ฟังก์ชันเหนือชั้น: ประเภทนิยามคุณสมบัติตัวอย่าง - เลข - 2026

ประถมฟังก์ชั่นยอดเยี่ยมมีชี้แจงลอการิทึมตรีโกณมิติผกผันฟังก์ชันตรีโกณมิติผกผันเกินความจริงและฟังก์ชั่นการผ่อนชำระ นั่นคือเป็นค่าที่ไม่สามารถแสดงโดยใช้พหุนามผลหารของพหุนามหรือรากของพหุนาม

ฟังก์ชันวิชชาที่ไม่ใช่ระดับประถมศึกษาเรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันพิเศษและในหมู่ฟังก์ชันนี้สามารถตั้งชื่อฟังก์ชันข้อผิดพลาดได้ ฟังก์ชันพีชคณิต (พหุนาม, ผลหารของพหุนามและรากของพหุนาม) ร่วมกับฟังก์ชันยอดเยี่ยมระดับประถมศึกษาถือเป็นสิ่งที่ในคณิตศาสตร์เรียกว่าฟังก์ชันพื้นฐาน

นอกจากนี้ยังถือว่าฟังก์ชันที่เหนือกว่านั้นเป็นผลมาจากการดำเนินการระหว่างฟังก์ชันที่เหนือกว่าหรือระหว่างฟังก์ชันวิชชากับพีชคณิต การดำเนินการเหล่านี้ ได้แก่ ผลรวมและความแตกต่างของฟังก์ชันผลิตภัณฑ์และผลหารของฟังก์ชันตลอดจนองค์ประกอบของฟังก์ชันตั้งแต่สองฟังก์ชันขึ้นไป

ความหมายและคุณสมบัติ

ฟังก์ชันเอกซ์โปเนนเชียล

มันเป็นฟังก์ชันที่แท้จริงของตัวแปรอิสระที่แท้จริงของรูปแบบ:

f (x) = a ^ x = ก^x

โดยที่ a คือจำนวนจริงบวกคงที่ (a> 0) เรียกว่าฐาน เซอร์คัมเฟลกซ์หรือตัวยกใช้เพื่อแสดงถึงการดำเนินการที่มีศักยภาพ

สมมติว่า a = 2 ฟังก์ชันจะเป็นดังนี้:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

ซึ่งจะได้รับการประเมินหลายค่าของตัวแปรอิสระ x:

ด้านล่างนี้เป็นกราฟที่แสดงฟังก์ชันเลขชี้กำลังสำหรับค่าต่างๆของฐานรวมทั้งฐาน e (จำนวนเนปาล e Nep 2.72) ฐาน e มีความสำคัญมากจนโดยทั่วไปเมื่อพูดถึงฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเราจะนึกถึง e ^ x ซึ่งแสดงถึง exp (x) ด้วย

รูปที่ 1. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล a ^ x สำหรับค่าต่างๆของฐานก. (ความประณีตของตัวเอง)

คุณสมบัติของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

จากรูปที่ 1 จะสังเกตได้ว่าโดเมนของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นจำนวนจริง (Dom f = R ) และช่วงหรือเส้นทางคือจำนวนจริงที่เป็นบวก (Ran f = R ⁺ )

ในทางกลับกันโดยไม่คำนึงถึงค่าของฐาน a ฟังก์ชันเลขชี้กำลังทั้งหมดจะผ่านจุด (0, 1) และผ่านจุด (1, a)

เมื่อฐาน a> 1 ฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นและเมื่อ 0 <a <1 ฟังก์ชันจะลดลง

เส้นโค้งของ y = a ^ x และ y = (1 / a) ^ x สมมาตรเกี่ยวกับแกน Y

ยกเว้นกรณี a = 1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลจะเป็นแบบฉีดนั่นคือค่าแต่ละค่าของรูปภาพจะสอดคล้องกับค่าเริ่มต้นเพียงค่าเดียวเท่านั้น

ฟังก์ชันลอการิทึม

มันเป็นฟังก์ชันจริงของตัวแปรอิสระจริงตามนิยามของลอการิทึมของตัวเลข ลอการิทึมที่ยึดตามจำนวน x คือจำนวน y ที่ต้องยกฐานเพื่อให้ได้อาร์กิวเมนต์ x:

บันทึก_a (x) = y ⇔ a ^ y = x

นั่นคือฟังก์ชันลอการิทึมที่ยึดตามคือฟังก์ชันผกผันของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลตาม

ตัวอย่างเช่น:

บันทึก₂ 1 = 0 ตั้งแต่ 2 ^ 0 = 1

อีกกรณีหนึ่งล็อก₂ 4 = 2 เพราะ 2 ^ 2 = 4

ลอการิทึมรากของ 2 คือล็อก₂ √2 = ½เนื่องจาก 2 ^ ½ = √2

บันทึก₂ ¼ = -2 ตั้งแต่ 2 ^ (- 2) = ¼

ด้านล่างนี้เป็นกราฟของฟังก์ชันลอการิทึมในฐานต่างๆ

รูปที่ 2. ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลสำหรับค่าต่างๆของฐาน (ความประณีตของตัวเอง)

คุณสมบัติของฟังก์ชันลอการิทึม

โดเมนของฟังก์ชัน y ลอการิทึม (x) = ล็อก (x) เป็นตัวเลขจริงบวกR +ช่วงการเดินทางหรือเป็นจำนวนจริงR

โดยไม่คำนึงถึงฐานฟังก์ชันลอการิทึมจะส่งผ่านจุด (1,0) และจุด (a, 1) เป็นของกราฟของฟังก์ชันนั้นเสมอ

ในกรณีที่ฐาน a มากกว่าเอกภาพ (a> 1) ฟังก์ชันลอการิทึมจะเพิ่มขึ้น แต่ถ้า (0 <a <1) มันเป็นฟังก์ชันที่ลดลง

ฟังก์ชันไซน์โคไซน์และแทนเจนต์

ฟังก์ชันไซน์กำหนดจำนวนจริงและค่า x แต่ละค่าโดยที่ x แทนการวัดของมุมในหน่วยเรเดียน เพื่อให้ได้ค่า Sen (x) ของมุมมุมจะแสดงในวงกลมหน่วยและการฉายของมุมดังกล่าวบนแกนแนวตั้งคือไซน์ที่ตรงกับมุมนั้น

วงกลมตรีโกณมิติและไซน์สำหรับค่าเชิงมุมต่างๆ X1, X2, X3 และ X4 แสดงไว้ด้านล่าง (ในรูปที่ 3)

รูปที่ 3. วงกลมตรีโกณมิติและไซน์ของมุมต่างๆ (ความประณีตของตัวเอง)

กำหนดด้วยวิธีนี้ค่าสูงสุดที่ฟังก์ชัน Sen (x) สามารถมีได้คือ 1 ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อ x = π / 2 + 2π n โดยที่ n เป็นจำนวนเต็ม (0, ± 1, ± 2,) ค่าต่ำสุดที่ฟังก์ชัน Sen (x) รับได้เกิดขึ้นเมื่อ x = 3π / 2 + 2π n

ฟังก์ชันโคไซน์ y = Cos (x) ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน แต่การฉายตำแหน่งเชิงมุม P1, P2 และอื่น ๆ จะดำเนินการบนแกนนอนของวงกลมตรีโกณมิติ

ในทางกลับกันฟังก์ชัน y = Tan (x) คือผลหารระหว่างฟังก์ชันไซน์และฟังก์ชันโคไซน์

ด้านล่างนี้คือกราฟของฟังก์ชันที่เหนือกว่า Sen (x), Cos (x) และ Tan (x)

รูปที่ 4. กราฟของฟังก์ชันเหนือชั้นไซน์โคไซน์และแทนเจนต์ (ความประณีตของตัวเอง)

อนุพันธ์และปริพันธ์

อนุพันธ์ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

อนุพันธ์ y 'ของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล y = a ^ x คือฟังก์ชัน a ^ x คูณด้วยลอการิทึมธรรมชาติของฐาน a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln ก

ในกรณีเฉพาะของฐาน e อนุพันธ์ของฟังก์ชันเลขชี้กำลังคือฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเอง

อินทิกรัลของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล

อินทิกรัลไม่ จำกัด ของ ^ x คือฟังก์ชันที่หารด้วยลอการิทึมธรรมชาติของฐาน

ในกรณีเฉพาะของฐาน e อินทิกรัลของฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลคือฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเอง

ตารางอนุพันธ์และปริพันธ์ของฟังก์ชันเหนือชั้น

ด้านล่างนี้เป็นตารางสรุปของฟังก์ชันหลักที่เหนือกว่าอนุพันธ์และปริพันธ์ไม่ จำกัด (antiderivatives):

ตารางอนุพันธ์และปริพันธ์ไม่แน่นอนสำหรับฟังก์ชันเหนือชั้นบางฟังก์ชัน (ความประณีตของตัวเอง)

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

ค้นหาฟังก์ชันที่เกิดจากองค์ประกอบของฟังก์ชัน f (x) = x ^ 3 ด้วยฟังก์ชัน g (x) = cos (x):

(หมอก) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

อนุพันธ์และอินทิกรัลไม่แน่นอนคือ:

ตัวอย่าง 2

ค้นหาองค์ประกอบของฟังก์ชัน g ด้วยฟังก์ชัน f โดยที่ g และ f เป็นฟังก์ชันที่กำหนดไว้ในตัวอย่างก่อนหน้านี้:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³ )

ควรสังเกตว่าองค์ประกอบของฟังก์ชันไม่ใช่การทำงานแบบสับเปลี่ยน

อนุพันธ์และอินทิกรัลไม่ จำกัด สำหรับฟังก์ชันนี้ตามลำดับ:

อินทิกรัลถูกระบุทิ้งไว้เนื่องจากไม่สามารถเขียนผลลัพธ์เป็นการรวมฟังก์ชันพื้นฐานได้อย่างแน่นอน

อ้างอิง

1. แคลคูลัสของตัวแปรเดียว รอนลาร์สันบรูซเอชเอ็ดเวิร์ดส์ Cengage Learning, 10 พ.ย. 2008
2. The Implicit Function Theorem: History, Theory, and Applications. Steven G.Krantz, Harold R. Parks Springer Science & Business Media, 9 พ.ย. 2012
3. การวิเคราะห์หลายตัวแปร Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva Springer Science & Business Media, 13 ธ.ค. 2010
4. พลวัตของระบบ: การสร้างแบบจำลองการจำลองและการควบคุมระบบเมคคาทรอนิกส์ Dean C.Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg John Wiley & Sons 7 มี.ค. 2012
5. แคลคูลัส: คณิตศาสตร์และการสร้างแบบจำลอง William Bauldry, Joseph R.Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray แอดดิสันเวสลีย์ลองแมน 1 ม.ค. 1999
6. วิกิพีเดีย ฟังก์ชันเหนือชั้น สืบค้นจาก: es.wikipedia.com