อัตลักษณ์ของพีทาโกรัส: การสาธิตตัวอย่างแบบฝึกหัด - เลข - 2026

อัตลักษณ์ของพีทาโกรัสคือสมการตรีโกณมิติทั้งหมดที่เก็บค่าใด ๆ ของมุมและเป็นไปตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส อัตลักษณ์ของพีทาโกรัสที่มีชื่อเสียงที่สุดคือเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

บาป² (α) + คอส² (α) = 1

รูปที่ 1. อัตลักษณ์ตรีโกณมิติของพีทาโกรัส

ความสำคัญต่อไปและฉันใช้เอกลักษณ์ของพีทาโกรัสของแทนเจนต์และซีแคนท์:

Tan ² (α) + 1 = วินาที² (α)

และเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพีทาโกรัสที่เกี่ยวข้องกับโคแทนเจนต์และโคซีแคนต์:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

สาธิต

อัตราส่วนตรีโกณมิติไซน์และโคไซน์แสดงบนวงกลมรัศมีหนึ่ง (1) ที่เรียกว่าวงกลมตรีโกณมิติ วงกลมดังกล่าวมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด O

มุมวัดจากแกนกึ่งบวกของ Xs ตัวอย่างเช่นมุมαในรูปที่ 2 (ดูด้านล่าง) ทวนเข็มนาฬิกาถ้ามุมเป็นบวกและตามเข็มนาฬิกาถ้าเป็นมุมลบ

รังสีที่มีจุดกำเนิด O และมุมαจะถูกดึงออกมาซึ่งจะตัดวงกลมของหน่วยที่จุด P จุด P ถูกฉายในแนวตั้งฉากบนแกนนอน X ที่ก่อให้เกิดจุด C ในทำนองเดียวกัน P จะฉายในแนวตั้งฉากบนแกนแนวตั้ง Y ให้ สถานที่ชี้ S.

เรามี OCP สามเหลี่ยมมุมฉากที่ C

ไซน์และโคไซน์

ควรจำไว้ว่าไซน์อัตราส่วนตรีโกณมิติถูกกำหนดไว้บนสามเหลี่ยมมุมฉากดังนี้:

ไซน์ของมุมของสามเหลี่ยมคืออัตราส่วนหรือผลหารระหว่างขาตรงข้ามมุมกับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม

นำไปใช้กับ OCP สามเหลี่ยมของรูปที่ 2 จะมีลักษณะดังนี้:

เซน (α) = CP / OP

แต่ CP = OS และ OP = 1 ดังนั้น:

Sen (α) = ระบบปฏิบัติการ

ซึ่งหมายความว่า OS การฉายภาพบนแกน Y มีค่าเท่ากับไซน์ของมุมที่แสดง ควรสังเกตว่าค่าสูงสุดของไซน์ของมุม (+1) เกิดขึ้นเมื่อα = 90ºและค่าต่ำสุด (-1) เมื่อα = -90ºหรือα = 270º

รูปที่ 2. วงกลมตรีโกณมิติแสดงความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน (ความประณีตของตัวเอง)

ในทำนองเดียวกันโคไซน์ของมุมคือผลหารระหว่างขาที่อยู่ติดกับมุมและด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม

นำไปใช้กับ OCP สามเหลี่ยมของรูปที่ 2 จะมีลักษณะดังนี้:

คอส (α) = OC / OP

แต่ OP = 1 ดังนั้น:

คอส (α) = OC

ซึ่งหมายความว่าการฉาย OC บนแกน X มีค่าเท่ากับไซน์ของมุมที่แสดง ควรสังเกตว่าค่าสูงสุดของโคไซน์ (+1) เกิดขึ้นเมื่อα = 0ºหรือα = 360ºในขณะที่ค่าโคไซน์ต่ำสุดคือ (-1) เมื่อα = 180º

เอกลักษณ์พื้นฐาน

สำหรับ OCP สามเหลี่ยมมุมฉากใน C จะใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งระบุว่าผลรวมของกำลังสองของขาเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก:

CP ² + OC ² = OP ²

แต่มีการกล่าวแล้วว่า CP = OS = Sen (α) นั้น OC = Cos (α) และ OP = 1 ดังนั้นนิพจน์ก่อนหน้านี้สามารถเขียนใหม่เป็นฟังก์ชันของไซน์และโคไซน์ของมุมได้:

บาป² (α) + คอส² (α) = 1

แกนของแทนเจนต์

เช่นเดียวกับแกน X ในวงกลมตรีโกณมิติคือแกนโคไซน์และแกน Y เป็นแกนไซน์ในทำนองเดียวกันมีแกนแทนเจนต์ (ดูรูปที่ 3) ซึ่งเป็นเส้นสัมผัสกับวงกลมหน่วยที่จุด B ของพิกัด (1, 0)

ถ้าคุณต้องการทราบค่าของแทนเจนต์ของมุมมุมจะถูกดึงมาจากแกนกึ่งบวกของ X จุดตัดของมุมที่มีแกนของแทนเจนต์กำหนดจุด Q ความยาวของส่วน OQ คือแทนเจนต์ของ มุม.

เนื่องจากตามนิยามแล้วแทนเจนต์ของมุมαคือขาตรงข้าม QB ระหว่างขาที่อยู่ติดกัน OB นั่นคือ Tan (α) = QB / OB = QB / 1 = QB

รูปที่ 3 วงกลมตรีโกณมิติแสดงแกนของแทนเจนต์และเอกลักษณ์ของพีทาโกรัสของแทนเจนต์ (ความประณีตของตัวเอง)

เอกลักษณ์ของพีทาโกรัสของแทนเจนต์

เอกลักษณ์ของพีทาโกรัสของแทนเจนต์สามารถพิสูจน์ได้โดยพิจารณาจาก OBQ สามเหลี่ยมมุมฉากที่ B (รูปที่ 3) ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสามเหลี่ยมนี้เรามีที่ BQ ² + OB ² = OQ 2 แต่มีการกล่าวไปแล้วว่า BQ = Tan (α) OB = 1 และ OQ = Sec (α) ดังนั้นการแทนที่ด้วยความเท่าเทียมกันของ Pythagorean สำหรับ OBQ ของสามเหลี่ยมมุมฉากเรามี:

Tan ² (α) + 1 = วินาที² (α)

ตัวอย่าง

ตรวจสอบว่ามีการเติมตัวตนของพีทาโกรัสในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากของขา AB = 4 และ BC = 3 หรือไม่

วิธีแก้ปัญหา: ทราบขาแล้วจำเป็นต้องกำหนดด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งก็คือ:

AC = √ (AB ^ 2 + BC ^ 2) = √ (4 ^ 2 + 3 ^ 2) = √ (16 + 9) = √ (25) = 5

มุม∡BACจะเรียกว่าα, ∡BAC = α ตอนนี้อัตราส่วนตรีโกณมิติถูกกำหนด:

เซนα = BC / AC = 3/5

คอสα = AB / AC = 4/5

ดังนั้นα = BC / AB = 3/4

โคตันα = AB / BC = 4/3

วินาทีα = AC / AB = 5/4

Csc α = AC / BC = 5/3

เริ่มต้นด้วยเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน:

บาป² (α) + คอส² (α) = 1

(3/5) ^ 2 + (4/5) ^ 2 = 9/25 + 16/25 = (9 +16) / 25 = 25/25 = 1

เป็นที่สรุปว่าสมหวัง

- เอกลักษณ์ของพีทาโกรัสต่อไปคือแทนเจนต์:

Tan ² (α) + 1 = วินาที² (α)

(3/4) ^ 2 + 1 = 9/16 + 16/16 = (9 + 16) / 16 = 25/16 = (5/4) ^ 2

และสรุปได้ว่ามีการยืนยันตัวตนของแทนเจนต์

- ในทำนองเดียวกันกับโคแทนเจนต์:

1 + Ctg ² (α) = Csc ² (α)

1+ (4/3) ^ 2 = 1 + 16/9 = 25/9 = (5/3) ^ 2

สรุปได้ว่ามันถูกเติมเต็มเช่นกันซึ่งภารกิจในการตรวจสอบตัวตนของพีทาโกรัสสำหรับรูปสามเหลี่ยมนั้นเสร็จสมบูรณ์แล้ว

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

พิสูจน์อัตลักษณ์ต่อไปนี้โดยพิจารณาจากคำจำกัดความของอัตราส่วนตรีโกณมิติและอัตลักษณ์ของพีทาโกรัส

แบบฝึกหัด 1

พิสูจน์ว่า Cos ² x = (1 + Sin x) (1 - Sin x)

วิธีแก้ปัญหา: ทางด้านขวาเรารับรู้ถึงผลคูณที่น่าทึ่งของการคูณทวินามด้วยการผันคำกริยาซึ่งอย่างที่เราทราบกันดีว่าเป็นผลต่างของกำลังสอง:

คอส² x = 1 ² - บาป² x

จากนั้นคำที่มีไซน์ทางด้านขวาจะผ่านไปทางด้านซ้ายโดยเปลี่ยนเครื่องหมาย:

คอส² x + เสน² x = 1

โดยสังเกตว่ามีการเข้าถึงเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานแล้วดังนั้นจึงสรุปได้ว่านิพจน์ที่กำหนดคือเอกลักษณ์นั่นคือเป็นจริงสำหรับค่าใด ๆ ของ x

แบบฝึกหัด 2

เริ่มจากเอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐานและใช้นิยามของอัตราส่วนตรีโกณมิติแสดงให้เห็นถึงเอกลักษณ์ของพีทาโกรัสของโคซีแคนต์

วิธีแก้ปัญหา: เอกลักษณ์พื้นฐานคือ:

บาป² (x) + คอส² (x) = 1

สมาชิกทั้งสองถูกหารด้วย Sen ² (x) และตัวส่วนจะถูกกระจายในสมาชิกตัวแรก:

บาป² (x) / บาป² (x) + คอส² (x) / บาป² (x) = 1 / บาป² (x)

มันง่ายขึ้น:

1 + (คอส (x) / เซน (x)) ^ 2 = (1 / เสน (x)) ^ 2

Cos (x) / Sen (x) = Cotan (x) คือเอกลักษณ์ (ไม่ใช่ Pythagorean) ที่ตรวจสอบโดยนิยามของอัตราส่วนตรีโกณมิติ สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับเอกลักษณ์ต่อไปนี้: 1 / Sen (x) = Csc (x)

สุดท้ายคุณต้อง:

1 + กะรัต² (x) = Csc ² (x)

อ้างอิง

1. Baldor J. (1973). เรขาคณิตเครื่องบินและอวกาศพร้อมบทนำเกี่ยวกับตรีโกณมิติ วัฒนธรรมอเมริกากลาง. ไฟฟ้ากระแสสลับ
2. CEA (2003) องค์ประกอบเรขาคณิต: พร้อมแบบฝึกหัดและเรขาคณิตของเข็มทิศ มหาวิทยาลัย Medellin
3. Campos, F. , Cerecedo, FJ (2014). คณิตศาสตร์ 2. Grupo Editorial Patria.
4. Iger (เอสเอฟ) คณิตศาสตร์ภาคเรียนที่ 1 Tacaná Iger
5. เรขาคณิตจูเนียร์ (2014) รูปหลายเหลี่ยม Lulu Press, Inc.
6. Miller, Heeren และ Hornsby (2006) คณิตศาสตร์: การใช้เหตุผลและการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่สิบ). การศึกษาของเพียร์สัน.
7. ปาติโญ, ม. (2549). คณิตศาสตร์ 5. บรรณาธิการ Progreso.
8. วิกิพีเดีย อัตลักษณ์และสูตรตรีโกณมิติ สืบค้นจาก: es.wikipedia.com