BIJECTIVE FUNCTION: มันคืออะไรทำอย่างไรตัวอย่างแบบฝึกหัด - เลข - 2025

ฟังก์ชั่น bijectiveเป็นหนึ่งที่มีคุณสมบัติตรงตามเงื่อนไขของการเป็นคู่นึงและ surjective นั่นคือองค์ประกอบทั้งหมดของโดเมนมีภาพเดียวในโคโดเมนและในทางกลับกันโคโดเมนจะเท่ากับอันดับของฟังก์ชัน ( R _f )

เติมเต็มโดยพิจารณาความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อกลุ่มระหว่างองค์ประกอบของโดเมนและโคโดเมน ตัวอย่างง่ายๆคือฟังก์ชันF: R → R ที่กำหนดโดยบรรทัดF (x) = x

ที่มา: ผู้แต่ง

เป็นที่สังเกตว่าสำหรับแต่ละค่าของโดเมนหรือชุดเริ่มต้น (ทั้งสองคำใช้เท่ากัน) จะมีภาพเดียวในโคโดเมนหรือชุดการมาถึง นอกจากนี้ไม่มีองค์ประกอบของโคโดเมนนอกเหนือจากรูปภาพ

ด้วยวิธีนี้F: R → R ที่กำหนดโดยบรรทัดF (x) = x เป็น bijective

คุณทำฟังก์ชัน bijective ได้อย่างไร?

ในการตอบคำถามนี้จำเป็นต้องมีความชัดเจนเกี่ยวกับแนวคิดที่เกี่ยวข้องกับการฉีดและการคาดคะเนของฟังก์ชันตลอดจนเกณฑ์สำหรับฟังก์ชันการปรับสภาพเพื่อปรับให้เข้ากับข้อกำหนด

การอัดฉีดของฟังก์ชัน

ฟังก์ชั่นเป็นแบบฉีดเมื่อแต่ละองค์ประกอบของโดเมนเกี่ยวข้องกับองค์ประกอบเดียวของโคโดเมน องค์ประกอบของโคโดเมนสามารถเป็นรูปภาพขององค์ประกอบเดียวของโดเมนเท่านั้นด้วยวิธีนี้ค่าของตัวแปรตามไม่สามารถทำซ้ำได้

ในการพิจารณาฟังก์ชั่นฉีดต้องปฏิบัติตามสิ่งต่อไปนี้:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁ ) ≠ F (x ₂ )

การคาดเดาของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันจะถูกจัดประเภทเป็นแบบคาดเดาได้หากแต่ละองค์ประกอบของโคโดเมนเป็นรูปภาพของโดเมนอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ

ในการพิจารณาฟังก์ชั่นการคาดเดาต้องปฏิบัติตามสิ่งต่อไปนี้:

ให้F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

นี่คือวิธีพีชคณิตในการกำหนดว่าสำหรับทุก "b" ที่เป็นของ C _fจะมี "a" ที่เป็นของ D _fซึ่งฟังก์ชันที่ประเมินใน "a" จะเท่ากับ "b"

การปรับสภาพการทำงาน

บางครั้งฟังก์ชั่นที่ไม่มีอคติอาจต้องอยู่ภายใต้เงื่อนไขบางประการ เงื่อนไขใหม่เหล่านี้สามารถทำให้เป็นฟังก์ชันทางชีวภาพ การปรับเปลี่ยนโดเมนและโคโดเมนของฟังก์ชันทุกชนิดถูกต้องโดยมีวัตถุประสงค์เพื่อเติมเต็มคุณสมบัติของการฉีดและการคาดเดาในความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกัน

ตัวอย่าง: แบบฝึกหัดที่มีการแก้ไข

แบบฝึกหัด 1

ให้ฟังก์ชันF: R → RกำหนดโดยบรรทัดF (x) = 5x +1

A:

เป็นที่สังเกตว่าสำหรับทุกค่าของโดเมนจะมีภาพอยู่ในโคโดเมน ภาพนี้เป็นภาพที่ไม่ซ้ำกันซึ่งจะทำให้Fฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งในทำนองเดียวกันเราสังเกตว่าโคโดเมนของฟังก์ชันเท่ากับอันดับ ดังนั้นการปฏิบัติตามเงื่อนไขของsurjectivity

การฉีดยาและการคาดเดาในเวลาเดียวกันเราสามารถสรุปได้ว่า

F: R → RกำหนดโดยบรรทัดF (x) = 5x +1เป็นฟังก์ชัน bijective

สิ่งนี้ใช้กับฟังก์ชันเชิงเส้นทั้งหมด (ฟังก์ชันที่มีระดับสูงสุดของตัวแปรคือหนึ่ง)

แบบฝึกหัด 2

ให้ฟังก์ชันF: R → RกำหนดโดยF (x) = 3x ² - 2

เมื่อวาดเส้นแนวนอนจะสังเกตได้ว่าพบกราฟมากกว่าหนึ่งครั้ง ด้วยเหตุนี้ฟังก์ชั่นFจึงไม่เป็นแบบฉีดดังนั้นจึงไม่เป็นbijectiveตราบเท่าที่กำหนดไว้ในR → R

ในทำนองเดียวกันมีค่า codomain ที่ไม่ใช่ภาพขององค์ประกอบใด ๆ ของโดเมน ด้วยเหตุนี้ฟังก์ชันจึงไม่คาดเดาซึ่งสมควรที่จะกำหนดเงื่อนไขการมาถึง

เราดำเนินการเพื่อกำหนดเงื่อนไขโดเมนและโคโดเมนของฟังก์ชัน

F: →

โดยที่สังเกตได้ว่าโดเมนใหม่ครอบคลุมค่าตั้งแต่ศูนย์ถึงอินฟินิตี้บวก หลีกเลี่ยงการเกิดค่าซ้ำ ๆ ที่มีผลต่อการฉีด

ในทำนองเดียวกันโคโดเมนได้รับการแก้ไขโดยนับจาก "-2" เป็นค่าอนันต์บวกโดยกำจัดค่าที่ไม่สอดคล้องกับองค์ประกอบใด ๆ ของโดเมนออกจากโคโดเมน

ด้วยวิธีนี้จึงมั่นใจได้ว่าF : → กำหนดโดยF (x) = 3x ² - 2

มันเป็นอคติ

แบบฝึกหัด 3

ให้ฟังก์ชันF: R → R ถูกกำหนดโดยF (x) = Sen (x)

ในช่วงเวลาฟังก์ชันไซน์จะเปลี่ยนผลลัพธ์ระหว่างศูนย์และหนึ่ง

ที่มา: ผู้แต่ง.

ฟังก์ชันFไม่สอดคล้องกับเกณฑ์ของการฉีดและการคาดคะเนเนื่องจากค่าของตัวแปรตามซ้ำกันทุกช่วงของ นอกจากนี้เงื่อนไขของโคโดเมนนอกช่วงเวลาไม่ใช่ภาพขององค์ประกอบใด ๆ ของโดเมน

เมื่อศึกษากราฟของฟังก์ชันf (x) = เสน (x) , ช่วงเวลาที่มีการปฏิบัติที่พฤติกรรมของเส้นโค้งที่เป็นไปตามbijectivityเกณฑ์ เช่นช่วงเวลาD _f =สำหรับโดเมน และC _f =สำหรับโคโดเมน

โดยที่ฟังก์ชันเปลี่ยนผลลัพธ์จาก 1 ถึง -1 โดยไม่ต้องทำซ้ำค่าใด ๆ ในตัวแปรตาม และในเวลาเดียวกันโคโดเมนจะเท่ากับค่าที่ใช้โดยนิพจน์Sen (x)

ดังนั้นฟังก์ชันF: →กำหนดโดยF (x) = Sen (x) มันเป็นอคติ

แบบฝึกหัด 4

ระบุเงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับ D _Fและ C F ดังนั้นการแสดงออก

F (x) = -x ²เป็น bijective

ที่มา: ผู้แต่ง

การทำซ้ำของผลลัพธ์จะสังเกตได้เมื่อตัวแปรรับค่าตรงข้าม:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

โดเมนถูกกำหนดเงื่อนไขโดย จำกัด ไว้ที่ด้านขวาของเส้นจริง

D _ฉ =

ในทำนองเดียวกันจะสังเกตได้ว่าช่วงของฟังก์ชันนี้คือช่วงเวลาซึ่งเมื่อทำหน้าที่เป็นโคโดเมนจะตอบสนองเงื่อนไขของการคาดเดา

ด้วยวิธีนี้เราสามารถสรุปได้ว่า

นิพจน์F: →กำหนดโดยF (x) = -x ²เป็นแบบ bijective

แบบฝึกหัดที่เสนอ

ตรวจสอบว่าฟังก์ชั่นต่อไปนี้เป็นแบบสองมิติหรือไม่:

F: → RกำหนดโดยF (x) = 5ctg (x)

F: → RกำหนดโดยF (x) = Cos (x - 3)

F: R → RกำหนดโดยบรรทัดF (x) = -5x + 4

อ้างอิง

1. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับตรรกะและการคิดเชิงวิพากษ์ ปลาแซลมอน Merrilee H. มหาวิทยาลัยพิตต์สเบิร์ก
2. ปัญหาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ Piotr Biler, Alfred Witkowski มหาวิทยาลัยวรอกลอว์. โปแลนด์.
3. องค์ประกอบของการวิเคราะห์บทคัดย่อ Mícheál O'Searcoid PhD. ภาควิชาคณิตศาสตร์. University College Dublin, Beldfield, Dublind 4
4. รู้เบื้องต้นเกี่ยวกับลอจิกและระเบียบวิธีวิทยานิรนัย Alfred Tarski จาก New York Oxford สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด
5. หลักการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์. Enrique LinésEscardó บทบรรณาธิการReverté S. A 1991. บาร์เซโลนาสเปน.