การเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม: ลูกตุ้มอย่างง่ายฮาร์มอนิกอย่างง่าย - กายภาพ - 2026

ลูกตุ้มเป็นวัตถุ (นึกคิดมวลจุด) แขวนด้วยด้าย (นึกคิดโดยไม่ต้องมวล) จากจุดคงที่และที่แกว่งขอบคุณที่แรงโน้มถ่วงของโลกที่กำลังมองไม่เห็นลึกลับที่เหนือสิ่งอื่นใดช่วยให้กาวจักรวาล

การเคลื่อนที่ของลูกตุ้มคือสิ่งที่เกิดขึ้นในวัตถุจากด้านหนึ่งไปอีกด้านหนึ่งซึ่งห้อยลงมาจากเส้นใยสายเคเบิลหรือด้าย แรงที่เข้ามาแทรกแซงในการเคลื่อนที่นี้คือการรวมกันของแรงโน้มถ่วง (แนวตั้งไปยังจุดศูนย์กลางของโลก) และความตึงของด้าย (ทิศทางของด้าย)

ลูกตุ้มสั่นแสดงความเร็วและความเร่ง (wikipedia.org)

นี่คือสิ่งที่นาฬิกาลูกตุ้ม (ดังนั้นชื่อของมัน) หรือชิงช้าในสนามเด็กเล่นทำ ในลูกตุ้มในอุดมคติการเคลื่อนที่แบบสั่นจะดำเนินต่อไปเรื่อย ๆ ในทางกลับกันในลูกตุ้มจริงการเคลื่อนไหวจะหยุดลงหลังจากเวลาผ่านไปเนื่องจากแรงเสียดทานกับอากาศ

การนึกถึงลูกตุ้มทำให้นึกถึงภาพของนาฬิกาลูกตุ้มอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้ซึ่งเป็นความทรงจำของนาฬิกาเก่าแก่และสง่างามจากบ้านในชนบทของปู่ย่าตายาย หรืออาจจะเป็นเรื่องเล่าสยองขวัญของ Edgar Allan Poe เรื่อง The Well and the Pendulum ซึ่งคำบรรยายได้รับแรงบันดาลใจจากวิธีการทรมานแบบหนึ่งที่ใช้โดยหน่วยสืบสวนสอบสวนของสเปน

ความจริงก็คือลูกตุ้มประเภทต่างๆมีการใช้งานที่แตกต่างกันไปนอกเหนือจากการวัดเวลาเช่นการกำหนดความเร่งของแรงโน้มถ่วงในสถานที่หนึ่งและแม้แต่การแสดงการหมุนของโลกตามที่ Jean Bernard Léonนักฟิสิกส์ชาวฝรั่งเศสทำ Foucault

ลูกตุ้ม Foucault ผู้แต่ง: Veit Froer (wikipedia.org)

ลูกตุ้มที่เรียบง่ายและการเคลื่อนไหวแบบสั่นแบบฮาร์มอนิก

ลูกตุ้มง่ายๆ

ลูกตุ้มที่เรียบง่ายแม้ว่าจะเป็นระบบในอุดมคติ แต่ก็ช่วยให้สามารถใช้แนวทางเชิงทฤษฎีในการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มได้

แม้ว่าสมการของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มแบบธรรมดาจะค่อนข้างซับซ้อน แต่ความจริงก็คือเมื่อแอมพลิจูด (A) หรือการกระจัดจากตำแหน่งสมดุลของการเคลื่อนที่มีขนาดเล็กก็สามารถประมาณได้ด้วยสมการของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิก เรียบง่ายที่ไม่ซับซ้อนเกินไป

การเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

การเคลื่อนที่แบบซิมเปิลฮาร์มอนิกคือการเคลื่อนที่เป็นระยะ ๆ นั่นคือจะเกิดขึ้นซ้ำ ๆ ตามเวลา นอกจากนี้ยังเป็นการเคลื่อนที่แบบสั่นซึ่งการสั่นจะเกิดขึ้นรอบ ๆ จุดสมดุลนั่นคือจุดที่ผลสุทธิของผลรวมของแรงที่กระทำกับร่างกายเป็นศูนย์

ดังนั้นลักษณะพื้นฐานของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้มคือช่วงเวลา (T) ซึ่งกำหนดเวลาที่ใช้ในการสร้างวงจรที่สมบูรณ์ (หรือการสั่นที่สมบูรณ์) ระยะเวลาของลูกตุ้มถูกกำหนดโดยนิพจน์ต่อไปนี้:

โดยที่ l = ความยาวของลูกตุ้ม และ, g = ค่าของความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง

ปริมาณที่เกี่ยวข้องกับช่วงเวลาคือความถี่ (f) ซึ่งกำหนดจำนวนรอบที่ลูกตุ้มไหลผ่านในหนึ่งวินาที ด้วยวิธีนี้ความถี่สามารถกำหนดได้จากช่วงเวลาด้วยนิพจน์ต่อไปนี้:

พลวัตการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม

แรงที่แทรกแซงในการเคลื่อนที่คือน้ำหนักหรืออะไรที่เหมือนกันแรงโน้มถ่วง (P) และความตึงของด้าย (T) การรวมกันของพลังทั้งสองนี้เป็นสิ่งที่ทำให้เกิดการเคลื่อนไหว

ในขณะที่ความตึงถูกนำไปในทิศทางของด้ายหรือเชือกที่เชื่อมมวลกับจุดคงที่เสมอดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องสลายตัว น้ำหนักจะถูกนำไปยังจุดศูนย์กลางมวลของโลกในแนวตั้งเสมอดังนั้นจึงจำเป็นต้องย่อยสลายให้เป็นส่วนประกอบเชิงสัมผัสและปกติหรือตามแนวรัศมี

องค์ประกอบสัมผัสของน้ำหนัก P _t = mg sin θในขณะที่ส่วนประกอบปกติของน้ำหนักคือ P _N = mg cos θ วินาทีนี้ได้รับการชดเชยด้วยความตึงของด้าย ส่วนประกอบที่เป็นเส้นสัมผัสของน้ำหนักซึ่งทำหน้าที่เป็นแรงในการฟื้นฟูจึงมีหน้าที่ในการเคลื่อนที่ในที่สุด

การเคลื่อนที่ความเร็วและความเร่ง

การกระจัดของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่ายดังนั้นของลูกตุ้มถูกกำหนดโดยสมการต่อไปนี้:

x = A ω cos (ω t + θ ₀ )

โดยที่ω = คือความเร็วเชิงมุมของการหมุน t = คือเวลา; และθ ₀ = คือเฟสเริ่มต้น

ด้วยวิธีนี้สมการนี้ทำให้เราสามารถกำหนดตำแหน่งของลูกตุ้มได้ตลอดเวลา ในเรื่องนี้เป็นเรื่องน่าสนใจที่จะเน้นความสัมพันธ์ระหว่างขนาดบางส่วนของการเคลื่อนที่แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ω = 2 ∏ / T = 2 ∏ / ฉ

ในทางกลับกันสูตรที่ควบคุมความเร็วของลูกตุ้มเป็นฟังก์ชันของเวลาได้มาจากการหาค่าการกระจัดเป็นฟังก์ชันของเวลาดังนี้:

v = dx / dt = -A ωบาป (ω t + θ ₀ )

ดำเนินการในลักษณะเดียวกันจะได้รับนิพจน์ของความเร่งเทียบกับเวลา:

a = dv / dt = - A ω ² cos (ω t + θ ₀ )

ความเร็วและความเร่งสูงสุด

การสังเกตทั้งการแสดงออกของความเร็วและความเร่งเราสามารถชื่นชมแง่มุมที่น่าสนใจบางประการของการเคลื่อนที่ของลูกตุ้ม

ความเร็วรับค่าสูงสุดในตำแหน่งสมดุลซึ่งในขณะนั้นความเร่งเป็นศูนย์เนื่องจากตามที่ระบุไว้ก่อนหน้านี้ในทันทีนั้นแรงสุทธิเป็นศูนย์

ในทางตรงกันข้ามที่ปลายสุดของการกระจัดตรงกันข้ามเกิดขึ้นที่นั่นความเร่งจะใช้ค่าสูงสุดและความเร็วรับค่าว่าง

จากสมการของความเร็วและความเร่งสามารถอนุมานได้ง่ายทั้งโมดูลัสของความเร็วสูงสุดและโมดูลัสของความเร่งสูงสุด ก็เพียงพอที่จะรับค่าสูงสุดที่เป็นไปได้สำหรับทั้งบาป (ω t + θ ₀ ) และสำหรับ cos (ω t + θ ₀ ) ซึ่งในทั้งสองกรณีคือ 1

│ v _{สูงสุด} │ = A ω

│ _{สูงสุด} │ = A ω ²

ช่วงเวลาที่ลูกตุ้มถึงความเร็วสูงสุดคือเมื่อมันผ่านจุดสมดุลของกองกำลังนับตั้งแต่นั้นเป็นต้นมาบาป (ω t + θ ₀ ) = 1 ในทางตรงกันข้ามความเร่งสูงสุดจะมาถึงที่ปลายทั้งสองของการเคลื่อนที่ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา cos (ω t + θ ₀ ) = 1

ข้อสรุป

ลูกตุ้มเป็นวัตถุที่ออกแบบได้ง่ายและเห็นได้ชัดว่ามีการเคลื่อนไหวที่เรียบง่ายแม้ว่าความจริงแล้วลึกลงไปนั้นซับซ้อนกว่าที่คิดไว้มาก

อย่างไรก็ตามเมื่อแอมพลิจูดเริ่มต้นมีขนาดเล็กการเคลื่อนที่ของมันสามารถอธิบายได้ด้วยสมการที่ไม่ซับซ้อนเกินไปเนื่องจากสามารถประมาณได้ด้วยสมการของการเคลื่อนที่แบบสั่นฮาร์มอนิกอย่างง่าย

ลูกตุ้มประเภทต่างๆที่มีอยู่มีการใช้งานที่แตกต่างกันทั้งในชีวิตประจำวันและในสาขาวิทยาศาสตร์

อ้างอิง

1. Van Baak, Tom (พฤศจิกายน 2013). "สมการลูกตุ้มยุคใหม่ที่ยอดเยี่ยม" จดหมายข่าว Horological Science 2556 (5): 22–30.
2. ลูกตุ้ม. (ND) ในวิกิพีเดีย. สืบค้นเมื่อวันที่ 7 มีนาคม 2018 จาก en.wikipedia.org.
3. ลูกตุ้ม (คณิตศาสตร์). (ND) ในวิกิพีเดีย. สืบค้นเมื่อวันที่ 7 มีนาคม 2018 จาก en.wikipedia.org.
4. Llorente, Juan Antonio (1826) ประวัติความเป็นมาของการสืบสวนของสเปน สรุปและแปลโดย George B. Whittaker มหาวิทยาลัยอ๊อกซฟอร์ด. PP XX คำนำ
5. โพเอ็ดการ์อัลลัน (1842) หลุมและลูกตุ้ม Booklassic ไอ 9635271905