อนุพันธ์โดยนัย: วิธีแก้ไขและแบบฝึกหัดแก้ไข - เลข - 2026

อนุพันธ์โดยปริยายเป็นเครื่องมือที่ใช้ในเทคนิค differencing นำไปใช้กับฟังก์ชั่น พวกเขาจะถูกนำไปใช้เมื่อไม่สามารถทำได้ภายใต้วิธีการปกติในการแก้ปัญหาสำหรับตัวแปรตามที่จะได้รับ การกวาดล้างนี้ดำเนินการเป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ

ตัวอย่างเช่นในนิพจน์ 3xy ³ - 2y + xy ² = xy ไม่สามารถรับนิพจน์ที่กำหนด "y" เป็นฟังก์ชันของ "x" ได้ เพื่อที่จะได้รับ dy / dx นิพจน์ดิฟเฟอเรนเชียล

อนุพันธ์โดยนัยได้รับการแก้ไขอย่างไร?

ในการแก้อนุพันธ์โดยนัยเราเริ่มต้นด้วยนิพจน์โดยนัย ตัวอย่างเช่น: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0 สิ่งนี้ได้รับการแก้ไขอย่างถูกต้องแล้วอย่างไรก็ตามการทำเช่นนั้นไม่ใช่เงื่อนไขที่จำเป็นในการรับอนุพันธ์ของ y เทียบกับ x จากนั้นองค์ประกอบแต่ละอย่างจะได้มาตามกฎลูกโซ่สำหรับฟังก์ชันผสม:

3xy ³ประกอบด้วย 2 ตัวแปรดังนั้น d (3xy ³ ) จะถือว่าเป็นอนุพันธ์ของผลคูณของฟังก์ชัน

d (3xy ³ ) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

โดยที่องค์ประกอบ y เรียกว่า "y ไพรม์" และแสดงถึง dy / dx

-2y ได้มาตามกฎหมาย KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

xy ²สมมติว่าส่วนต่างอื่นที่ประกอบด้วยผลคูณของฟังก์ชัน

d (xy ² ) = y ² + 2xy y '

-xy ได้รับการปฏิบัติเหมือนกัน

d (-xy) = -y - x y '

พวกมันถูกแทนที่ด้วยความเท่าเทียมกันโดยรู้ว่าอนุพันธ์ของศูนย์เป็นศูนย์

3y ³ + 9XY ² Y '- 2 Y' + Y ² + 2xy Y '- Y - X Y' = 0

องค์ประกอบที่มีคำว่า y จะถูกจัดกลุ่มที่ด้านหนึ่งของความเท่าเทียมกัน

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

ปัจจัยร่วม y 'ถูกดึงออกมาจากด้านขวาของความเท่าเทียมกัน

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

ในที่สุดคำที่คูณ y 'ก็ถูกล้าง ดังนั้นการได้รับนิพจน์ที่ตรงกับอนุพันธ์โดยนัยของ y เทียบกับ x

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

กฎลูกโซ่

กฎลูกโซ่มักจะได้รับการเคารพเสมอ นิพจน์ที่แตกต่างทั้งหมดจะถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรอิสระ X ดังนั้นทุกตัวแปรθนอกเหนือจาก X จะต้องมีคำว่าdθ / dx หลังจากที่ได้รับมา

คำนี้จะปรากฏเฉพาะในระดับแรกหรือด้วยเลขชี้กำลังเท่ากับ 1 เท่านั้นคุณภาพนี้ทำให้ชัดเจนอย่างสมบูรณ์ภายใต้วิธีการแยกตัวประกอบแบบดั้งเดิม ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะได้รับนิพจน์ที่กำหนดความแตกต่างdθ / dx

กฎลูกโซ่แสดงลักษณะก้าวหน้าของกระบวนการสร้างความแตกต่างหรืออนุพันธ์ โดยที่สำหรับทุกฟังก์ชันสารประกอบ f เรามีนิพจน์ที่แตกต่างของ f

ลำดับปฏิบัติการ

ในแต่ละสูตรหรือกฎแห่งการหาที่มาที่นำไปใช้ต้องคำนึงถึงลำดับของตัวแปรด้วย เกณฑ์ที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระได้รับการเคารพโดยไม่เปลี่ยนแปลงความสัมพันธ์กับตัวแปรตาม

ความสัมพันธ์ของตัวแปรตามในขณะที่ได้มานั้นถูกนำมาโดยตรง ยกเว้นว่าจะถือว่าเป็นฟังก์ชันที่สองซึ่งเป็นสาเหตุที่ใช้เกณฑ์กฎลูกโซ่สำหรับฟังก์ชันผสม

สิ่งนี้สามารถพัฒนาได้ในนิพจน์ที่มีตัวแปรมากกว่า 2 ตัว ภายใต้หลักการเดียวกันความแตกต่างทั้งหมดที่อ้างถึงตัวแปรตามจะแสดง

กราฟเกณฑ์เดียวกันที่กำหนดอนุพันธ์จะถูกจัดการ ในขณะที่อนุพันธ์คือความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้งในระนาบส่วนที่เหลือของส่วนต่างที่เป็นของตัวแปรตาม (dy / dx, dz / dx) แสดงแทนเจนต์ระนาบกับเนื้อเวกเตอร์ที่อธิบายโดยฟังก์ชันตัวแปรหลายตัว

โดยปริยาย

ฟังก์ชั่นบอกว่าจะถูกกำหนดโดยปริยายถ้า Y แสดงออก = f (x) สามารถแสดงเป็นฟังก์ชั่นหลายตัวแปร F (x, y) = 0 ตราบเท่าที่ F มีการกำหนดใน R ²เครื่องบิน

3xy ³ - 2y + xy ² = xy สามารถเขียนได้ในรูปแบบ 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

ในมุมมองของความเป็นไปไม่ได้ที่จะทำให้ฟังก์ชัน y = f (x) ชัดเจน

ประวัติศาสตร์

แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เริ่มได้รับการตั้งชื่อโดยนักวิจัยทางคณิตศาสตร์หลายคนในช่วงศตวรรษที่สิบเจ็ด ครั้งแรกที่มีการกล่าวถึงคือการมีส่วนร่วมของ Newton และ Leibniz ทั้งคู่ปฏิบัติกับแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์จากมุมมองที่แตกต่างกัน แต่กลับมาบรรจบกันในผลลัพธ์

ในขณะที่นิวตันมุ่งเน้นไปที่ความแตกต่างเป็นความเร็วหรืออัตราการเปลี่ยนแปลงแนวทางของไลบนิซเป็นรูปทรงเรขาคณิตมากกว่า อาจกล่าวได้ว่านิวตันโจมตีการคาดเดาที่ทิ้งไว้โดย Apollonius of Perge และ Leibniz แนวคิดทางเรขาคณิตของแฟร์มาต์

อนุพันธ์โดยนัยจะปรากฏขึ้นทันทีเมื่อพิจารณาสมการเชิงอนุพันธ์และปริพันธ์ แนวคิดทางเรขาคณิตของ Leibniz เหล่านี้ขยายไปถึง R ³และแม้แต่ช่องว่างหลายมิติ

การประยุกต์ใช้งาน

อนุพันธ์โดยนัยใช้ในสถานการณ์ต่างๆ เป็นเรื่องปกติในปัญหาอัตราแลกเปลี่ยนระหว่างตัวแปรที่เกี่ยวข้องโดยที่ตัวแปรจะพิจารณาขึ้นอยู่กับหรือเป็นอิสระทั้งนี้ขึ้นอยู่กับความรู้สึกของการศึกษา

นอกจากนี้ยังมีแอปพลิเคชั่นทางเรขาคณิตที่น่าสนใจเช่นในปัญหาการสะท้อนหรือเงาบนรูปทรงที่สามารถจำลองแบบทางคณิตศาสตร์ได้

มักใช้ในสาขาเศรษฐศาสตร์และวิศวกรรมรวมถึงการตรวจสอบปรากฏการณ์ทางธรรมชาติและอาคารทดลองต่างๆ

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

กำหนดนิพจน์โดยนัยที่กำหนด dy / dx

แต่ละองค์ประกอบของนิพจน์มีความแตกต่างกัน

การสร้างกฎลูกโซ่ในแต่ละกรณีที่มีอำนาจ

การจัดกลุ่มด้านหนึ่งของความเท่าเทียมกันขององค์ประกอบที่มี dy / dx

มีการแยกตัวประกอบโดยใช้ปัจจัยร่วม

ได้รับการแก้ไขเมื่อได้รับการแสดงออกที่ต้องการ

แบบฝึกหัด 2

กำหนดนิพจน์โดยนัยที่กำหนด dy / dx

การแสดงอนุพันธ์ที่จะดำเนินการ

ได้มาโดยปริยายตามกฎลูกโซ่

การแยกองค์ประกอบทั่วไป

การจัดกลุ่มคำว่า dy / dx ในด้านหนึ่งของความเท่าเทียมกัน

ปัจจัยร่วมขององค์ประกอบที่แตกต่างกัน

เราแยกและรับการแสดงออกที่ต้องการ

อ้างอิง

1. แคลคูลัสของตัวแปรเดียว รอนลาร์สันบรูซเอชเอ็ดเวิร์ดส์ Cengage Learning, 10 พ.ย. 2008
2. The Implicit Function Theorem: History, Theory, and Applications. Steven G.Krantz, Harold R. Parks Springer Science & Business Media, 9 พ.ย. 2012
3. การวิเคราะห์หลายตัวแปร Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva Springer Science & Business Media, 13 ธ.ค. 2010
4. พลวัตของระบบ: การสร้างแบบจำลองการจำลองและการควบคุมระบบเมคคาทรอนิกส์ Dean C.Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg John Wiley & Sons 7 มี.ค. 2012
5. แคลคูลัส: คณิตศาสตร์และการสร้างแบบจำลอง William Bauldry, Joseph R.Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray แอดดิสันเวสลีย์ลองแมน 1 ม.ค. 1999