เศษส่วนบางส่วน: กรณีและตัวอย่าง - เลข - 2026

เศษส่วนบางส่วนเศษที่เกิดขึ้นจากหลายชื่อซึ่งในส่วนอาจจะเป็นเส้นหรือพหุนามกำลังสองและนอกจากนี้ก็สามารถที่จะยกกำลังบางส่วน บางครั้งเมื่อเรามีฟังก์ชันเชิงเหตุผลการเขียนฟังก์ชันนี้ใหม่เป็นผลรวมของเศษส่วนบางส่วนหรือเศษส่วนอย่างง่ายก็มีประโยชน์มาก

เนื่องจากด้วยวิธีนี้เราสามารถจัดการกับฟังก์ชันเหล่านี้ได้ดีขึ้นโดยเฉพาะในกรณีที่จำเป็นต้องรวมแอปพลิเคชันดังกล่าว ฟังก์ชันที่มีเหตุผลเป็นเพียงผลหารระหว่างพหุนามสองตัวและสามารถเหมาะสมหรือไม่เหมาะสม

ถ้าระดับของพหุนามของตัวเศษน้อยกว่าตัวส่วนจะเรียกว่าฟังก์ชันที่เหมาะสมอย่างมีเหตุผล มิฉะนั้นจะเรียกว่าฟังก์ชันที่มีเหตุผลไม่เหมาะสม

คำนิยาม

เมื่อเรามีฟังก์ชันเชิงเหตุผลที่ไม่เหมาะสมเราสามารถแบ่งพหุนามของตัวเศษด้วยพหุนามของตัวส่วนและเขียนเศษส่วนใหม่ p (x) / q (x) ตามอัลกอริทึมการหารเป็น t (x) + s (x) / q (x) โดยที่ t (x) เป็นพหุนามและ s (x) / q (x) เป็นฟังก์ชันที่มีเหตุผลที่เหมาะสม

เศษส่วนบางส่วนคือฟังก์ชันที่เหมาะสมของพหุนามซึ่งตัวส่วนอยู่ในรูป (ax + b) ⁿหรือ (ax ² + bx + c) ⁿถ้าพหุนาม ax ² + bx + c ไม่มีรากจริงและ n เป็นตัวเลข โดยธรรมชาติ

ในการเขียนฟังก์ชันเชิงเหตุผลในเศษส่วนบางส่วนสิ่งแรกที่ต้องทำคือแยกตัวประกอบ q (x) เป็นผลคูณของตัวประกอบเชิงเส้นและ / หรือกำลังสอง เมื่อเสร็จแล้วเศษส่วนบางส่วนจะถูกกำหนดซึ่งขึ้นอยู่กับลักษณะของปัจจัยเหล่านี้

กรณี

เราพิจารณาหลายกรณีแยกกัน

กรณีที่ 1

ตัวประกอบของ q (x) เป็นเชิงเส้นทั้งหมดและไม่มีซ้ำ กล่าวคือ:

Q (x) = (เป็น₁ x b + ₁ ) (ก₂ x + B ₂ ) … (ก_s x + B _s )

ไม่มีปัจจัยเชิงเส้นใดที่เหมือนกับปัจจัยอื่น เมื่อเกิดกรณีนี้เราจะเขียน:

p (x) / q (x) = A ₁ / (a ₁ x + b ₁ ) + A ₂ / (a ₂ x + b ₂ ) … + A _s / (a _s x + b _s )

โดยที่ A ₁ , A ₂ , …, A _sคือค่าคงที่ที่จะพบ

ตัวอย่าง

เราต้องการสลายฟังก์ชันเหตุผลเป็นเศษส่วนอย่างง่าย:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x)

เราดำเนินการแยกตัวส่วนนั่นคือ:

x ³ + 3x ² + 2x = x (x + 1) (x + 2)

แล้ว:

(x - 1) / (x ³ + 3x ² + 2x) = (x - 1) / x (x + 1) (x + 2)

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)

การใช้ตัวคูณที่พบบ่อยน้อยที่สุดสามารถรับได้ว่า:

x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.

เราต้องการรับค่าของค่าคงที่ A, B และ C ซึ่งสามารถพบได้โดยการแทนที่รากที่ยกเลิกคำศัพท์แต่ละคำ การแทนที่ 0 สำหรับ x เรามี:

0 - 1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.

- 1 = 2A

A = - 1/2

การแทนที่ - 1 สำหรับ x เรามี:

- 1 - 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1)

- 2 = - ข

B = 2.

การแทนที่ - 2 สำหรับ x เรามี:

- 2 - 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2)

–3 = 2C

C = –3/2.

ด้วยวิธีนี้จะได้รับค่า A = –1/2, B = 2 และ C = –3/2

มีอีกวิธีหนึ่งในการรับค่าของ A, B และ C ถ้าทางด้านขวาของสมการ x - 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x เรารวมเงื่อนไขเรามี:

x - 1 = (A + B + C) x ² + (3A + 2B + C) x + 2A

เนื่องจากนี่คือความเท่าเทียมกันของพหุนามเราจึงมีสัมประสิทธิ์ทางด้านซ้ายต้องเท่ากับค่าสัมประสิทธิ์ทางด้านขวา ผลลัพธ์ในระบบสมการต่อไปนี้:

A + B + C = 0

3A + 2B + C = 1

2A = - 1

การแก้ระบบสมการนี้เราได้ผลลัพธ์ A = –1/2, B = 2 และ C = -3/2

สุดท้ายแทนที่ค่าที่ได้รับเราได้สิ่งนั้น:

(x - 1) / x (x + 1) (x + 2) = - 1 / (2x) + 2 / (x + 1) - 3 / (2 (x + 2))

กรณีที่ 2

ปัจจัยของ q (x) เป็นเชิงเส้นทั้งหมดและบางส่วนซ้ำกัน สมมติว่า (ax + b) เป็นตัวประกอบที่ซ้ำ "s" ครั้ง; จากนั้นปัจจัยนี้จะสอดคล้องกับผลรวมของเศษส่วนบางส่วน« s »

A _s / (ax + b) ^s + A _s-1 / (ax + b) ^s-1 + … + A ₁ / (ax + b)

โดยที่ A _s , A _s-1 , …, A ₁คือค่าคงที่ที่จะกำหนด ด้วยตัวอย่างต่อไปนี้เราจะแสดงวิธีกำหนดค่าคงที่เหล่านี้

ตัวอย่าง

ย่อยสลายเป็นเศษส่วนบางส่วน:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ )

เราเขียนฟังก์ชัน rational เป็นผลรวมของเศษส่วนบางส่วนดังนี้:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = A / x ² + B / x + C / (x - 2) ³ + D / (x - 2) ² + E / (x - 2 )

แล้ว:

x - 1 = A (x - 2) ³ + B (x - 2) ³ x + Cx ² + D (x - 2) x ² + E (x - 2) ² x ²

แทน 2 สำหรับ x เราได้สิ่งนั้น:

7 = 4C นั่นคือ C = 7/4

การแทนที่ 0 สำหรับ x เรามี:

- 1 = –8A หรือ A = 1/8

การแทนที่ค่าเหล่านี้ในสมการก่อนหน้าและการพัฒนาเราได้สิ่งนั้น:

x - 1 = 1/8 (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + Bx (x ³ - 6x ² + 12x - 8) + 7 / 4x ² + Dx ³ - 2Dx ² + Ex ² (x ² - 4x + 4)

x - 1 = (B + E) x ⁴ + (1/8 - 6B + D - 4E) x ³ + (- ¾ + 12B + 7/4 - 2D + 4E) x ² + (3/2 - 8B) x - 1.

การหาค่าสัมประสิทธิ์เราได้ระบบสมการดังต่อไปนี้:

B + E = 0;

1 / 8-6B + D-4E = 1;

- 3/4 + 12B + 7/4 - 2D + 4E = 0

3/2 - 8B = 0

การแก้ระบบเรามี:

ข = 3/16; D = 5/4; E = - 16/3

สำหรับสิ่งนี้เราต้อง:

(x - 1) / (x ² (x - 2) ³ ) = (1/8) / x ² + (3/16) / x + (7/4) / (x - 2) ³ + (5 / 4) / (x - 2) ² - (3/16) / (x - 2)

กรณีที่ 3

ปัจจัยของ q (x) เป็นกำลังสองเชิงเส้นโดยไม่มีปัจจัยกำลังสองซ้ำ ๆ ในกรณีนี้ตัวประกอบกำลังสอง (ขวาน² + bx + c) จะสอดคล้องกับเศษส่วนบางส่วน (Ax + B) / (ax ² + bx + c) โดยที่ค่าคงที่ A และ B เป็นค่าที่จะกำหนด

ตัวอย่างต่อไปนี้แสดงวิธีดำเนินการในกรณีนี้

ตัวอย่าง

สลายตัวเป็นเศษส่วนอย่างง่าย a (x + 1) / (x ³ - 1)

ก่อนอื่นให้เราแยกตัวประกอบตัวส่วนซึ่งทำให้เราได้ผลลัพธ์:

(x - 1) = (x - 1) (x + x +1)

เราสังเกตได้ว่า (x ² + x + 1) เป็นพหุนามกำลังสองที่ไม่สามารถวัดได้ นั่นคือมันไม่มีรากที่แท้จริง การสลายตัวเป็นเศษส่วนบางส่วนจะเป็นดังนี้:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = A / (x - 1) + (Bx + C) / (x ² + x +1)

จากสิ่งนี้เราได้สมการต่อไปนี้:

x + 1 = (A + B) x ² + (A - B + C) x + (A - C)

การใช้ความเท่าเทียมกันของพหุนามเราได้รับระบบต่อไปนี้:

A + B = 0;

A-B + C = 1;

A-C = 1;

จากระบบนี้เรามี A = 2/3, B = - 2/3 และ C = 1/3 แทนที่เรามีสิ่งนั้น:

(x + 1) / (x - 1) (x ² + x +1) = 2/3 (x - 1) - (2x + 1) / 3 (x ² + x +1)

กรณีที่ 4

สุดท้ายกรณีที่ 4 คือปัจจัยที่ปัจจัยของ q (x) เป็นเส้นตรงและกำลังสองโดยที่ปัจจัยกำลังสองเชิงเส้นบางส่วนซ้ำกัน

ในกรณีนี้ถ้า (ax ² + bx + c) เป็นตัวประกอบกำลังสองที่ซ้ำ "s" ครั้งเศษส่วนบางส่วนที่ตรงกับตัวประกอบ (ax ² + bx + c) จะเป็น:

(A ₁ x + B) / (ขวาน² + bx + c) + … + (A _s-1 x + B _s-1 ) / (ขวาน² + bx + c) ^s-1 + (A _s x + B _s ) / (ขวาน² + bx + c) ^s

โดยที่ A _s , A _s-1 , …, A และ B _s , B _s-1 , …, B คือค่าคงที่ที่จะกำหนด

ตัวอย่าง

เราต้องการสลายฟังก์ชันเหตุผลต่อไปนี้เป็นเศษส่วนบางส่วน:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² )

เนื่องจาก x ² - 4x + 5 เป็นปัจจัยกำลังสองที่ไม่สามารถวัดได้เราจึงมีการสลายตัวของมันเป็นเศษส่วนบางส่วนโดย:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = A / x + (Bx + C) / (x ² - 4x +5) + (Dx + E) / (x ² - 4x + 5) ²

ทำให้ง่ายและพัฒนาเรามี:

x - 2 = A (x ² - 4x + 5) ² + (Bx + C) (x ² - 4x + 5) x + (Dx + E) x

x - 2 = (A + B) x ⁴ + (- 8A - 4B + C) x ³ + (26A + 5B - 4C + D) x ² + (- 40A + 5C + E) x + 25A

จากข้างต้นเรามีระบบสมการดังต่อไปนี้:

A + B = 0;

- 8A - 4B + C = 0;

26A + 5B - 4C + D = 0;

- 40A + 5C + E = 1;

25A = 2.

เมื่อแก้ระบบเราจะเหลือ:

A = - 2/25, B = 2/25, C = - 8/25, D = 2/5 และ E = - 3/5

โดยการแทนที่ค่าที่ได้รับเรามี:

(x - 2) / (x (x ² - 4x + 5) ² ) = -2 / 25x + (2x - 8) / 25 (x ² - 4x +5) + (2x - 3) / 5 (x ² - 4x + 5) ²

การประยุกต์ใช้งาน

แคลคูลัสเชิงปริพันธ์

เศษส่วนบางส่วนใช้เป็นหลักในการศึกษาแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ นี่คือตัวอย่างบางส่วนของวิธีการหาปริพันธ์โดยใช้เศษส่วนบางส่วน

ตัวอย่าง 1

เราต้องการคำนวณอินทิกรัลของ:

เราจะเห็นว่าตัวส่วน q (x) = (t + 2) ² (t + 1) ประกอบด้วยตัวประกอบเชิงเส้นโดยที่ตัวส่วนเหล่านี้ซ้ำกัน นี่คือเหตุผลที่เราอยู่ในกรณีที่ 2

เราต้อง:

1 / (t + 2) ² (t + 1) = A / (t + 2) ² + B / (t + 2) + C / (t + 1)

เราเขียนสมการใหม่และเรามี:

1 = A (เสื้อ + 1) + B (เสื้อ + 2) (เสื้อ + 1) + C (เสื้อ + 2) ²

ถ้า t = - 1 เรามี:

1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)

1 = ค

ถ้า t = - 2 จะทำให้เรา:

1 = A (- 1) + B (0) (- 1) + C (0)

A = - 1

จากนั้นถ้า t = 0:

1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)

การแทนค่าของ A และ C:

1 = - 1 + 2B + 4

1 = 3 + 2B

2B = - 2

จากข้างต้นเรามี B = - 1

เราเขียนอินทิกรัลใหม่เป็น:

เราดำเนินการแก้ไขโดยวิธีการเปลี่ยนตัว:

นี่คือผลลัพธ์:

ตัวอย่าง 2

แก้อินทิกรัลต่อไปนี้:

ในกรณีนี้เราสามารถแยกตัวประกอบ aq (x) = x ² - 4 เป็น q (x) = (x - 2) (x + 2) เราเห็นได้ชัดในกรณีที่ 1 ดังนั้น:

(5x - 2) / (x - 2) (x + 2) = A / (x - 2) + B / (x + 2)

นอกจากนี้ยังสามารถแสดงเป็น:

5x - 2 = A (x + 2) + B (x - 2)

ถ้า x = - 2 แสดงว่าเรามี:

- 12 = A (0) + B (- 4)

B = 3

และถ้า x = 2:

8 = A (4) + B (0)

A = 2

ดังนั้นเราจึงเหลือแค่การแก้อินทิกรัลที่กำหนดนั้นเทียบเท่ากับการแก้

สิ่งนี้ทำให้เราได้ผลลัพธ์:

ตัวอย่างที่ 3

แก้อินทิกรัล:

เรามี q (x) = 9x ⁴ + x ²ซึ่งเราสามารถแยกตัวประกอบเป็น q (x) = x ² (9x ² + 1)

คราวนี้เรามีตัวประกอบเชิงเส้นซ้ำและตัวประกอบกำลังสอง นั่นคือเราอยู่ในกรณีที่ 3

เราต้อง:

1 / x ² (9x ² + 1) = A / x ² + B / x + (Cx + D) / (9x ² + 1)

1 = A (9x ² + 1) + Bx (9x ² + 1) + Cx ² + Dx ²

การจัดกลุ่มและใช้พหุนามเท่ากันเรามี:

1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A

ก = 1;

B = 0;

9A + D = 0;

9B + C = 0

จากระบบสมการนี้เรามี:

D = - 9 และ C = 0

ด้วยวิธีนี้เรามี:

ด้วยการแก้ปัญหาข้างต้นเรามี:

กฎแห่งการกระทำของมวล

การประยุกต์ใช้เศษส่วนบางส่วนที่น่าสนใจที่นำไปใช้กับแคลคูลัสอินทิกรัลพบได้ในวิชาเคมีซึ่งแม่นยำกว่าในกฎการกระทำของมวล

สมมติว่าเรามีสารสองชนิดคือ A และ B ซึ่งรวมตัวกันและสร้างสาร C ขึ้นเพื่อให้อนุพันธ์ของปริมาณ C เทียบกับเวลาเป็นสัดส่วนกับผลคูณของปริมาณ A และ B ณ ช่วงเวลาใดเวลาหนึ่ง

เราสามารถแสดงกฎของการกระทำจำนวนมากได้ดังนี้:

ในนิพจน์นี้αคือจำนวนกรัมเริ่มต้นที่ตรงกับ A และβจำนวนกรัมเริ่มต้นที่ตรงกับ B

นอกจากนี้ r และ s แสดงจำนวนกรัมของ A และ B ตามลำดับซึ่งรวมกันเป็น r + s กรัมของ C สำหรับส่วนของมัน x แทนจำนวนกรัมของสาร C ในเวลา t และ K คือ ค่าคงที่ของสัดส่วน สมการข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้เป็น:

ทำการเปลี่ยนแปลงต่อไปนี้:

เรามีสมการที่กลายเป็น:

จากนิพจน์นี้เราสามารถรับ:

ในกรณีที่ a ≠ b สามารถใช้เศษส่วนบางส่วนสำหรับการรวมได้

ตัวอย่าง

ยกตัวอย่างเช่นสาร C ที่เกิดจากการรวมสาร A กับ B ในลักษณะที่ทำให้กฎมวลเป็นจริงโดยที่ค่าของ a และ b เท่ากับ 8 และ 6 ตามลำดับ ให้สมการที่ให้ค่ากรัมของ C เป็นฟังก์ชันของเวลา

การแทนที่ค่าในกฎมวลที่กำหนดเรามี:

เมื่อแยกตัวแปรเรามี:

ที่นี่ 1 / (8 - x) (6 - x) สามารถเขียนเป็นผลรวมของเศษส่วนบางส่วนได้ดังนี้:

ดังนั้น 1 = A (6 - x) + B (8 - x)

ถ้าเราแทน 6 สำหรับ x เราจะได้ B = 1/2; และแทน 8 สำหรับ x เรามี A = - 1/2

การบูรณาการโดยเศษส่วนบางส่วนเรามี:

สิ่งนี้ทำให้เราได้ผลลัพธ์:

สมการเชิงอนุพันธ์: สมการโลจิสติกส์

แอปพลิเคชันอื่นที่สามารถมอบให้กับเศษส่วนบางส่วนอยู่ในสมการเชิงอนุพันธ์โลจิสติกส์ ในแบบจำลองอย่างง่ายเรามีอัตราการเติบโตของประชากรเป็นสัดส่วนกับขนาดของมัน กล่าวคือ:

กรณีนี้เป็นเรื่องที่เหมาะและถือเป็นความจริงจนกระทั่งเกิดขึ้นว่าทรัพยากรที่มีอยู่ในระบบไม่เพียงพอที่จะรองรับประชากร

ในสถานการณ์เหล่านี้สิ่งที่สมเหตุสมผลที่สุดคือการคิดว่ามีความจุสูงสุดซึ่งเราจะเรียกว่า L ซึ่งระบบสามารถดำรงอยู่ได้และอัตราการเติบโตจะแปรผันตามขนาดของประชากรคูณด้วยขนาดที่มีอยู่ อาร์กิวเมนต์นี้นำไปสู่สมการเชิงอนุพันธ์ต่อไปนี้:

นิพจน์นี้เรียกว่าสมการเชิงอนุพันธ์ลอจิสติกส์ มันเป็นสมการเชิงอนุพันธ์ที่แยกจากกันได้ซึ่งสามารถแก้ไขได้ด้วยวิธีการรวมเศษส่วนบางส่วน

ตัวอย่าง

ตัวอย่างคือการพิจารณาประชากรที่เพิ่มขึ้นตามสมการเชิงอนุพันธ์โลจิสติกส์ต่อไปนี้ y '= 0.0004y (1000 - y) ซึ่งมีข้อมูลเริ่มต้นคือ 400 เราต้องการทราบขนาดของประชากรในเวลา t = 2 โดยที่ t วัดได้ ในปี

ถ้าเราเขียน y 'ด้วยสัญกรณ์ของ Leibniz เป็นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับ t เราจะมี:

อินทิกรัลทางด้านซ้ายสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีการรวมเศษส่วนบางส่วน:

เราสามารถเขียนความเท่าเทียมครั้งสุดท้ายนี้ใหม่ได้ดังนี้:

- การแทนที่ y = 0 เราได้ A นั้นเท่ากับ 1/1000

- การแทนที่ y = 1000 เราได้ B นั้นเท่ากับ 1/1000

ด้วยค่าเหล่านี้อินทิกรัลมีดังนี้:

วิธีแก้ปัญหาคือ:

การใช้ข้อมูลเริ่มต้น:

เมื่อเคลียร์และเรามี:

จากนั้นเรามีที่ t = 2:

สรุปได้ว่าหลังจาก 2 ปีขนาดประชากรจะอยู่ที่ประมาณ 597.37

อ้างอิง

1. ก, RA (2012). คณิตศาสตร์ 1. Universidad de los Andes. สิ่งพิมพ์สภา.
2. Cortez, I. , & Sanchez, C. (nd). 801 ปริพันธ์ที่แก้ไขแล้ว มหาวิทยาลัยแห่งชาติแห่งการทดลองทาชิรา
3. Leithold, L. (1992). การคำนวณด้วยเรขาคณิตวิเคราะห์ ฮาร์ลา, SA
4. Purcell, EJ, Varberg, D. , & Rigdon, SE (2007) การคำนวณ เม็กซิโก: การศึกษาของเพียร์สัน.
5. แสนซ. (น.). แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ด้านของสามเหลี่ยม