ปัจจัยร่วมโดยการจัดกลุ่มคำศัพท์: ตัวอย่างแบบฝึกหัด - เลข - 2025

ปัจจัยร่วมกันโดยการจัดกลุ่มของคำเป็นขั้นตอนเกี่ยวกับพีชคณิตที่ช่วยให้คุณเขียนนิพจน์พีชคณิตบางส่วนในรูปแบบของปัจจัย เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้อันดับแรกคุณต้องจัดกลุ่มนิพจน์ให้เหมาะสมและสังเกตว่าแต่ละกลุ่มที่ตั้งขึ้นจึงมีปัจจัยร่วมกัน

การใช้เทคนิคอย่างถูกต้องนั้นจำเป็นต้องมีการฝึกฝน แต่ในเวลาไม่นานคุณก็เชี่ยวชาญ ก่อนอื่นเรามาดูตัวอย่างประกอบที่อธิบายทีละขั้นตอน จากนั้นผู้อ่านสามารถประยุกต์ใช้สิ่งที่ได้เรียนรู้ในแบบฝึกหัดแต่ละข้อที่จะปรากฏในภายหลัง

รูปที่ 1. การใช้ปัจจัยร่วมโดยการจัดกลุ่มคำทำให้การทำงานกับนิพจน์พีชคณิตง่ายขึ้น ที่มา: Pixabay

ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณต้องแยกตัวประกอบของนิพจน์ต่อไปนี้:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

นิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตประกอบด้วย 4 monomials หรือเทอมคั่นด้วยเครื่องหมาย + และ - ได้แก่ :

2x ² , 2xy, -3zx, -3zy

เมื่อมองอย่างใกล้ชิด x เป็นเรื่องปกติของสามตัวแรก แต่ไม่ใช่ตัวสุดท้ายในขณะที่ y มีค่าร่วมกับตัวที่สองและสี่และ z เป็นธรรมดาของสามและสี่

ดังนั้นโดยหลักการแล้วไม่มีปัจจัยร่วมสำหรับคำทั้งสี่ในเวลาเดียวกัน แต่ถ้ามีการจัดกลุ่มตามที่จะแสดงในส่วนถัดไปอาจเป็นไปได้ว่าจะมีตัวใดตัวหนึ่งปรากฏขึ้นซึ่งช่วยในการเขียนนิพจน์เป็นผลคูณของสองคำขึ้นไป ปัจจัย.

ตัวอย่าง

แยกตัวประกอบของนิพจน์: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

ขั้นตอนที่ 1 : กลุ่ม

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

ขั้นตอนที่ 2: ค้นหาปัจจัยร่วมของแต่ละกลุ่ม

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

ฉันmportant : เครื่องหมายลบยังเป็นปัจจัยร่วมกันที่จะต้องนำมาพิจารณา

ตอนนี้โปรดทราบว่าวงเล็บ (x + y) ซ้ำในสองคำที่ได้รับจากการจัดกลุ่ม นั่นคือปัจจัยทั่วไปที่ถูกแสวงหา

ขั้นตอนที่ 3: แยกตัวประกอบของนิพจน์ทั้งหมด

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

จากผลลัพธ์ก่อนหน้านี้เป้าหมายของการแยกตัวประกอบได้มาถึงแล้วซึ่งไม่ใช่สิ่งอื่นใดนอกจากการแปลงนิพจน์พีชคณิตตามการบวกและการลบของคำให้เป็นผลคูณของสองปัจจัยหรือมากกว่าในตัวอย่างของเรา: (x + y) และ (2x - 3z)

คำถามสำคัญเกี่ยวกับปัจจัยร่วมโดยการจัดกลุ่ม

คำถามที่ 1 : รู้ได้อย่างไรว่าผลลัพธ์นั้นถูกต้อง?

คำตอบ : คุณสมบัติการกระจายถูกนำไปใช้กับผลลัพธ์ที่ได้รับและหลังจากลดและทำให้ง่ายขึ้นนิพจน์ที่ได้จะต้องตรงกับต้นฉบับหากไม่แสดงว่ามีข้อผิดพลาด

ในตัวอย่างก่อนหน้านี้เราทำงานในสิ่งที่ตรงกันข้ามกับผลลัพธ์เพื่อตรวจสอบว่าถูกต้อง:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

เนื่องจากลำดับของการบวกไม่เปลี่ยนแปลงผลรวมหลังจากใช้คุณสมบัติการกระจายเงื่อนไขเดิมทั้งหมดจะถูกส่งคืนรวมถึงเครื่องหมายดังนั้นการแยกตัวประกอบจึงถูกต้อง

คำถาม 2:สามารถจัดกลุ่มด้วยวิธีอื่นได้หรือไม่?

คำตอบ:มีนิพจน์เกี่ยวกับพีชคณิตที่อนุญาตให้จัดกลุ่มได้มากกว่าหนึ่งรูปแบบและรูปแบบอื่น ๆ ที่ไม่มี ในตัวอย่างที่เลือกผู้อ่านสามารถลองใช้ความเป็นไปได้อื่น ๆ ด้วยตนเองเช่นการจัดกลุ่มดังนี้

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

และคุณสามารถตรวจสอบว่าผลลัพธ์เหมือนกับที่ได้รับที่นี่ การค้นหาการจัดกลุ่มที่เหมาะสมเป็นเรื่องของการฝึกฝน

คำถามที่ 3เหตุใดจึงจำเป็นต้องใช้ปัจจัยร่วมจากนิพจน์พีชคณิต

คำตอบ : เนื่องจากมีแอพพลิเคชั่นที่นิพจน์แฟกเตอร์ทำให้การคำนวณง่ายขึ้น ตัวอย่างเช่นสมมติว่าคุณต้องการทำให้ 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy เท่ากับ 0 อะไรคือความเป็นไปได้?

เพื่อตอบคำถามนี้เวอร์ชันแฟคตอร์มีประโยชน์มากกว่าการพัฒนาเดิมในแง่ มีระบุไว้ดังนี้:

(x + y) (2x - 3z) = 0

ความเป็นไปได้อย่างหนึ่งที่นิพจน์มีค่า 0 คือ x = -y โดยไม่คำนึงถึงค่า z และอีกอย่างคือ x = (3/2) z โดยไม่คำนึงถึงค่าของ y

การออกกำลังกาย

- แบบฝึกหัด 1

แยกปัจจัยร่วมของนิพจน์ต่อไปนี้โดยการจัดกลุ่มคำศัพท์:

ax + ay + bx + โดย

สารละลาย

สองตัวแรกถูกจัดกลุ่มโดยมีปัจจัยร่วม "a" และสองตัวสุดท้ายที่มีปัจจัยร่วม "b":

ขวาน + ay + bx + โดย = a (x + y) + b (x + y)

เมื่อเสร็จแล้วจะมีการเปิดเผยปัจจัยร่วมใหม่ซึ่งก็คือ (x + y) เพื่อให้:

ขวาน + ay + bx + โดย = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

อีกวิธีหนึ่งในการจัดกลุ่ม

นิพจน์นี้สนับสนุนวิธีการจัดกลุ่มอีกวิธีหนึ่ง มาดูกันว่าจะเกิดอะไรขึ้นหากมีการจัดเรียงคำศัพท์ใหม่และกลุ่มถูกสร้างขึ้นด้วยคำที่มี x และอีกคำที่มี y:

ขวาน + ay + bx + โดย = ax + bx + ay + โดย = x (a + b) + y (a + b)

ด้วยวิธีนี้ปัจจัยร่วมใหม่คือ (a + b):

ขวาน + ay + bx + โดย = ax + bx + ay + โดย = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

ซึ่งนำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกันจากการจัดกลุ่มครั้งแรกที่ทดสอบ.

- แบบฝึกหัด 2

นิพจน์พีชคณิตต่อไปนี้จำเป็นต้องเขียนเป็นผลคูณของสองปัจจัย:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

สารละลาย

นิพจน์นี้มี 6 คำ ลองจัดกลุ่มที่หนึ่งและสี่สองและสามและสุดท้ายที่ห้าและหก:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab-3b ² )

ตอนนี้แต่ละวงเล็บเป็นตัวประกอบ:

= (3a ³ -a ² ) + (- 3a ² b + 9ab ² ) + (ab -3b ² ) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

เมื่อมองแวบแรกดูเหมือนว่าสถานการณ์จะซับซ้อน แต่ผู้อ่านไม่ควรท้อถอยเนื่องจากเราจะเขียนคำศัพท์สุดท้ายใหม่:

ก² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

คำศัพท์สองคำสุดท้ายมีปัจจัยร่วมกันซึ่งก็คือ (3b-a) ดังนั้นจึงสามารถแยกตัวประกอบได้ เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะต้องไม่มองข้ามเทอมแรก a ² (3a - 1) ซึ่งจะต้องติดตามทุกอย่างต่อไปแม้ว่าคุณจะไม่ได้ทำงานกับมันก็ตาม:

ก² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

นิพจน์ลดลงเหลือสองคำและมีการค้นพบปัจจัยร่วมใหม่ในคำสุดท้ายซึ่งก็คือ "b" ตอนนี้มันยังคงอยู่:

ก² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

ปัจจัยร่วมต่อไปที่จะปรากฏคือ 3a - 1:

ก² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

หรือหากคุณต้องการโดยไม่มีวงเล็บ:

(3a - 1) = (3a - 1) (ก² –ab + 3b ² )

ผู้อ่านสามารถหาวิธีการจัดกลุ่มอื่นที่นำไปสู่ผลลัพธ์เดียวกันนี้ได้หรือไม่?

รูปที่ 2 เสนอแบบฝึกหัดการแยกตัวประกอบ ที่มา: F. Zapata

อ้างอิง

1. Baldor, A. 1974. Elementary Algebra. วัฒนธรรม Venezolana SA
2. Jiménez, R. 2008. พีชคณิต. ศิษย์ฮอลล์.
3. กรณีหลักของการแยกตัวประกอบ สืบค้นจาก: julioprofe.net.
4. ไต้หวัน คณิตศาสตร์พื้นฐาน: การแยกตัวประกอบโดยการจัดกลุ่มคำศัพท์ คณะการบัญชีและการบริหาร.
5. Zill, D. 1984. พีชคณิตและตรีโกณมิติ. MacGraw Hill