ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์: สูตรคุณสมบัติตัวอย่างแบบฝึกหัด - ดูดาส - 2025

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์หรือมูลค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่ม X จะแสดงเป็น E (X) และถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของสินค้าระหว่างความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแบบสุ่มและความคุ้มค่าของการจัดงานดังกล่าวนั้น

ในรูปแบบทางคณิตศาสตร์จะแสดงดังนี้:

รูปที่ 1. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ใช้กันอย่างแพร่หลายในตลาดหุ้นและในการประกันภัย ที่มา: Pixabay

โดยที่ x _iคือค่าของเหตุการณ์และ P (x _i ) ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้น ผลรวมจะขยายไปทั่วค่าทั้งหมดที่ X ยอมรับและถ้าค่าเหล่านี้ จำกัด จำนวนที่ระบุจะรวมเข้ากับค่า E (X) แต่ถ้าผลรวมไม่มาบรรจบกันตัวแปรก็ไม่มีค่าที่คาดหวัง

เมื่อเป็นตัวแปรต่อเนื่อง x ตัวแปรสามารถมีค่าไม่สิ้นสุดและปริพันธ์แทนที่ผลรวม:

ที่นี่ f (x) แสดงถึงฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็น

โดยทั่วไปความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ (ซึ่งเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก) จะไม่เท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตหรือค่าเฉลี่ยเว้นแต่เราจะจัดการกับการแจกแจงแบบไม่ต่อเนื่องซึ่งแต่ละเหตุการณ์มีความเป็นไปได้เท่ากัน จากนั้นและต่อจากนั้น:

โดยที่ n คือจำนวนค่าที่เป็นไปได้

แนวคิดนี้มีประโยชน์มากในตลาดการเงินและ บริษัท ประกันภัยซึ่งมักจะขาดการรับรอง แต่มีความน่าจะเป็นอยู่

คุณสมบัติของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์

ในคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์สิ่งต่อไปนี้โดดเด่น:

- เครื่องหมาย:ถ้า X เป็นบวก E (X) ก็จะเป็นบวกเช่นกัน

- ค่าคงที่ที่คาดหวัง: ค่าที่คาดหวังของค่าคงที่จริง k คือค่าคงที่

- ความเป็นเส้นตรงในผลรวม:ความคาดหวังของตัวแปรสุ่มซึ่งผลรวมของสองตัวแปร X และ Y คือผลรวมของความคาดหวัง

E (X + Y) = E (X) + E (Y)

- การคูณด้วยค่าคงที่ : ถ้าตัวแปรสุ่มอยู่ในรูปแบบ kX โดยที่ k เป็นค่าคงที่ (จำนวนจริง) มันจะออกมานอกค่าที่คาดไว้

- มูลค่าที่คาดหวังของผลิตภัณฑ์และความเป็นอิสระระหว่างตัวแปร : หากตัวแปรสุ่มเป็นผลคูณของตัวแปรสุ่ม X และ Y ซึ่งไม่ขึ้นกับค่าที่คาดหวังของผลิตภัณฑ์จะเป็นผลคูณของค่าที่คาดหวัง

โดยทั่วไปถ้า Y = g (X):

- ลำดับในมูลค่าที่คาดหวัง:ถ้า X ≤ Y ดังนั้น:

เนื่องจากมีค่าที่คาดหวังของแต่ละค่า

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ในการเดิมพัน

เมื่อนักดาราศาสตร์ชื่อดัง Christian Huygens (1629-1695) ไม่ได้สังเกตท้องฟ้าเขาทุ่มเทให้กับการศึกษาความน่าจะเป็นในเกมแห่งโอกาส เขาเป็นคนที่นำแนวคิดเรื่องความหวังทางคณิตศาสตร์มาใช้ในงานปี 1656 ที่ชื่อ: การให้เหตุผลเกี่ยวกับเกมแห่งโอกาส

รูปที่ 2. Christiaan Huygens (1629-1625) เป็นนักวิทยาศาสตร์ที่เก่งกาจและมีความสามารถหลากหลายซึ่งเราเป็นหนี้แนวคิดเรื่องคุณค่าที่คาดหวัง

Huygens พบว่าการเดิมพันสามารถแบ่งออกได้สามวิธีโดยพิจารณาจากมูลค่าที่คาดหวัง:

- เกมที่ได้เปรียบ: E (X)> 0

- การเดิมพันที่ยุติธรรม: E (X) = 0

- เกมเสียเปรียบ: E (X) <0

ปัญหาคือในเกมแห่งโอกาสที่ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นไม่ง่ายที่จะคำนวณเสมอไป และเมื่อคุณทำได้บางครั้งผลลัพธ์ก็น่าผิดหวังสำหรับผู้ที่สงสัยว่าควรเดิมพันหรือไม่

ลองเดิมพันง่ายๆ: หัวหรือก้อยและผู้แพ้จ่ายกาแฟ 1 เหรียญ มูลค่าที่คาดหวังของการเดิมพันนี้คืออะไร?

ความน่าจะเป็นที่หัวจะถูกรีดคือ equal เท่ากับก้อย ตัวแปรสุ่มคือการได้รับ $ 1 หรือสูญเสีย $ 1 กำไรจะแสดงด้วยเครื่องหมาย + และการสูญเสียด้วยเครื่องหมาย -

เราจัดระเบียบข้อมูลในตาราง:

เราคูณค่าของคอลัมน์: 1. ½ = ½และ (-1) ½ = -½และสุดท้ายผลลัพธ์จะถูกเพิ่ม ผลรวมคือ 0 และเป็นเกมที่ยุติธรรมซึ่งคาดว่าผู้เข้าร่วมจะไม่ชนะหรือแพ้

รูเล็ตฝรั่งเศสและลอตเตอรีเป็นเกมแฮนดิแคปที่นักเดิมพันส่วนใหญ่แพ้ ต่อมามีการเดิมพันที่ซับซ้อนขึ้นเล็กน้อยในส่วนแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้

ตัวอย่าง

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างง่ายๆที่แนวคิดของความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ใช้งานง่ายและชี้แจงแนวคิด:

ตัวอย่าง 1

เราจะเริ่มต้นด้วยการตายอย่างซื่อสัตย์ มูลค่าที่คาดหวังของการเปิดตัวคืออะไร? ถ้าการตายนั้นซื่อสัตย์และมี 6 หัวความน่าจะเป็นที่ค่าใด ๆ (X = 1, 2, 3 … 6) จะหมุนเท่ากับ 1/6 ดังนี้:

E (X) = 1. (1/6) + 2. (1/6) + 3. (1/6) + 4. (1/6) + 5. (1/6) + 6. (1 / 6) = 21/6 = 3.5

รูปที่ 3 ในการหมุนของแม่พิมพ์ซื่อสัตย์ค่าที่คาดว่าจะไม่ใช่ค่าที่เป็นไปได้ ที่มา: Pixabay

ค่าที่คาดหวังในกรณีนี้จะเท่ากับค่าเฉลี่ยเนื่องจากแต่ละใบหน้ามีความน่าจะเป็นที่จะออกมาเท่ากัน แต่ E (X) ไม่ใช่ค่าที่เป็นไปได้เนื่องจากไม่มีหัวใดที่มีค่า 3.5 นี่เป็นไปได้อย่างสมบูรณ์แบบในการแจกแจงบางอย่างแม้ว่าในกรณีนี้ผลลัพธ์จะไม่ได้ช่วยนักเดิมพันมากนัก

ลองดูตัวอย่างอื่นด้วยการโยนเหรียญสองเหรียญ

ตัวอย่าง 2

เหรียญซื่อสัตย์สองเหรียญจะถูกโยนขึ้นไปในอากาศและเรากำหนดตัวแปรสุ่ม X เป็นจำนวนหัวที่กลิ้ง เหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นมีดังต่อไปนี้:

- ไม่มีหัวขึ้นมา: 0 หัวซึ่งเท่ากับ 2 หาง

- ออกมา 1 หัวและ 1 ตราประทับหรือหาง

- สองใบหน้าออกมา

ให้ C เป็นส่วนหัวและ T เป็นตราประทับพื้นที่ตัวอย่างที่อธิบายเหตุการณ์เหล่านี้มีดังต่อไปนี้:

S _m = {ซีล - ซีล; Seal-ใบหน้า; ใบหน้าซีล; ใบหน้า} = {TT, TC, CT, CC}

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นคือ:

P (X = 0) = P (T). P (T) = ½. ½ = ¼

P (X = 1) = P (TC) + P (CT) = P (T). P (C) + P (C). P (T) = ¼ + ¼ = ½

P (X = 2) = P (C). P (C) = ½. ½ = ¼

ตารางสร้างขึ้นด้วยค่าที่ได้รับ:

ตามคำจำกัดความที่ให้ไว้ในตอนต้นความคาดหวังทางคณิตศาสตร์คำนวณได้ดังนี้:

การแทนที่ค่า:

E (X) = 0. ¼ + 1. ½ + 2. ¼ = ½ + ½ = 1

ผลลัพธ์นี้ตีความได้ดังนี้: หากบุคคลมีเวลามากพอที่จะทำการทดลองจำนวนมากโดยการโยนเหรียญสองเหรียญเขาคาดว่าจะได้รับส่วนหัวในการทอยแต่ละครั้ง

อย่างไรก็ตามเราทราบดีว่าการเผยแพร่ที่มีป้ายกำกับ 2 รายการนั้นเป็นไปได้อย่างสมบูรณ์แบบ

การออกกำลังกายได้รับการแก้ไข

ในการโยนเหรียญที่ซื่อสัตย์สองเหรียญจะมีการเดิมพันต่อไปนี้: หาก 2 หัวออกมาคุณจะชนะ $ 3 ถ้า 1 หัวออกมาคุณจะชนะ $ 1 แต่ถ้าแสตมป์สองดวงออกมาคุณจะต้องจ่าย $ 5 คำนวณการชนะที่คาดหวังของการเดิมพัน

รูปที่ 4. ขึ้นอยู่กับการเดิมพันความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเปลี่ยนไปเมื่อโยนเหรียญสองเหรียญที่ซื่อสัตย์ ที่มา: Pixabay

สารละลาย

ตัวแปรสุ่ม X คือค่าที่เงินใช้ในการเดิมพันและมีการคำนวณความน่าจะเป็นในตัวอย่างก่อนหน้าดังนั้นตารางของการเดิมพันคือ:

E (X) = 3. ¼ + 1. ½ + (-5) ¼ = 0

เนื่องจากมูลค่าที่คาดไว้คือ 0 นี่คือเกมที่ยุติธรรมดังนั้นที่นี่นักเดิมพันจึงคาดว่าจะไม่ชนะและไม่แพ้เช่นกัน อย่างไรก็ตามจำนวนเงินเดิมพันอาจเปลี่ยนแปลงได้เพื่อให้เดิมพันเป็นเกมแฮนดิแคปหรือเกมแฮนดิแคป

อ้างอิง

1. Brase, C. 2009. สถิติที่เข้าใจได้. ฮัฟตันมิฟฟลิน
2. Olmedo, F. ความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับแนวคิดของค่าที่คาดหวังหรือความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่ม กู้คืนจาก: personal.us.es.
3. LibreTexts สถิติ ค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง ดึงมาจาก: stats.libretexts.org.
4. Triola, M. 2010. สถิติเบื้องต้น. วันที่ 11 เอ็ดแอดดิสันเวสลีย์
5. Walpole, R. 2007. ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิทยาศาสตร์และวิศวกรรม. 8 ฉบับ การศึกษาของเพียร์สัน.