เวกเตอร์ผลลัพธ์: การคำนวณตัวอย่างแบบฝึกหัด - กายภาพ - 2025

เวกเตอร์ส่งผลให้เป็นหนึ่งที่ได้จากการดำเนินการกับเวกเตอร์ที่มีผลยังเป็นเวกเตอร์ โดยปกติการดำเนินการนี้คือผลรวมของเวกเตอร์สองตัวขึ้นไปโดยวิธีการที่ได้รับเวกเตอร์ที่มีผลเทียบเท่า

ด้วยวิธีนี้จะได้เวกเตอร์เช่นความเร็วผลลัพธ์ความเร่งหรือแรง ตัวอย่างเช่นเมื่อหลายแรงF ₁ , F ₂ , F ₃ , … กระทำกับร่างกาย ผลรวมเวกเตอร์ของกองกำลังทั้งหมดเหล่านี้เท่ากับแรงสุทธิ (ผลลัพธ์) ซึ่งแสดงทางคณิตศาสตร์ดังนี้:

F ₁ + F ₂ + F ₃ + … = F _RหรือF _N

รูปที่ 1. น้ำหนักของหิมะกระจายบนหลังคาและการกระทำของมันสามารถแทนที่ได้ด้วยแรงผลลัพธ์เดียวที่ใช้ในสถานที่ที่เหมาะสม ที่มา: Pixabay

เวกเตอร์ที่เป็นผลลัพธ์ไม่ว่าจะเป็นแรงหรือขนาดเวกเตอร์อื่น ๆ พบได้โดยใช้กฎของการบวกเวกเตอร์ เนื่องจากเวกเตอร์มีทิศทางและความรู้สึกเช่นเดียวกับค่าตัวเลขจึงไม่เพียงพอที่จะเพิ่มโมดูลเพื่อให้มีเวกเตอร์ที่เป็นผลลัพธ์

นี่เป็นจริงเฉพาะในกรณีที่เวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องอยู่ในทิศทางเดียวกัน (ดูตัวอย่าง) มิฉะนั้นจำเป็นต้องใช้วิธีผลรวมเวกเตอร์ซึ่งขึ้นอยู่กับกรณีอาจเป็นรูปทรงเรขาคณิตหรือเชิงวิเคราะห์

ตัวอย่าง

วิธีการทางเรขาคณิตในการค้นหาเวกเตอร์ผลลัพธ์คือวิธีการเคลื่อนที่และวิธีสี่เหลี่ยมด้านขนาน

สำหรับวิธีการวิเคราะห์มีวิธีส่วนประกอบซึ่งสามารถหาเวกเตอร์ที่เกิดจากระบบเวกเตอร์ใด ๆ ได้ตราบใดที่เรามีส่วนประกอบคาร์ทีเซียน

วิธีการทางเรขาคณิตเพื่อเพิ่มเวกเตอร์สองตัว

สมมติว่าเวกเตอร์uและv (เราแสดงเป็นตัวหนาเพื่อแยกความแตกต่างจากสเกลาร์) ในรูปที่ 2a) เราวางไว้บนเครื่องบิน ในรูปที่ 2 ข) จะได้รับการแปลเป็นเวกเตอร์โวลต์ในลักษณะดังกล่าวที่เกิดขึ้นพร้อมกับต้นกำเนิดของมันในตอนท้ายของยูเวกเตอร์ผลลัพธ์เริ่มต้นจากจุดเริ่มต้นของตัวแรก ( u ) ไปยังปลายสุดของ ( v ):

รูปที่ 2. เวกเตอร์ผลลัพธ์จากผลรวมกราฟิกของเวกเตอร์ ที่มา: self made.

รูปที่ได้ในกรณีนี้คือสามเหลี่ยม (สามเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยม 3 เหลี่ยม) หากเรามีเวกเตอร์สองตัวในทิศทางเดียวกันขั้นตอนจะเหมือนกัน: วางเวกเตอร์ตัวหนึ่งตามหลังอีกตัวหนึ่งแล้วลากเวกเตอร์ที่ไปจากจุดเริ่มต้นหรือหางของตัวแรกไปยังปลายหรือปลายสุดท้าย

โปรดทราบว่าลำดับที่ทำโพรซีเดอร์นี้ไม่สำคัญเนื่องจากผลรวมของเวกเตอร์เป็นค่าสับเปลี่ยน

โปรดทราบว่าในกรณีนี้โมดูล (ความยาวหรือขนาด) ของเวกเตอร์ผลลัพธ์คือผลรวมของโมดูลของเวกเตอร์ที่เพิ่มเข้ามาซึ่งแตกต่างจากกรณีก่อนหน้าซึ่งโมดูลของเวกเตอร์ผลลัพธ์มีค่าน้อยกว่าผลรวมของ โมดูลผู้เข้าร่วม

วิธีรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน

วิธีนี้เหมาะสมมากเมื่อคุณต้องการเพิ่มเวกเตอร์สองตัวที่มีจุดกำเนิดตรงกันเช่นที่มาของระบบพิกัด xy สมมติว่านี่เป็นกรณีสำหรับเวกเตอร์ของเราuและv (รูปที่ 3a):

รูปที่ 3. ผลรวมของเวกเตอร์สองตัวโดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมด้านขนานกับเวกเตอร์ผลลัพธ์เป็นสีน้ำเงินเทอร์ควอยซ์ ที่มา: self made.

ในรูป 3b) สี่เหลี่ยมด้านขนานได้รับการสร้างขึ้นด้วยความช่วยเหลือของเส้นประขนานไปกับUและVเวกเตอร์ที่ได้มีจุดเริ่มต้นที่ O และสิ้นสุดที่จุดที่เส้นประตัดกัน ขั้นตอนนี้เทียบเท่าอย่างสมบูรณ์กับที่อธิบายไว้ในส่วนก่อนหน้านี้

การออกกำลังกาย

- การออกกำลังกาย 1

จากเวกเตอร์ต่อไปนี้ให้ค้นหาเวกเตอร์ผลลัพธ์โดยใช้วิธีการเคลื่อนที่

รูปที่ 4. เวกเตอร์เพื่อหาผลลัพธ์โดยใช้วิธีการหลายเหลี่ยม แบบฝึกหัด 1. ที่มา: การทำอย่างละเอียดของตัวเอง

สารละลาย

เมธอด traverse เป็นวิธีแรกที่เห็น โปรดจำไว้ว่าผลรวมของเวกเตอร์เป็นแบบสับเปลี่ยน (ลำดับของการบวกไม่ได้เปลี่ยนผลรวม) ดังนั้นคุณสามารถเริ่มต้นด้วยเวกเตอร์ใดก็ได้ตัวอย่างเช่นu (รูปที่ 5a) หรือr (รูปที่ 5b):

รูปที่ 5. ผลรวมของเวกเตอร์โดยใช้วิธีการหลายเหลี่ยม ที่มา: self made.

รูปที่ได้รับเป็นรูปหลายเหลี่ยมและเวกเตอร์ที่เกิด (สีฟ้า) เรียกว่าRหากคุณเริ่มต้นด้วยเวกเตอร์อื่นรูปร่างที่เกิดขึ้นอาจแตกต่างกันดังที่แสดงในตัวอย่าง แต่เวกเตอร์ที่ได้จะเหมือนกัน

แบบฝึกหัด 2

ในรูปต่อไปนี้เรารู้ว่าโมดูลของเวกเตอร์uและvตามลำดับคือ u = 3 หน่วยโดยพลการและ v = 1.8 หน่วยตามอำเภอใจ มุมที่คุณทำกับแกน x บวกคือ45ºในขณะที่vทำให้60ºกับแกน y ดังที่เห็นในรูป ค้นหาเวกเตอร์ที่เป็นผลลัพธ์ขนาดและทิศทาง

สารละลาย

ในส่วนก่อนหน้านี้พบเวกเตอร์ที่เป็นผลลัพธ์โดยใช้วิธีสี่เหลี่ยมด้านขนาน (เป็นสีเขียวขุ่นในรูป)

วิธีง่ายๆในการค้นหาเวกเตอร์ที่เป็นผลลัพธ์ในเชิงวิเคราะห์คือการแสดงเวกเตอร์ที่เพิ่มในรูปของส่วนประกอบคาร์ทีเซียนซึ่งเป็นเรื่องง่ายเมื่อทราบโมดูลัสและมุมเช่นเวกเตอร์ในตัวอย่างนี้:

คุณ_x = คุณ คอส45º = 3 x คอส45º = 2.12; คุณ_y = u. บาป45º = 3x บาป45º = 2.12

v _x = v. บาป60º = 1.8 x บาป60º = 1.56; v _y = -v. cos 60º = -1.8 x cos 60º = - 0.9

เวกเตอร์uและvเป็นเวกเตอร์ที่เป็นของระนาบดังนั้นจึงมีส่วนประกอบสองส่วน เวกเตอร์ u อยู่ในจตุภาคแรกและส่วนประกอบเป็นบวกในขณะที่เวกเตอร์ v อยู่ในจตุภาคที่สี่ องค์ประกอบ x เป็นบวก แต่การฉายบนแกนแนวตั้งตรงกับแกน y เชิงลบ

การคำนวณส่วนประกอบคาร์ทีเซียนของเวกเตอร์ผลลัพธ์

พบเวกเตอร์ที่เป็นผลลัพธ์โดยการเพิ่มองค์ประกอบ x และ y ตามลำดับในเชิงพีชคณิตเพื่อให้ได้ส่วนประกอบคาร์ทีเซียน:

R _x = 2.12 + 1.56 = 3.68

R _y = 2.12 + (-0.9) = 1.22

เมื่อระบุส่วนประกอบคาร์ทีเซียนแล้วเวกเตอร์จะเป็นที่รู้จักอย่างสมบูรณ์ เวกเตอร์ที่ได้สามารถแสดงด้วยสัญกรณ์ในวงเล็บ:

ร = <3.68; 1.22> หน่วยโดยพลการ

สัญกรณ์วงเล็บใช้เพื่อแยกแยะเวกเตอร์จากจุดบนระนาบ (หรือในอวกาศ) อีกวิธีหนึ่งในการแสดงเวกเตอร์ที่เป็นผลลัพธ์ในเชิงวิเคราะห์คือการใช้เวกเตอร์หน่วยiและ j ในระนาบ ( i , jและkในอวกาศ):

R = 3.68 i + 1.22 jหน่วยโดยพลการ

เนื่องจากส่วนประกอบทั้งสองของเวกเตอร์ผลลัพธ์เป็นบวกเวกเตอร์R จึงเป็นของควอดแรนท์แรกซึ่งเคยเห็นในรูปแบบกราฟิกมาก่อนแล้ว

ขนาดและทิศทางของเวกเตอร์ผลลัพธ์

เมื่อทราบส่วนประกอบคาร์ทีเซียนขนาดของ R จะคำนวณผ่านทฤษฎีบทพีทาโกรัสเนื่องจากเวกเตอร์ที่เป็นผลลัพธ์Rร่วมกับส่วนประกอบ R _xและ R _และสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก:

ขนาดหรือโมดูล: R = (3.68 ² + 1.22 ² ) ^½ = 3.88

ทิศทาง q โดยใช้แกน x บวกเป็นข้อมูลอ้างอิง: q = arctan (R _y / R _x ) = arctg (1.22 /3.68) = 18.3 º

อ้างอิง

1. การเพิ่มเวกเตอร์และกฎ ดึงมาจาก: newt.phys.unsw.edu.au
2. Figueroa, D. Series: Physics for Sciences and Engineering. เล่ม 1. Kinematics. 31-68.
3. ทางกายภาพ. โมดูล 8: เวกเตอร์ ดึงมาจาก: frtl.utn.edu.ar
4. Hibbeler, R. 2006. กลศาสตร์สำหรับวิศวกร. คงที่ พิมพ์ครั้งที่ 6. บริษัท สำนักพิมพ์คอนติเนนตัล. 15-53.
5. เครื่องคำนวณการบวกเวกเตอร์ สืบค้นจาก: www.1728.org