ความเร็วทันที: คำจำกัดความสูตรการคำนวณและแบบฝึกหัด - กายภาพ - 2026

ความเร็วทันทีหมายถึงการเปลี่ยนแปลงที่รวดเร็วของการเปลี่ยนแปลงเวลา เป็นแนวคิดที่เพิ่มความแม่นยำอย่างมากในการศึกษาการเคลื่อนไหว และเป็นความก้าวหน้าที่เกี่ยวกับความเร็วเฉลี่ยซึ่งมีข้อมูลทั่วไปมาก

เพื่อให้ได้ความเร็วทันทีลองดูช่วงเวลาที่เล็กที่สุด แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เป็นเครื่องมือที่สมบูรณ์แบบในการแสดงความคิดนี้ในเชิงคณิตศาสตร์

ความเร็วทันทีแสดงความเร็วของมือถือในแต่ละจุดของการเดินทาง ที่มา: Pixabay

จุดเริ่มต้นคือความเร็วเฉลี่ย:

ขีด จำกัด นี้เรียกว่าอนุพันธ์ ในสัญกรณ์แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เรามี:

ตราบใดที่การเคลื่อนที่ถูก จำกัด ให้เป็นเส้นตรงสามารถใช้สัญกรณ์เวกเตอร์ได้

การคำนวณความเร็วทันที: การตีความทางเรขาคณิต

รูปต่อไปนี้แสดงการตีความทางเรขาคณิตของแนวคิดเชิงอนุพันธ์: มันคือความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง x (t) เทียบกับ t ในแต่ละจุด

ความเร็วทันทีที่ P มีค่าเป็นตัวเลขเท่ากับความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง x เทียบกับ t ที่จุด P แหล่งที่มา: すじにくシチュー

คุณสามารถจินตนาการได้ว่าจะได้รับขีด จำกัด อย่างไรถ้าจุด Q เข้าหาทีละนิดเพื่อชี้ P จะมีช่วงเวลาที่จุดทั้งสองอยู่ใกล้กันมากจนคุณจะไม่สามารถแยกความแตกต่างจากจุดอื่นได้

จากนั้นเส้นที่เชื่อมเข้าด้วยกันจะเปลี่ยนจากการเป็นตัวคั่น (เส้นที่ตัดกันที่จุดสองจุด) เป็นเส้นสัมผัส (เส้นที่สัมผัสกับเส้นโค้งเพียงจุดเดียว) ดังนั้นในการหาความเร็วในทันทีของอนุภาคเคลื่อนที่เราควรมี:

• กราฟตำแหน่งของอนุภาคตามฟังก์ชันของเวลา การหาความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งในแต่ละช่วงเวลาเรามีความเร็วทันทีในแต่ละจุดที่อนุภาคนั้นครอบครอง

O ดี:

• ฟังก์ชันตำแหน่งของอนุภาค x (t) ซึ่งได้มาเพื่อให้ได้ฟังก์ชันความเร็ว v (t) จากนั้นฟังก์ชันนี้จะได้รับการประเมินในแต่ละครั้ง t ตามความสะดวก ฟังก์ชันตำแหน่งจะถือว่าแตกต่างกันได้

บางกรณีพิเศษในการคำนวณความเร็วทันที

- ความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่ P คือ 0 ความชันว่างหมายความว่ามือถือหยุดทำงานและความเร็วของมันคือ 0 แน่นอน

- ความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่ P มากกว่า 0 ความเร็วเป็นบวก ในกราฟด้านบนหมายความว่ามือถือกำลังเคลื่อนออกจาก O

- ความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่ P น้อยกว่า 0 ความเร็วจะเป็นลบ ในกราฟด้านบนไม่มีจุดดังกล่าว แต่ในกรณีนี้อนุภาคจะเข้าใกล้ O

- ความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งคงที่ที่ P และจุดอื่น ๆ ทั้งหมด ในกรณีนี้กราฟเป็นเส้นตรงและมือถือมี MRU การเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ (ความเร็วคงที่)

โดยทั่วไปฟังก์ชัน v (t) ยังเป็นฟังก์ชันของเวลาซึ่งสามารถมีอนุพันธ์ได้ จะเป็นอย่างไรถ้าไม่สามารถหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน x (t) และ v (t) ได้?

ในกรณีของ x (t) อาจเป็นไปได้ว่าความชัน - ความเร็วในทันที - เปลี่ยนเครื่องหมายทันที หรือว่าจะเปลี่ยนจากศูนย์ไปเป็นค่าอื่นทันที

ถ้าเป็นเช่นนั้นกราฟ x (t) จะแสดงจุดหรือมุมในตำแหน่งที่มีการเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหัน แตกต่างอย่างมากจากกรณีที่แสดงในภาพก่อนหน้าซึ่งเส้นโค้ง x (t) เป็นเส้นโค้งเรียบไม่มีจุดมุมการไม่ต่อเนื่องหรือการเปลี่ยนแปลงอย่างกะทันหัน

ความจริงก็คือสำหรับโทรศัพท์มือถือจริงเส้นโค้งเรียบเป็นเส้นที่แสดงถึงพฤติกรรมของวัตถุได้ดีที่สุด

การเคลื่อนไหวโดยทั่วไปค่อนข้างซับซ้อน โทรศัพท์มือถือสามารถหยุดได้ชั่วขณะเร่งความเร็วจากจุดพักเพื่อให้มีความเร็วและเคลื่อนออกจากจุดเริ่มต้นรักษาความเร็วสักครู่จากนั้นเบรกเพื่อหยุดอีกครั้งและอื่น ๆ

อีกครั้งพวกเขาสามารถเริ่มต้นใหม่และดำเนินต่อไปในทิศทางเดียวกัน ดำเนินการย้อนกลับและย้อนกลับ สิ่งนี้เรียกว่าการเคลื่อนไหวที่หลากหลายในมิติเดียว

นี่คือตัวอย่างบางส่วนของการคำนวณความเร็วทันทีจะชี้แจงการใช้คำจำกัดความที่กำหนด:

แก้ไขแบบฝึกหัดของความเร็วทันที

แบบฝึกหัด 1

อนุภาคเคลื่อนที่ไปตามเส้นตรงด้วยกฎการเคลื่อนที่ต่อไปนี้:

ทุกหน่วยงานอยู่ในระบบสากล หา:

ก) ตำแหน่งของอนุภาคที่ t = 3 วินาที

b) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาระหว่าง t = 0 s และ t = 3 s

c) ความเร็วเฉลี่ยในช่วงเวลาระหว่าง t = 0 s และ t = 3 s

d) ความเร็วทันทีของอนุภาคจากคำถามก่อนหน้านี้ที่ t = 1 วินาที

คำตอบ

ก) ในการค้นหาตำแหน่งของอนุภาคกฎการเคลื่อนที่ (ฟังก์ชันตำแหน่ง) จะได้รับการประเมินที่ t = 3:

x (3) = (-4/3) .3 ³ + 2. 3 ² ₊ 6.3 - 10 ม. = -10 ม

ไม่มีปัญหาว่าตำแหน่งติดลบ เครื่องหมาย (-) ระบุว่าอนุภาคอยู่ทางซ้ายของจุดกำเนิด O

b) ในการคำนวณความเร็วเฉลี่ยตำแหน่งสุดท้ายและตำแหน่งเริ่มต้นของอนุภาคจะต้องอยู่ในช่วงเวลาที่ระบุ: x (3) และ x (0) ตำแหน่งที่ t = 3 คือ x (3) และทราบจากผลลัพธ์ก่อนหน้า ตำแหน่งที่ t = 0 วินาทีคือ x (0) = -10 ม.

เนื่องจากตำแหน่งสุดท้ายเหมือนกับตำแหน่งเริ่มต้นจึงสรุปได้ทันทีว่าความเร็วเฉลี่ยคือ 0

c) ความเร็วเฉลี่ยคืออัตราส่วนระหว่างระยะทางที่เดินทางและเวลาที่ใช้ ตอนนี้ระยะทางคือโมดูลหรือขนาดของการกระจัดดังนั้น:

ระยะทาง = -x2 - x1- = --10 - (-10) - ม. = 20 ม

โปรดทราบว่าระยะทางที่เดินทางเป็นค่าบวกเสมอ

v _{ม. = 20 ม. / 3 วินาที = 6.7 ม. / วินาที}

d) ในที่นี้จำเป็นต้องหาอนุพันธ์อันดับหนึ่งของตำแหน่งตามเวลา จากนั้นจะประเมินเป็นเวลา t = 1 วินาที

x '(t) = -4 t ² + 4 t + 6

x '(1) = -4.1 ² + 4.1 + 6 ม. / วินาที = 6 ม. / วินาที

แบบฝึกหัด 2

ด้านล่างนี้คือกราฟตำแหน่งของมือถือตามฟังก์ชันของเวลา ค้นหาความเร็วทันทีที่ t = 2 วินาที

กราฟของตำแหน่งเทียบกับเวลาสำหรับมือถือ ที่มา: self made.

ตอบ

ลากเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งที่ t = 2 วินาทีจากนั้นหาความชันโดยใช้จุดสองจุดบนเส้น

ในการคำนวณความเร็วทันที ณ จุดที่ระบุให้วาดเส้นสัมผัสไปยังจุดนั้นและค้นหาความชัน ที่มา: self made.

ในตัวอย่างนี้เราจะนำจุดสองจุดที่มองเห็นได้ง่ายซึ่งมีพิกัดคือ (2 วินาที, 10 เมตร) และจุดตัดด้วยแกนตั้ง (0 วินาที, 7 เมตร):

อ้างอิง

1. Giancoli, D. ฟิสิกส์. หลักการใช้งาน 6 ^THฉบับ ศิษย์ฮอลล์. 22-25.
2. เรสนิก, อาร์. (2542). ทางกายภาพ. เล่มที่ 1. พิมพ์ครั้งที่สามในภาษาสเปน เม็กซิโก Compañía Editorial Continental SA de CV 21-22
3. Serway, R. , Jewett, J. (2008). ฟิสิกส์สำหรับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม. เล่ม 1. 7 ^ma . ฉบับ. เม็กซิโก. บรรณาธิการการเรียนรู้ Cengage 23-25.