ฟังก์ชันลอการิทึมเป็นความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่ผู้ร่วมงานแต่ละจำนวนจริงบวก X กับ Y ลอการิทึมของมันอยู่บนฐานที่ ความสัมพันธ์นี้เป็นไปตามข้อกำหนดเพื่อให้เป็นฟังก์ชัน: แต่ละองค์ประกอบ x ที่เป็นของโดเมนมีรูปภาพที่ไม่ซ้ำกัน
ดังนั้น:
เนื่องจากลอการิทึมขึ้นอยู่กับจำนวน x คือจำนวน y ที่ต้องยกฐาน a เพื่อให้ได้ x
- ลอการิทึมของฐานเป็น 1 เสมอดังนั้นกราฟของ f (x) = log a x จะตัดแกน x ที่จุด (1,0) เสมอ
- ฟังก์ชันลอการิทึมอยู่เหนือชั้นและไม่สามารถแสดงเป็นพหุนามหรือผลหารของสิ่งเหล่านี้ได้ นอกจากลอการิทึมแล้วกลุ่มนี้ยังรวมถึงฟังก์ชันตรีโกณมิติและเลขชี้กำลังและอื่น ๆ อีกด้วย
ตัวอย่าง
ฟังก์ชันลอการิทึมสามารถกำหนดได้จากฐานต่างๆ แต่ค่าที่ใช้มากที่สุดคือ 10 และ e โดยที่ e คือหมายเลขออยเลอร์เท่ากับ 2.71828 …
เมื่อใช้ฐาน 10 ลอการิทึมเรียกว่าลอการิทึมฐานสิบ, ลอการิทึมธรรมดา, บริกส์ 'หรือลอการิทึมธรรมดา
และถ้าใช้เลข e ก็จะเรียกว่าลอการิทึมธรรมชาติตามหลังจอห์นเนเปียร์นักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตผู้ค้นพบลอการิทึม
สัญกรณ์ที่ใช้สำหรับแต่ละอันมีดังต่อไปนี้:
- ลอการิทึมฐานสิบ: log 10 x = log x
ลอการิทึม -Neperian: ln x
เมื่อคุณจะใช้ฐานอื่นจำเป็นอย่างยิ่งที่จะต้องระบุว่าเป็นตัวห้อยเนื่องจากลอการิทึมของแต่ละหมายเลขจะแตกต่างกันขึ้นอยู่กับฐานที่จะใช้ ตัวอย่างเช่นถ้าเป็นลอการิทึมในฐาน 2 ให้เขียน:
y = บันทึก2 x
ลองดูลอการิทึมของตัวเลข 10 ในสามฐานที่แตกต่างกันเพื่อแสดงประเด็นนี้:
บันทึก 10 = 1
ln 10 = 2.30259
บันทึก2 10 = 3.32193
เครื่องคิดเลขทั่วไปนำเฉพาะลอการิทึมฐานสิบ (ฟังก์ชันบันทึก) และลอการิทึมธรรมชาติ (ฟังก์ชัน ln) บนอินเทอร์เน็ตมีเครื่องคิดเลขพร้อมฐานอื่น ๆ ไม่ว่าในกรณีใดผู้อ่านสามารถตรวจสอบได้ด้วยความช่วยเหลือว่าค่าก่อนหน้านี้เป็นที่พอใจ:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
ความแตกต่างของทศนิยมเล็กน้อยเกิดจากจำนวนตำแหน่งทศนิยมที่ใช้ในการคำนวณลอการิทึม
ข้อดีของลอการิทึม
ข้อดีของการใช้ลอการิทึมคือความสะดวกในการทำงานกับตัวเลขจำนวนมากโดยใช้ลอการิทึมแทนตัวเลขโดยตรง
เป็นไปได้เนื่องจากฟังก์ชันลอการิทึมจะเติบโตช้าลงเมื่อตัวเลขมีขนาดใหญ่ขึ้นดังที่เราเห็นในกราฟ
ดังนั้นแม้จะมีตัวเลขมาก แต่ลอการิทึมของพวกมันก็ยังเล็กกว่ามากและการจัดการกับตัวเลขขนาดเล็กก็ทำได้ง่ายกว่าเสมอ
นอกจากนี้ลอการิทึมยังมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
- สินค้า : log (ab) = log a + log b
- Quotient : log (a / b) = log a - log b
- อำนาจ : บันทึกb = b.log a
และด้วยวิธีนี้ผลคูณและใบเสนอราคาจะกลายเป็นส่วนเพิ่มและการลบจำนวนที่น้อยลงในขณะที่ศักยภาพจะกลายเป็นผลคูณที่เรียบง่ายแม้ว่ากำลังไฟจะสูงก็ตาม
นั่นคือเหตุผลที่ลอการิทึมช่วยให้เราสามารถแสดงตัวเลขที่แตกต่างกันไปในช่วงค่าที่มากเช่นความเข้มของเสียง pH ของสารละลายความสว่างของดาวความต้านทานไฟฟ้าและความรุนแรงของแผ่นดินไหวในมาตราริกเตอร์
รูปที่ 2. ลอการิทึมถูกใช้ตามมาตราริกเตอร์เพื่อหาจำนวนขนาดของแผ่นดินไหว ภาพดังกล่าวแสดงอาคารถล่มในกอนเซปซิออนประเทศชิลีในช่วงแผ่นดินไหวเมื่อปี 2010 ที่มา: Wikimedia Commons
มาดูตัวอย่างการจัดการคุณสมบัติของลอการิทึม:
ตัวอย่าง
ค้นหาค่าของ x ในนิพจน์ต่อไปนี้:
ตอบ
เรามีสมการลอการิทึมที่นี่เนื่องจากสิ่งที่ไม่รู้จักอยู่ในอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม แก้ไขได้โดยการทิ้งลอการิทึมเดียวในแต่ละด้านของความเท่าเทียมกัน
เราเริ่มต้นด้วยการวางคำศัพท์ทั้งหมดที่มี "x" ทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันและคำที่มีเฉพาะตัวเลขทางด้านขวา:
บันทึก (5x + 1) - บันทึก (2x-1) = 1
ทางด้านซ้ายเรามีการลบของลอการิทึมสองตัวซึ่งสามารถเขียนเป็นลอการิทึมของผลหาร:
log = 1
อย่างไรก็ตามทางด้านขวาคือหมายเลข 1 ซึ่งเราสามารถแสดงเป็น log 10 ได้อย่างที่เห็นก่อนหน้านี้ ดังนั้น:
log = บันทึก 10
เพื่อให้ความเท่าเทียมกันเป็นจริงอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึมต้องเท่ากัน:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 x = -11
x = 15/11
แบบฝึกหัดการประยุกต์ใช้: มาตราริกเตอร์
ในปี 2500 เกิดแผ่นดินไหวในเม็กซิโกซึ่งมีขนาด 7.7 ตามมาตราริกเตอร์ ในปีพ. ศ. 2503 เกิดแผ่นดินไหวขนาดใหญ่อีกครั้งในชิลีที่ 9.5
คำนวณว่าแผ่นดินไหวในชิลีรุนแรงกว่าครั้งใดในเม็กซิโกกี่ครั้งโดยรู้ว่าขนาด M Rตามมาตราริกเตอร์กำหนดโดยสูตร:
M R = บันทึก (10 4 I)
สารละลาย
ขนาดตามมาตราริกเตอร์ของแผ่นดินไหวเป็นฟังก์ชันลอการิทึม เราจะคำนวณความรุนแรงของแผ่นดินไหวแต่ละครั้งเนื่องจากเรามีขนาดริกเตอร์ มาทำทีละขั้นตอน:
- เม็กซิโก : 7.7 = บันทึก (10 4 I)
เนื่องจากส่วนผกผันของฟังก์ชันลอการิทึมเป็นเลขชี้กำลังเราจึงใช้สิ่งนี้กับทั้งสองด้านของการเท่ากันโดยมีจุดประสงค์เพื่อแก้ปัญหาสำหรับ I ซึ่งพบได้ในอาร์กิวเมนต์ของลอการิทึม
เนื่องจากเป็นลอการิทึมฐานสิบฐานคือ 10 จากนั้น:
10 7.7 = 10 4 I
ความรุนแรงของแผ่นดินไหวที่เม็กซิโกคือ:
ฉันM = 10 7.7 / 10 4 = 10 3.7
- ชิลี : 9.5 = บันทึก (10 4 I)
ขั้นตอนเดียวกันนี้นำเราไปสู่ความรุนแรงของแผ่นดินไหว I Chของชิลี:
I Ch = 10 9.5 / 10 4 = 10 5.5
ตอนนี้เราสามารถเปรียบเทียบความเข้มทั้งสอง:
I Ch / I M = 10 5.5 / 10 3.7 = 10 1.8 = 63.1
ฉันCh = 63.1 ฉันM
แผ่นดินไหวในชิลีรุนแรงกว่าที่เม็กซิโกประมาณ 63 เท่า เนื่องจากขนาดเป็นลอการิทึมจึงเติบโตช้ากว่าความเข้มดังนั้นความแตกต่าง 1 ในขนาดจึงหมายถึงแอมพลิจูดที่มากกว่า 10 เท่าของคลื่นแผ่นดินไหว
ความแตกต่างระหว่างขนาดของแผ่นดินไหวทั้งสองคือ 1.8 ดังนั้นเราจึงคาดว่าจะมีความรุนแรงที่ใกล้เคียงกับ 100 มากกว่า 10 แตกต่างกันตามที่เกิดขึ้นจริง
ในความเป็นจริงถ้าความแตกต่างเป็น 2 เท่ากันแผ่นดินไหวที่ชิลีน่าจะรุนแรงกว่าครั้งที่เม็กซิโก 100 เท่า
อ้างอิง
- Carena, M. 2019. คู่มือคณิตศาสตร์เตรียมเข้ามหาวิทยาลัย. มหาวิทยาลัยแห่งชาติ Litoral
- Figuera, J. 2000. Mathematics 1st. ปีที่หลากหลาย รุ่น CO-BO
- Jiménez, R. 2008. พีชคณิต. ศิษย์ฮอลล์.
- Larson, R. 2010. การคำนวณตัวแปร. 9 ฉบับ McGraw Hill
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5 ฉบับ การเรียนรู้ Cengage