถานะของ 2 หัวและ 2 หางเนื่องจากคุณมีความเป็นไปได้ทั้งหมด 6 แบบจากทั้งหมด 16 แบบที่แสดงในรูป Y 2 ⁴ = 16 สิ่งเหล่านี้เท่ากับสถานะของกล้องจุลทรรศน์

จะเกิดอะไรขึ้นถ้า 20 เหรียญถูกโยนแทนที่จะเป็น 4? จะมีความเป็นไปได้ทั้งหมด 2 ^{20 ชนิด}หรือ "microscopic States" เป็นจำนวนที่มากขึ้นและยากต่อการจัดการ เพื่ออำนวยความสะดวกในการจัดการกับจำนวนมากลอการิทึมมีความเหมาะสมมาก

ตอนนี้สิ่งที่ดูเหมือนชัดเจนก็คือสถานะที่มีความผิดปกติมากที่สุดมีโอกาสมากที่สุด สถานะสั่งซื้อเพิ่มเติมเช่น 4 หัวหรือ 4 แมวน้ำมีโอกาสน้อยกว่าเล็กน้อย

เอนโทรปีของสภาวะมหภาค S ถูกกำหนดเป็น:

โดยที่ w คือจำนวนสถานะของกล้องจุลทรรศน์ที่เป็นไปได้ของระบบและ k _Bคือค่าคงที่ของ Boltzmann เนื่องจาก ln w ไม่มีมิติเอนโทรปีจึงมีหน่วยเหมือนกับ k _B : Joule / K

นี่คือสมการที่มีชื่อเสียงบนหลุมฝังศพของ Boltzmann ในเวียนนา อย่างไรก็ตามมากกว่าเอนโทรปีสิ่งที่เกี่ยวข้องคือการเปลี่ยนแปลง:

คุณคำนวณ k อย่างไร

ค่าคงที่ของ Boltzmann ได้มาจากการทดลองด้วยวิธีที่แม่นยำอย่างยิ่งด้วยการวัดตามเทอร์โมมิเตอร์แบบอะคูสติกซึ่งดำเนินการโดยใช้คุณสมบัติที่กำหนดการพึ่งพาความเร็วของเสียงในก๊าซที่มีอุณหภูมิ

อันที่จริงความเร็วของเสียงในก๊าซกำหนดโดย:

B _{อะเดียแบติก} = γp

และρคือความหนาแน่นของก๊าซ สำหรับสมการข้างต้น p คือความดันของก๊าซที่เป็นปัญหาและγคือสัมประสิทธิ์อะเดียแบติกซึ่งพบค่าของก๊าซที่ระบุในตาราง

สถาบันมาตรวิทยากำลังทดลองวิธีอื่น ๆ ในการวัดค่าคงที่เช่น Johnson Noise Thermometry ซึ่งใช้ความผันผวนของความร้อนแบบสุ่มในวัสดุโดยเฉพาะอย่างยิ่งตัวนำ

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- การออกกำลังกาย 1

หา:

ก) พลังงานจลน์ที่แปลโดยเฉลี่ย E _cที่โมเลกุลของก๊าซในอุดมคติมีอยู่ที่ 25 ºC

b) พลังงานจลน์การแปล K ของโมเลกุลใน 1 โมลของก๊าซนี้

c) ความเร็วเฉลี่ยของโมเลกุลออกซิเจนที่25ºC

ความจริง

ม. _{ออกซิเจน} = 16 x ^10-3กก. / โมล

สารละลาย

ก) E _C = (3/2) k T = 1.5 x 1.380649 x 10 ^-23เจ K ^-1 x 298 K = 6.2 x 10 ^-21 J

b) K = (3/2) nRT = 5 x 1 โมล x 8.314 J / โมล K x 298 K = 3716 J

c) E _c = ½ mv ²โดยคำนึงว่าโมเลกุลของออกซิเจนเป็นไดอะตอมมิคและมวลโมลาร์จะต้องคูณด้วย 2 เราจะได้:

พบการเปลี่ยนแปลงของเอนโทรปีเมื่อ 1 โมลของก๊าซครอบครองปริมาณ 0.5 เมตร³ขยายตัวที่จะครอบครอง 1 เมตร3

สารละลาย

ΔS = k _B ln (w ₂ / w ₁ )

อ้างอิง

1. Atkins, P. 1999. เคมีเชิงฟิสิกส์. รุ่น Omega 13-47
2. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. เล่มที่ 1. Mc Graw Hill. 664- 672
3. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6th .. Ed Prentice Hall. 443-444
4. เซียร์เซมันสกี้ 2559. ฟิสิกส์มหาวิทยาลัยกับฟิสิกส์สมัยใหม่. วันที่ 14 เอ็ดเล่ม 1. 647-673.
5. มีนิยามใหม่ เคลวิน: Boltzmann Constant ดึงมาจาก: nist.gov