จุดศูนย์ถ่วง: คุณสมบัติการคำนวณตัวอย่าง - กายภาพ - 2025

จุดศูนย์ถ่วงของร่างกายที่มีขนาดที่วัดเป็นจุดที่น้ำหนักของมันคือการพิจารณาจะนำมาใช้ จึงเป็นหนึ่งในแนวคิดหลักของสถิตยศาสตร์

แนวทางแรกในปัญหาของฟิสิกส์พื้นฐานประกอบด้วยการสมมติว่าวัตถุใด ๆ มีพฤติกรรมเหมือนมวลจุดนั่นคือไม่มีมิติและมวลทั้งหมดรวมกันอยู่ที่จุดเดียว ใช้ได้กับกล่องรถยนต์ดาวเคราะห์หรืออนุภาคย่อยของอะตอม แบบจำลองนี้เรียกว่าแบบจำลองอนุภาค

รูปที่ 1 ในการกระโดดสูงนักกีฬาต้องบริหารโดยให้จุดศูนย์ถ่วงอยู่นอกร่างกาย ที่มา: Pixabay

แน่นอนว่านี่เป็นการประมาณซึ่งใช้ได้ดีกับหลาย ๆ แอปพลิเคชัน ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะพิจารณาพฤติกรรมส่วนบุคคลของอนุภาคนับพันนับล้านที่วัตถุใด ๆ สามารถบรรจุได้

อย่างไรก็ตามต้องคำนึงถึงมิติที่แท้จริงของสิ่งต่าง ๆ หากจะได้ผลลัพธ์ที่ใกล้เคียงกับความเป็นจริงมากขึ้น เนื่องจากโดยทั่วไปแล้วเราอยู่ในบริเวณใกล้เคียงโลกแรงที่มีอยู่ในร่างกายใด ๆ จึงเป็นน้ำหนักที่แม่นยำ

ข้อควรพิจารณาในการหาจุดศูนย์ถ่วง

หากต้องคำนึงถึงขนาดของร่างกายต้องใช้น้ำหนักที่ใดเป็นพิเศษ เมื่อคุณมีวัตถุต่อเนื่องที่มีรูปร่างตามอำเภอใจน้ำหนักของมันคือแรงที่กระจายระหว่างอนุภาคที่เป็นส่วนประกอบแต่ละตัว

ปล่อยให้อนุภาคเหล่านี้เป็น m ₁ , m ₂ , m ₃ …แต่ละตัวมีแรงโน้มถ่วงที่สอดคล้องกัน m ₁ g, m ₂ g, m ₃ g …ทั้งหมดขนานกัน เป็นเช่นนี้เนื่องจากสนามโน้มถ่วงของโลกถือเป็นค่าคงที่ในกรณีส่วนใหญ่เนื่องจากวัตถุมีขนาดเล็กเมื่อเทียบกับขนาดของดาวเคราะห์และอยู่ใกล้กับพื้นผิว

รูปที่ 2. น้ำหนักของวัตถุคือมวลแบบกระจาย ที่มา: self made.

ผลรวมเวกเตอร์ของแรงเหล่านี้ส่งผลให้น้ำหนักของวัตถุนำไปใช้กับจุดที่เรียกว่าจุดศูนย์ถ่วงที่แสดงในรูปเป็น CG ซึ่งจะเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางมวล จุดศูนย์กลางของมวลคือจุดที่มวลทั้งหมดสามารถพิจารณาได้ว่ามีความเข้มข้น

น้ำหนักที่ได้จะมีขนาด Mg โดยที่ M คือมวลรวมของวัตถุและแน่นอนว่ามันถูกส่งไปยังศูนย์กลางของโลกในแนวตั้ง สัญกรณ์ผลรวมมีประโยชน์ในการแสดงมวลรวมของร่างกาย:

จุดศูนย์ถ่วงไม่ได้ตรงกับจุดวัสดุเสมอไป ตัวอย่างเช่น CG ของวงแหวนอยู่ที่ศูนย์กลางทางเรขาคณิตซึ่งไม่มีมวล ถึงกระนั้นหากคุณต้องการวิเคราะห์แรงที่กระทำบนห่วงคุณต้องใช้น้ำหนักกับจุดที่แม่นยำนี้

ในกรณีที่วัตถุมีรูปร่างตามอำเภอใจหากเป็นเนื้อเดียวกันจุดศูนย์กลางมวลยังสามารถคำนวณได้โดยการหาเซนทรอยด์หรือจุดศูนย์ถ่วงของรูป

จุดศูนย์ถ่วงคำนวณอย่างไร?

ตามหลักการแล้วถ้าจุดศูนย์ถ่วง (CG) และจุดศูนย์กลางมวล (ซม.) ตรงกันเนื่องจากสนามโน้มถ่วงมีความสม่ำเสมอก็สามารถคำนวณซม. และนำน้ำหนักไปใช้กับมันได้

ให้เราพิจารณาสองกรณี: กรณีแรกคือกรณีที่การกระจายมวลไม่ต่อเนื่อง; นั่นคือแต่ละมวลที่ประกอบเป็นระบบสามารถนับและกำหนดจำนวน i ได้ตามที่เคยทำในตัวอย่างก่อนหน้านี้

พิกัดของจุดศูนย์กลางมวลสำหรับการกระจายมวลแบบไม่ต่อเนื่องคือ:

โดยธรรมชาติแล้วผลรวมของมวลทั้งหมดจะเท่ากับมวลรวมของระบบ M ตามที่ระบุไว้ข้างต้น

สมการทั้งสามจะลดลงเป็นรูปแบบกะทัดรัดเมื่อพิจารณาเวกเตอร์ r _cmหรือเวกเตอร์ตำแหน่งของจุดศูนย์กลางมวล:

และในกรณีของการกระจายมวลอย่างต่อเนื่องโดยที่อนุภาคมีขนาดแตกต่างกันและไม่สามารถแยกความแตกต่างเพื่อนับได้ผลรวมจะถูกแทนที่ด้วยอินทิกรัลที่สร้างขึ้นเหนือปริมาตรที่ครอบครองโดยวัตถุที่เป็นปัญหา:

โดยที่ r คือเวกเตอร์ตำแหน่งของ dm มวลดิฟเฟอเรนเชียลและนิยามของความหนาแน่นของมวลถูกนำมาใช้เพื่อแสดง dm ที่แตกต่างของมวลที่มีอยู่ใน dV ที่แตกต่างของปริมาตร:

คุณสมบัติ

ข้อควรพิจารณาที่สำคัญบางประการเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางมวลมีดังนี้:

- แม้ว่าจะต้องใช้ระบบอ้างอิงในการสร้างตำแหน่ง แต่จุดศูนย์กลางมวลไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลือกที่สร้างขึ้นจากระบบเนื่องจากเป็นคุณสมบัติของวัตถุ

- เมื่อวัตถุมีแกนหรือระนาบสมมาตรจุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่แกนหรือระนาบนั้น การใช้ประโยชน์จากสถานการณ์นี้ช่วยประหยัดเวลาในการคำนวณ

- แรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุสามารถนำไปใช้กับจุดศูนย์กลางมวลได้ การติดตามการเคลื่อนไหวของจุดนี้ทำให้เห็นภาพรวมของการเคลื่อนที่ของวัตถุและทำให้ง่ายต่อการศึกษาพฤติกรรมของวัตถุ

- หาจุดศูนย์ถ่วงของร่างกายในสภาวะสมดุลคงที่

สมมติว่าคุณต้องการทำให้ร่างกายของรูปก่อนหน้าอยู่ในสภาวะสมดุลคงที่นั่นคือมันไม่ได้แปลหรือหมุนเกี่ยวกับแกนการหมุนโดยพลการที่สามารถเป็น O ได้

รูปที่ 3 รูปแบบการคำนวณแรงบิดของน้ำหนักเทียบกับจุด O

- ตัวอย่างที่แก้ไขแล้ว

แท่งวัสดุแบบบางยาว 6 ม. และหนัก 30 N น้ำหนัก 50 N แขวนไว้ที่ปลายด้านซ้ายและแขวนน้ำหนัก 20 N ไว้ที่ปลายด้านขวา ค้นหา: ก) ขนาดของแรงขึ้นที่จำเป็นในการรักษาสมดุลของแท่งข) จุดศูนย์ถ่วงของชุดประกอบ

สารละลาย

แผนภาพแรงแสดงดังรูปต่อไปนี้ น้ำหนักของแท่งจะถูกนำไปใช้ที่จุดศูนย์ถ่วงซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับศูนย์กลางทางเรขาคณิต มิติเดียวของแท่งที่นำมาพิจารณาคือความยาวเนื่องจากคำสั่งรายงานว่ามันบาง

รูปที่ 4. แผนภาพแรงสำหรับแท่ง

เพื่อให้ระบบ bar + weights ยังคงอยู่ในสมดุลการแปลผลรวมของกองกำลังจะต้องเป็นศูนย์ กองกำลังอยู่ในแนวตั้งถ้าเราพิจารณาด้วยเครื่องหมาย + และลงด้วยเครื่องหมาย - แล้ว:

F- 50 - 20 - 30 N = 0

F = 100 น

กองกำลังนี้รับประกันความสมดุลในการแปล ใช้ช่วงเวลาที่บิดของแรงทั้งหมดเกี่ยวกับแกนที่ผ่านทางซ้ายสุดของระบบและใช้คำจำกัดความ:

t = rx F

ช่วงเวลาของแรงทั้งหมดเหล่านี้เกี่ยวกับจุดที่เลือกตั้งฉากกับระนาบของแท่ง:

ดังนั้น:

จุดศูนย์ถ่วงของบาร์ + ชุดตุ้มน้ำหนักจะอยู่ที่ 2.10 เมตรจากปลายด้านซ้ายของแท่ง

ความแตกต่างจากจุดศูนย์กลางมวล

จุดศูนย์ถ่วงเกิดขึ้นพร้อมกับจุดศูนย์กลางมวลตามที่ระบุไว้ตราบใดที่สนามโน้มถ่วงของโลกคงที่สำหรับทุกจุดของวัตถุที่จะพิจารณา สนามโน้มถ่วงของโลกไม่มีอะไรมากไปกว่าค่าที่รู้จักกันดีและคุ้นเคยของ g = 9.8 m / s ^{2 ที่}ชี้ลงในแนวตั้ง

แม้ว่าค่า g จะแตกต่างกันไปตามละติจูดและระดับความสูง แต่โดยปกติแล้วค่าเหล่านี้จะไม่ส่งผลกระทบต่อวัตถุที่พูดถึงเกือบตลอดเวลา มันจะแตกต่างกันมากหากคุณพิจารณาร่างกายขนาดใหญ่ในบริเวณใกล้โลกตัวอย่างเช่นดาวเคราะห์น้อยที่อยู่ใกล้กับโลกมาก

ดาวเคราะห์น้อยมีจุดศูนย์กลางมวลเป็นของตัวเอง แต่จุดศูนย์ถ่วงของมันจะไม่ต้องตรงกับสิ่งนี้อีกต่อไปเนื่องจาก g อาจพบการเปลี่ยนแปลงขนาดอย่างมากเนื่องจากขนาดของดาวเคราะห์น้อยและน้ำหนักของแต่ละอนุภาคอาจไม่ขนานกัน

ความแตกต่างพื้นฐานอีกประการหนึ่งคือการพบจุดศูนย์กลางมวลไม่ว่าจะมีแรงที่เรียกว่าน้ำหนักกระทำกับวัตถุหรือไม่ก็ตาม มันเป็นคุณสมบัติที่แท้จริงของวัตถุที่แสดงให้เราเห็นว่ามวลของมันมีการกระจายอย่างไรโดยสัมพันธ์กับเรขาคณิตของมัน

จุดศูนย์กลางมวลมีอยู่ไม่ว่าจะมีการใช้น้ำหนักหรือไม่ก็ตาม และตั้งอยู่ในตำแหน่งเดียวกันแม้ว่าวัตถุจะเคลื่อนที่ไปยังดาวเคราะห์ดวงอื่นซึ่งสนามโน้มถ่วงต่างกันก็ตาม

ในทางกลับกันจุดศูนย์ถ่วงนั้นเชื่อมโยงกับการใช้น้ำหนักอย่างชัดเจนดังที่เราได้เห็นในย่อหน้าก่อนหน้านี้

ตัวอย่างของจุดศูนย์ถ่วง

จุดศูนย์ถ่วงของวัตถุที่ผิดปกติ

มันง่ายมากที่จะหาว่าจุดศูนย์ถ่วงของวัตถุที่ผิดปกติเช่นถ้วยอยู่ที่ไหน ขั้นแรกมันถูกระงับจากจุดใด ๆ และจากนั้นเส้นแนวตั้งจะถูกวาดขึ้น (ในรูปที่ 5 มันคือเส้นสีบานเย็นในภาพซ้าย)

จากนั้นจะหยุดจากจุดอื่นและวาดแนวตั้งใหม่ (เส้นสีเขียวขุ่นในภาพด้านขวา) จุดตัดของเส้นทั้งสองคือจุดศูนย์ถ่วงของถ้วย

รูปที่ 5. ตำแหน่ง CG ของแก้ว ที่มา: แก้ไขจาก Pixabay

สร้างสมดุลให้กับวัตถุ

มาวิเคราะห์ความเสถียรของรถบรรทุกที่เดินทางบนท้องถนน เมื่อจุดศูนย์ถ่วงอยู่เหนือฐานของรถบรรทุกรถบรรทุกจะไม่พลิกคว่ำ ภาพด้านซ้ายเป็นตำแหน่งที่มั่นคงที่สุด

รูปที่ 6. การปรับสมดุลรถบรรทุก ที่มา: self made.

แม้ว่ารถบรรทุกจะเอนไปทางขวา แต่ก็สามารถกลับสู่ตำแหน่งสมดุลที่มั่นคงได้เหมือนในภาพวาดตรงกลางเนื่องจากแนวดิ่งยังคงผ่านฐาน อย่างไรก็ตามเมื่อเส้นนี้ออกไปนอกรถบรรทุกจะพลิกคว่ำ

แผนภาพแสดงแรงที่ศูนย์กลาง: ปกติเป็นสีเหลืองน้ำหนักเป็นสีเขียวและคงถูไปทางซ้ายเป็นสีบานเย็น ปกติและมีการเสียดสีกับแกนของการหมุนดังนั้นจึงไม่ออกแรงบิด ดังนั้นจะไม่ทำให้รถบรรทุกพลิกคว่ำ

น้ำหนักยังคงอยู่ซึ่งจะออกแรงบิดโชคดีที่ทวนเข็มนาฬิกาและมีแนวโน้มที่จะทำให้รถบรรทุกกลับสู่ตำแหน่งสมดุล สังเกตว่าเส้นแนวตั้งพาดผ่านพื้นผิวรองรับซึ่งก็คือยาง

เมื่อรถบรรทุกอยู่ในตำแหน่งขวาสุดแรงบิดของน้ำหนักจะเปลี่ยนเป็นตามเข็มนาฬิกา ไม่สามารถถูกตอบโต้ได้อีกครั้งรถบรรทุกจะพลิกคว่ำ

อ้างอิง

1. Bauer, W. 2011. Physics for Engineering and Sciences. เล่มที่ 1. Mc Graw Hill. 247-253
2. Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6th .. Ed Prentice Hall. 229-238
3. เรสนิก, อาร์. (2542). กายภาพ Vol. 1. 3rd Ed. in Spanish. Compañía Editorial Continental SA de CV 331-341
4. Rex, A. 2011. ความรู้พื้นฐานทางฟิสิกส์. เพียร์สัน. 146-155.
5. เซียร์เซมันสกี้ 2559. ฟิสิกส์มหาวิทยาลัยกับฟิสิกส์สมัยใหม่. วันที่ 14 ฉบับที่ 1,340-346