ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต: การพิสูจน์การประยุกต์ใช้แบบฝึกหัด - เลข - 2025

ทฤษฎีบทมูลฐานของเลขคณิตรัฐที่ใด ๆ มากขึ้นจำนวนธรรมชาติกว่า 1 สามารถย่อยสลายเป็นผลิตภัณฑ์ของตัวเลขที่สำคัญ - การบางอย่างสามารถทำซ้ำ - และแบบฟอร์มนี้ไม่ซ้ำกันสำหรับตัวเลขที่แม้ว่าคำสั่งของปัจจัยที่อาจจะแตกต่างกัน

จำไว้ว่าจำนวนเฉพาะ p คือค่าที่ยอมรับตัวเองเท่านั้นและ 1 เป็นตัวหารบวกตัวเลขต่อไปนี้คือไพรม์: 2, 3, 5, 7, 11, 13 และอื่น ๆ เนื่องจากมี infinities เลข 1 ไม่ถือเป็นจำนวนเฉพาะเนื่องจากมีตัวหารเพียงตัวเดียว

รูปที่ 1. Euclid (ซ้าย) พิสูจน์ทฤษฎีพื้นฐานของเลขคณิตในหนังสือ Elements (350 ปีก่อนคริสตกาล) และหลักฐานที่สมบูรณ์ครั้งแรกเกิดจาก Carl F. Gauss (1777-1855) (ขวา) ที่มา: Wikimedia Commons

ในส่วนของมันตัวเลขที่ไม่เป็นไปตามข้างต้นเรียกว่าจำนวนคอมโพสิตเช่น 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14 … ลองยกตัวอย่างตัวเลข 10 และทันทีที่เราเห็นว่ามันสามารถย่อยสลายได้เป็นผลคูณของ 2 และ 5:

10 = 2 × 5

ทั้ง 2 และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะอย่างมีประสิทธิภาพ ทฤษฎีบทระบุว่าเป็นไปได้สำหรับจำนวนใด ๆ n:

โดยที่ p ₁ , p ₂ , p ₃ … p _rเป็นจำนวนเฉพาะและ k ₁ , k ₂ , k ₃ , … k _rเป็นจำนวนธรรมชาติ ดังนั้นจำนวนเฉพาะจึงทำหน้าที่เป็นส่วนประกอบสำคัญซึ่งโดยการคูณจะสร้างจำนวนธรรมชาติ

การพิสูจน์ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต

เราเริ่มต้นด้วยการแสดงให้เห็นว่าตัวเลขทุกตัวสามารถย่อยสลายเป็นปัจจัยเฉพาะได้ อนุญาตให้เป็นจำนวนธรรมชาติ n> 1 ไพรม์หรือคอมโพสิต

ตัวอย่างเช่นถ้า n = 2 สามารถแสดงเป็น: 2 = 1 × 2 ซึ่งเป็นไพรม์ ในทำนองเดียวกันให้ดำเนินการตามตัวเลขต่อไปนี้:

3 = 1 × 3

4 = 2 × 2

5 = 1 × 5

6 = 2 × 3

7 = 1 × 7

8 = 2 × 2 × 2

เราทำแบบนี้ต่อไปโดยสลายจำนวนธรรมชาติทั้งหมดจนมาถึงเลข n -1 ลองดูว่าเราทำได้ด้วยตัวเลขต่อไปนี้หรือไม่: n.

ถ้า n เป็นไพรม์เราสามารถแยกย่อยเป็น n = 1 × n แต่สมมติว่า n ประกอบและมีตัวหาร d น้อยกว่า n ตามหลักตรรกะ:

1 <d <n.

ถ้า n / d = p ₁โดย p ₁เป็นจำนวนเฉพาะดังนั้น n จะเขียนเป็น:

n = p ₁ .d

ถ้า d เป็นสำคัญมีไม่มากที่จะทำ แต่ถ้ามันไม่ได้มีจำนวน n ₂ที่เป็นตัวหารงและน้อยกว่านี้: n ₂ <d ดังนั้น d สามารถเขียนเป็นผลิตภัณฑ์ของ n ₂อีก จำนวนเฉพาะ p ₂ :

d p = ₂ n ₂

เมื่อแทนที่ด้วยจำนวนเดิม n จะให้:

n = p ₁ .p ₂ .n ₂

ตอนนี้สมมติว่า n ₂ไม่ใช่จำนวนเฉพาะและเราเขียนมันเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ p ₃โดยตัวหาร n ₃ดังนั้น n ₃ <n ₂ <n ₁ <n:

n ₂ = p ₃ .n ₃ → n = p ₁ p ₂ p ₃ .n ₃

เราทำขั้นตอนนี้ซ้ำหลายครั้งจนกว่าจะได้:

n = p ₁ .p ₂ .p ₃ … p _r

ซึ่งหมายความว่าเป็นไปได้ที่จะแยกย่อยจำนวนเต็มทั้งหมดจาก 2 ถึงจำนวน n เป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ

เอกลักษณ์ของการแยกตัวประกอบเฉพาะ

ตอนนี้ให้เราตรวจสอบว่ายกเว้นลำดับของปัจจัยการสลายตัวนี้ไม่ซ้ำกัน สมมติว่า n สามารถเขียนได้สองวิธี:

n = p ₁ .p ₂ .p ₃ … p _r = q _1. q ₂ .q ₃ … ..q _s (พร้อม r ≤ s)

แน่นอนว่า q ₁ , q ₂ , q ₃ … เป็นจำนวนเฉพาะด้วย ตั้งแต่หน้า₁แบ่ง (Q _1. Q ₂ .q ₃ … ..q _s ) แล้วหน้า₁มีค่าเท่ากับหนึ่งของ“q” มันไม่ได้เรื่อง ที่หนึ่งดังนั้นเราจึงสามารถพูดได้ว่า p ₁ = Q 1 เราหาร n ด้วย p ₁และได้รับ:

หน้า₂ .p ₃ … p _r = _. Q ₂ .q ₃ … ..q _s

เราทำซ้ำขั้นตอนจนกว่าเราจะหารทุกอย่างด้วย p _rจากนั้นเราจะได้:

1 = q _{r + 1} … q _{วินาที}

แต่มันเป็นไปไม่ได้ที่จะมาถึง q _{r + 1} … q _s = 1 เมื่อ r <s ก็ต่อเมื่อ r = s แม้ว่าจะยอมรับว่า r = s แต่ก็ยอมรับว่า "p" และ "q" เหมือนกัน ดังนั้นการสลายตัวจึงมีลักษณะเฉพาะ

การประยุกต์ใช้งาน

ดังที่เราได้กล่าวไปแล้วก่อนหน้านี้จำนวนเฉพาะแสดงถึงอะตอมของตัวเลขส่วนประกอบพื้นฐานหากคุณต้องการ ดังนั้นทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิตจึงมีแอปพลิเคชันมากมายที่ชัดเจนที่สุด: เราสามารถทำงานกับตัวเลขจำนวนมากได้ง่ายขึ้นหากเราแสดงเป็นผลคูณของตัวเลขที่น้อยกว่า

ในทำนองเดียวกันเราสามารถหาค่าตัวคูณร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (LCM) และตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (GCF) ซึ่งเป็นขั้นตอนที่ช่วยให้เราสร้างเศษส่วนได้ง่ายขึ้นค้นหารากของจำนวนมากหรือดำเนินการกับค่ารากหาเหตุผลและแก้ปัญหา ปัญหาการใช้งานในลักษณะที่หลากหลายมาก

นอกจากนี้จำนวนเฉพาะยังเป็นปริศนาอย่างยิ่ง รูปแบบยังไม่เป็นที่รู้จักในพวกเขาและไม่สามารถรู้ได้ว่ารูปแบบใดจะเป็นรูปแบบต่อไป คอมพิวเตอร์ที่ใหญ่ที่สุดในปัจจุบันพบและมี 24,862,048 หลักแม้ว่าจำนวนเฉพาะใหม่จะปรากฏน้อยกว่าในแต่ละครั้ง

จำนวนเฉพาะในธรรมชาติ

จักจั่นจักจั่นหรือจักจั่นที่อาศัยอยู่ทางตะวันออกเฉียงเหนือของสหรัฐอเมริกาเกิดขึ้นในรอบ 13 หรือ 17 ปี ทั้งคู่เป็นจำนวนเฉพาะ

ด้วยวิธีนี้จักจั่นจะหลีกเลี่ยงการอยู่ร่วมกับสัตว์นักล่าหรือคู่แข่งที่มีช่วงเวลาอื่นเกิดและจักจั่นต่างสายพันธุ์ต่างแข่งขันกันเนื่องจากไม่เกิดขึ้นพร้อมกันในปีเดียวกัน

รูปที่ 2 จักจั่น Magicicada ทางตะวันออกของสหรัฐอเมริกาปรากฏตัวทุกๆ 13 ถึง 17 ปี ที่มา: pxfuel.

เลขเด็ดและการช้อปปิ้งออนไลน์

หมายเลขเฉพาะถูกใช้ในการเข้ารหัสเพื่อเก็บรายละเอียดบัตรเครดิตไว้เป็นความลับเมื่อทำการซื้อสินค้าทางอินเทอร์เน็ต ด้วยวิธีนี้ข้อมูลที่ผู้ซื้อเข้าถึงร้านค้าได้อย่างแม่นยำโดยไม่สูญหายหรือตกอยู่ในมือของคนที่ไร้ยางอาย

อย่างไร? ข้อมูลบนการ์ดถูกเข้ารหัสเป็นตัวเลข N ซึ่งสามารถแสดงเป็นผลคูณของจำนวนเฉพาะ จำนวนเฉพาะเหล่านี้เป็นกุญแจสำคัญในการเปิดเผยข้อมูล แต่ไม่เป็นที่รู้จักของสาธารณะโดยสามารถถอดรหัสได้บนเว็บที่นำไปเท่านั้น

การแยกตัวเลขออกเป็นตัวประกอบเป็นเรื่องง่ายหากตัวเลขมีขนาดเล็ก (ดูแบบฝึกหัดที่มีการแก้ไข) แต่ในกรณีนี้จะใช้ตัวเลขหลัก 100 หลักเป็นคีย์ซึ่งเมื่อคูณตัวเลขเหล่านี้จะให้ตัวเลขที่มากขึ้นซึ่งการแยกย่อยโดยละเอียดเกี่ยวข้องกับงานขนาดใหญ่ .

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- แบบฝึกหัด 1

แบ่ง 1029 เป็นปัจจัยสำคัญ

สารละลาย

1029 หารด้วย 3 เป็นที่ทราบกันดีเพราะเมื่อบวกเลขโดดผลรวมจะเป็นผลคูณของ 3: 1 + 0 + 2 + 9 = 12 เนื่องจากลำดับของปัจจัยไม่เปลี่ยนแปลงผลคูณเราสามารถเริ่มได้ที่นั่น:

1029 3

343

1029 = 3 × 343

ในทางกลับกัน 343 = 7 ³แล้ว:

1029 = 3 × 7 ³ = 3 × 7 × 7 × 7

และเนื่องจากทั้ง 3 และ 7 เป็นจำนวนเฉพาะนี่คือการสลายตัวของ 1029

- แบบฝึกหัด 2

หาค่าไตรโนเมียล x ² + 42x + 432

สารละลาย

trinomial ถูกเขียนใหม่ในรูปแบบ (x + a) (x + b) และเราต้องหาค่าของ a และ b เช่นนั้น:

a + b = 42; ab = 432

หมายเลข 432 ถูกย่อยสลายเป็นปัจจัยสำคัญและจากนั้นการผสมผสานที่เหมาะสมจะถูกเลือกโดยการลองผิดลองถูกเพื่อให้ปัจจัยเสริมให้ 42

432 = 2 ⁴ × 3 ³ = 2 × 3 ³ × 2 ³ = 2 ⁴ × 3 ² × 3 = …

จากที่นี่มีความเป็นไปได้หลายประการในการเขียน 432:

432 = 16 × 27 = 24 × 18 = 54 × 8 = 6 × 72 ….

และทั้งหมดนี้สามารถพบได้โดยการรวมผลิตภัณฑ์ในปัจจัยสำคัญ แต่เพื่อแก้ปัญหาการออกกำลังกายที่เสนอชุดค่าผสมที่เหมาะสมเพียงอย่างเดียวคือ: 432 = 24 × 18 ตั้งแต่ 24 + 18 = 42 จากนั้น:

x ² + 42x + 432 = (x + 24) (x +18)

อ้างอิง

1. Baldor, A. 1986. เลขคณิตเชิงปฏิบัติเชิงทฤษฎี. Compañía Cultural Editora de Textos Americanos SA
2. BBC World. รหัสธรรมชาติที่ซ่อนอยู่ สืบค้นจาก: bbc.com.
3. เดอเลออนมานูเอลหมายเลขนายกรัฐมนตรี: ผู้พิทักษ์อินเทอร์เน็ต ดึงมาจาก: blogs.20minutos.es.
4. ไต้หวัน ทฤษฎีจำนวน 1: ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต สืบค้นจาก: teoriadenumeros.wikidot.com.
5. วิกิพีเดีย ทฤษฎีบทพื้นฐานของเลขคณิต สืบค้นจาก: es.wikipedia.org.