ระดับของพหุนาม: วิธีพิจารณาตัวอย่างและแบบฝึกหัด - เลข - 2026

ระดับของพหุนามในตัวแปรจะได้รับจากคำที่มีสัญลักษณ์ที่ยิ่งใหญ่ที่สุดและถ้าพหุนามมีสองคนหรือมากกว่าตัวแปรแล้วระดับจะถูกกำหนดโดยผลรวมของเลขยกกำลังของแต่ละระยะที่ผลรวมมากขึ้นเป็นระดับ ของพหุนาม

มาดูวิธีกำหนดระดับของพหุนามในทางปฏิบัติ

รูปที่ 1 สมการที่มีชื่อเสียงของไอน์สไตน์สำหรับพลังงาน E เป็นค่าโมโนเมียลที่มีค่าสัมบูรณ์ 1 สำหรับมวลตัวแปรซึ่งแสดงด้วย m เนื่องจากความเร็วของแสง c ถือเป็นค่าคงที่ ที่มา: Piqsels

สมมติว่าพหุนาม P (x) = -5x + 8x ³ + 7 - 4x 2 พหุนามนี้เป็นตัวแปรเดียวในกรณีนี้คือตัวแปร x พหุนามนี้ประกอบด้วยคำศัพท์หลายคำซึ่งมีดังต่อไปนี้:

แล้วเลขชี้กำลังคืออะไร? คำตอบคือ 3 ดังนั้น P (x) จึงเป็นพหุนามของดีกรี 3

หากพหุนามที่เป็นปัญหามีมากกว่าหนึ่งตัวแปรระดับอาจเป็น:

-Absolute

- เกี่ยวข้องกับตัวแปร

พบระดับสัมบูรณ์ตามที่อธิบายไว้ตอนต้น: การเพิ่มเลขชี้กำลังของแต่ละเทอมและเลือกค่าที่ใหญ่ที่สุด

แต่ระดับของพหุนามที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรหรือตัวอักษรตัวใดตัวหนึ่งเป็นค่าที่ใหญ่ที่สุดของเลขชี้กำลังที่ตัวอักษรดังกล่าวมี ประเด็นจะชัดเจนขึ้นด้วยตัวอย่างและแบบฝึกหัดที่มีการแก้ไขในส่วนต่อไปนี้

ตัวอย่างระดับของพหุนาม

พหุนามสามารถจำแนกตามระดับและสามารถเป็นระดับที่หนึ่งปริญญาที่สองระดับที่สามและอื่น ๆ ตัวอย่างเช่นในรูปที่ 1 พลังงานคือโมโนเมียลระดับแรกสำหรับมวล

สิ่งสำคัญคือต้องสังเกตด้วยว่าจำนวนพจน์ที่พหุนามมีเท่ากับดีกรีบวก 1 ดังนั้น:

- พหุนามระดับที่หนึ่งมี 2 เทอม: a ₁ x + a _o

- พหุนามดีกรีที่สองมี 3 เทอม: a ₂ x ² + a ₁ x + a _o

- พหุนามดีกรีที่สามมี 4 พจน์: a ₃ x ³ + a ₂ x ² + a ₁ x + a _หรือ

และอื่น ๆ ผู้อ่านที่ระมัดระวังจะสังเกตเห็นว่าพหุนามในตัวอย่างก่อนหน้านี้เขียนในรูปแบบที่ลดลงนั่นคือการวางคำที่มีระดับมากที่สุดก่อน

ตารางต่อไปนี้แสดงพหุนามต่าง ๆ ทั้งตัวแปรเดียวและหลายตัวแปรและองศาสัมบูรณ์ตามลำดับ:

ตารางที่ 1. ตัวอย่างของพหุนามและองศาของพวกมัน

พหุนาม	ระดับ
3x 4 + 5x 3 -2x + 3	4
7x 3 -2x 2 + 3x-6	3
6	0
x-1	หนึ่ง
x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2	6
3x 3และ5 + 5x 2และ4 - 7xy 2 + 6	8

พหุนามสองตัวสุดท้ายมีมากกว่าหนึ่งตัวแปร ในจำนวนนี้มีการเน้นคำที่มีระดับสัมบูรณ์สูงสุดเป็นตัวหนาเพื่อให้ผู้อ่านสามารถตรวจสอบระดับได้อย่างรวดเร็ว สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าเมื่อตัวแปรไม่มีเลขชี้กำลังเป็นลายลักษณ์อักษรให้เข้าใจว่าเลขชี้กำลังดังกล่าวมีค่าเท่ากับ 1

ตัวอย่างเช่นในคำที่ไฮไลต์ab ³ x ²มีตัวแปรสามตัว ได้แก่ : a, b และ x ในเทอมนี้ a จะถูกยกเป็น 1 นั่นคือ:

a = a ¹

ดังนั้นab ³ x ² = a ¹ b ³ x ²

เนื่องจากเลขชี้กำลังของ b คือ 3 และ x คือ 2 ตามมาทันทีที่ระดับของเทอมนี้คือ:

1 + 3 + 2 = 6

Y คือระดับสัมบูรณ์ของพหุนามเนื่องจากไม่มีคำอื่นใดที่มีดีกรีสูงกว่า

ขั้นตอนการทำงานกับพหุนาม

เมื่อทำงานกับพหุนามสิ่งสำคัญคือต้องให้ความสนใจกับระดับของมันตั้งแต่แรกและก่อนที่จะดำเนินการใด ๆ การปฏิบัติตามขั้นตอนเหล่านี้จะสะดวกซึ่งระดับจะให้ข้อมูลที่สำคัญมาก:

- สั่งพหุนามของความชอบในทิศทางที่ลดลง ดังนั้นเทอมที่มีดีกรีสูงสุดจะอยู่ทางซ้ายและเทอมที่มีดีกรีต่ำสุดจะอยู่ทางขวา

- ลดเงื่อนไขที่เหมือนกันซึ่งเป็นขั้นตอนที่ประกอบด้วยการเพิ่มเงื่อนไขเชิงพีชคณิตทั้งหมดของตัวแปรและระดับเดียวกันที่พบในนิพจน์

- ถ้าจำเป็นพหุนามจะเสร็จสมบูรณ์โดยใส่เงื่อนไขที่มีค่าสัมประสิทธิ์เป็น 0 ในกรณีที่ไม่มีคำศัพท์ที่มีเลขชี้กำลัง

สั่งลดและกรอกพหุนาม

เมื่อพิจารณาจากพหุนาม P (x) = 6x ² - 5x ⁴ - 2x + 3x + 7 + 2x ⁵ - 3x ³ + x ⁷ -12 ระบบจะขอให้เรียงลำดับจากมากไปหาน้อยลดเงื่อนไขที่คล้ายกันถ้ามีและเติมเงื่อนไขที่ขาดหายไป ถ้าถูกต้อง

สิ่งแรกที่ต้องมองหาคือคำที่มีเลขชี้กำลังมากที่สุดซึ่งก็คือระดับของพหุนามซึ่งกลายเป็น:

x ⁷

ดังนั้น P (x) จึงมีระดับ 7 จากนั้นจึงเรียงลำดับพหุนามโดยเริ่มต้นด้วยคำนี้ทางด้านซ้าย:

P (x) = x ⁷ + 2x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 6x ² - 2x + 3x + 7-12

ตอนนี้เงื่อนไขที่คล้ายกันจะลดลงซึ่งมีดังต่อไปนี้: - 2x และ 3x ในแง่หนึ่ง และ 7 และ -12 อีกอัน เพื่อลดค่าสัมประสิทธิ์จะถูกเพิ่มในเชิงพีชคณิตและตัวแปรจะไม่เปลี่ยนแปลง (หากตัวแปรไม่ปรากฏถัดจากค่าสัมประสิทธิ์โปรดจำไว้ว่า x ⁰ = 1):

-2x + 3x = x

7 -12 = -5

แทนที่ผลลัพธ์เหล่านี้ใน P (x):

P (x) = x ⁷ + 2x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 6x ² + x -5

และในที่สุดพหุนามจะถูกตรวจสอบเพื่อดูว่าเลขชี้กำลังหายไปหรือไม่และแท้จริงแล้วคำที่เลขชี้กำลังคือ 6 หายไปดังนั้นจึงเสร็จสมบูรณ์ด้วยเลขศูนย์ดังนี้:

P (x) = x ⁷ + 0x ⁶ + 2x ⁵ - 5x ⁴ - 3x ³ + 6x ² + x - 5

ตอนนี้เป็นที่สังเกตว่าพหุนามเหลือ 8 พจน์เนื่องจากตามที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้จำนวนเทอมเท่ากับองศา + 1

ความสำคัญของระดับของพหุนามในการบวกและการลบ

ด้วยพหุนามคุณสามารถดำเนินการบวกและลบได้ซึ่งจะมีการเพิ่มหรือลบคำที่คล้ายกันเท่านั้นซึ่งเป็นคำที่มีตัวแปรเดียวกันและมีระดับเดียวกัน หากไม่มีเงื่อนไขที่เหมือนกันการบวกหรือการลบจะถูกระบุเพียงแค่

เมื่อทำการบวกหรือลบแล้วตัวหลังคือผลรวมของตรงกันข้ามระดับของพหุนามที่ได้จะเท่ากับหรือน้อยกว่าระดับของพหุนามที่เพิ่มดีกรีสูงสุดเสมอ

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- การออกกำลังกายได้รับการแก้ไข 1

ค้นหาผลรวมต่อไปนี้และกำหนดระดับสัมบูรณ์:

ก³ - 8ax ² + x ³ + 5a ² x - 6ax ² - x ³ + 3a ³ - 5a ² x - x ³ + ก³ + 14ax ² - x ³

สารละลาย

เป็นพหุนามที่มีสองตัวแปรดังนั้นจึงสะดวกในการลดคำที่คล้ายกัน:

ก³ - 8ax ² + x ³ + 5a ² x - 6ax ² - x ³ + 3a ³ - 5a ² x - x ³ + ก³ + 14ax ² - x ³ =

= a ³ + 3a ³ + ก³ - 8ax ² - 6ax ² + 14ax ² + 5a ² x - 5a ² x + x ³ - x ³ - x ³ - x ³ =

= 5a ³ - 2x ³

เงื่อนไขทั้งสองเป็นระดับ 3 ในแต่ละตัวแปร ดังนั้นระดับสัมบูรณ์ของพหุนามคือ 3

- แก้ไขการออกกำลังกาย 2

แสดงพื้นที่ของรูปเรขาคณิตระนาบต่อไปนี้เป็นพหุนาม (รูปที่ 2 ซ้าย) ระดับของพหุนามที่เป็นผลลัพธ์คืออะไร?

รูปที่ 2 ทางด้านซ้ายรูปสำหรับแบบฝึกหัดที่แก้ไขแล้ว 2 และทางด้านขวารูปเดียวกันได้ย่อยสลายออกเป็นสามส่วนที่ทราบการแสดงออก ที่มา: F. Zapata

สารละลาย

เนื่องจากเป็นพื้นที่พหุนามที่ได้จะต้องอยู่ในระดับ 2 ในตัวแปร x ในการกำหนดนิพจน์ที่เหมาะสมสำหรับพื้นที่ร่างจะถูกย่อยสลายเป็นพื้นที่ที่รู้จัก:

พื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและสามเหลี่ยมตามลำดับ: ฐาน x สูงและฐาน x สูง / 2

ก₁ = x. 3x = 3x ² ; ก₂ = 5. x = 5x; ก₃ = 5. (2x / 2) = 5x

หมายเหตุ : ฐานของสามเหลี่ยมคือ 3x - x = 2x และความสูงคือ 5

ตอนนี้สามนิพจน์ที่ได้รับถูกเพิ่มเข้ามาด้วยสิ่งนี้เรามีพื้นที่ของรูปเป็นฟังก์ชันของ x:

3x ² + 5x + 5x = 3x ² + 10x

อ้างอิง

1. Baldor, A. 1974. Elementary Algebra. วัฒนธรรม Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. พีชคณิต. ศิษย์ฮอลล์.
3. วิกิพีเดีย พหุนาม กู้คืนจาก: es. wikibooks.org
4. วิกิพีเดีย ปริญญา (พหุนาม). สืบค้นจาก: es.wikipedia.org.
5. Zill, D. 1984. พีชคณิตและตรีโกณมิติ. Mac Graw Hill.