อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์: การคำนวณการพิสูจน์แบบฝึกหัด - เลข - 2025

อนุพันธ์ของโคแทนเจนต์เท่ากับตรงข้ามของตารางของโคเซแคนต์ที่ "-Csc ² " สูตรนี้เป็นไปตามกฎของอนุพันธ์ตามนิยามและความแตกต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ แสดงเป็นดังนี้:

d (ctg u) = -csc ²ยู ดู่

โดยที่ "du" เป็นสัญลักษณ์ของนิพจน์ที่ได้มาจากฟังก์ชันอาร์กิวเมนต์ซึ่งเกี่ยวกับตัวแปรอิสระ

ที่มา: Pixabay.com

คำนวณอย่างไร?

ขั้นตอนในการพัฒนาอนุพันธ์เหล่านี้ค่อนข้างง่าย ก็เพียงพอแล้วที่จะระบุอาร์กิวเมนต์และประเภทของฟังก์ชันที่แสดงได้อย่างถูกต้อง

ตัวอย่างเช่นนิพจน์ Ctg (f / g) มีการหารในอาร์กิวเมนต์ สิ่งนี้จะต้องมีการแยกความแตกต่างเกี่ยวกับ U / V หลังจากพัฒนาอนุพันธ์ของโคแทนเจนต์

โคแทนเจนต์คือส่วนต่างของแทนเจนต์ ในเชิงพีชคณิตหมายความว่า:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = คอส x / เสน x

มันไม่ถูกต้องที่จะบอกว่าฟังก์ชันโคแทนเจนต์เป็น "ผกผัน" ของแทนเจนต์ เนื่องจากฟังก์ชันแทนเจนต์ผกผันตามนิยามคืออาร์กแทนเจนต์

(Tg ^-1 x) = arctg x

ตามตรีโกณมิติพีทาโกรัสโคแทนเจนต์มีส่วนเกี่ยวข้องในส่วนต่อไปนี้:

กะรัต x = (cos x) / (บาป x)

กะรัต² x + 1 = Csc ² x

ตามตรีโกณมิติเชิงวิเคราะห์ตอบสนองต่ออัตลักษณ์ต่อไปนี้:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ²ก) / (2tg ก)

ลักษณะของฟังก์ชันโคแทนเจนต์

จำเป็นต้องวิเคราะห์ลักษณะต่างๆของฟังก์ชัน f (x) = ctg x เพื่อกำหนดลักษณะที่จำเป็นในการศึกษาความแตกต่างและการประยุกต์ใช้

เส้นกำกับแนวตั้ง

ฟังก์ชันโคแทนเจนต์ไม่ได้กำหนดไว้บนค่าที่ทำให้นิพจน์ "Senx" เป็นศูนย์ เนื่องจาก Ctg x = (cos x) / (sin x) ที่เท่ากันมันจะมีความไม่แน่นอนใน "nπ" ทั้งหมดโดย n เป็นของจำนวนเต็ม

นั่นคือในแต่ละค่าของ x = nπจะมีเส้นกำกับแนวตั้ง เมื่อคุณเข้าใกล้จากทางซ้ายค่าของโคแทนเจนต์จะลดลงอย่างรวดเร็วและเมื่อคุณเข้าใกล้จากทางขวาฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ

โดเมน

โดเมนของฟังก์ชันโคแทนเจนต์แสดงโดยเซต {x ∈ R / x ≠nπ, n ∈ Z} สิ่งนี้อ่านว่า "x เป็นของเซตของจำนวนจริงซึ่ง x ต่างจากnπโดย n เป็นของเซตจำนวนเต็ม"

ยศ

ช่วงของฟังก์ชันโคแทนเจนต์คือจากลบถึงบวกอินฟินิตี้ ดังนั้นจึงสรุปได้ว่าอันดับของมันคือเซตของจำนวนจริง R

ความถี่

ฟังก์ชันโคแทนเจนต์เป็นคาบและคาบเท่ากับπ ด้วยวิธีนี้ความเท่าเทียมกัน Ctg x = Ctg (x + nπ) จะถูกเติมเต็มโดยที่ n เป็นของ Z

พฤติกรรม

เป็นฟังก์ชันแปลกเนื่องจาก Ctg (-x) = - Ctg x ด้วยวิธีนี้เป็นที่ทราบกันดีว่าฟังก์ชันแสดงความสมมาตรตามจุดกำเนิดพิกัด นอกจากนี้ยังนำเสนอการลดลงของทุกช่วงเวลาที่อยู่ระหว่าง 2 เส้นกำกับแนวตั้งที่ต่อเนื่องกัน

ไม่มีค่าสูงสุดหรือต่ำสุดเนื่องจากการประมาณค่ากับเส้นกำกับแนวตั้งนำเสนอพฤติกรรมที่ฟังก์ชันเพิ่มขึ้นหรือลดลงไปเรื่อย ๆ

เลขศูนย์หรือรากของฟังก์ชันโคแทนเจนต์พบได้ที่ผลคูณคี่ของπ / 2 ซึ่งหมายความว่า Ctg x = 0 เก็บค่าของรูปแบบ x = nπ / 2 ด้วยจำนวนเต็มคี่ n

สาธิต

มี 2 ​​วิธีในการพิสูจน์อนุพันธ์ของฟังก์ชันโคแทนเจนต์

การพิสูจน์ความแตกต่างของตรีโกณมิติ

มีการพิสูจน์อนุพันธ์ของฟังก์ชันโคแทนเจนต์จากการเทียบเท่าในไซน์และโคไซน์

ถือเป็นอนุพันธ์ของการหารฟังก์ชัน

หลังจากได้รับปัจจัยต่างๆจะถูกจัดกลุ่มและมีเป้าหมายเพื่อเลียนแบบอัตลักษณ์ของพีทาโกรัส

การแทนที่อัตลักษณ์และการใช้นิพจน์ซึ่งกันและกัน

พิสูจน์โดยความหมายของอนุพันธ์

นิพจน์ต่อไปนี้สอดคล้องกับอนุพันธ์ตามนิยาม โดยที่ระยะห่างระหว่าง 2 จุดของฟังก์ชันเข้าใกล้ศูนย์

การแทนที่โคแทนเจนต์ที่เรามี:

อัตลักษณ์ถูกนำไปใช้สำหรับผลรวมของอาร์กิวเมนต์และการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกัน

เศษส่วนของตัวเศษจะดำเนินการตามประเพณี

เราได้รับการกำจัดองค์ประกอบที่ตรงกันข้ามและใช้ปัจจัยร่วมกัน

เราต้องใช้อัตลักษณ์ของพีทาโกรัสและการแลกเปลี่ยนซึ่งกันและกัน

องค์ประกอบที่ประเมินใน x เป็นค่าคงที่เมื่อเทียบกับขีด จำกัด ดังนั้นจึงสามารถออกจากอาร์กิวเมนต์นี้ได้ จากนั้นจึงใช้คุณสมบัติของขีด จำกัด ตรีโกณมิติ

ขีด จำกัด ถูกประเมิน

จากนั้นจึงแยกตัวประกอบจนกว่าจะถึงค่าที่ต้องการ

ดังนั้นอนุพันธ์ของโคแตงเจนต์จึงแสดงให้เห็นว่าตรงกันข้ามกับกำลังสองของโคซีแคนต์

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

ขึ้นอยู่กับฟังก์ชัน f (x) กำหนดนิพจน์ f '(x)

การหาที่มาที่สอดคล้องกันถูกนำไปใช้ตามกฎลูกโซ่

ได้รับอาร์กิวเมนต์

บางครั้งจำเป็นต้องใช้อัตลักษณ์ซึ่งกันและกันหรือตรีโกณมิติเพื่อปรับแก้ปัญหา

แบบฝึกหัด 2

กำหนดนิพจน์ที่แตกต่างที่สอดคล้องกับ F (x)

ตามสูตรที่มาและเคารพกฎลูกโซ่

อาร์กิวเมนต์ได้มาในขณะที่ส่วนที่เหลือยังคงเหมือนเดิม

ได้รับองค์ประกอบทั้งหมด

ดำเนินการในลักษณะดั้งเดิมของผลิตภัณฑ์ที่มีฐานเดียวกัน

มีการเพิ่มองค์ประกอบที่เท่ากันและแยกปัจจัยร่วม

ป้ายถูกทำให้เรียบง่ายและใช้งานได้ ให้วิธีการแสดงออกที่ได้มาอย่างสมบูรณ์

อ้างอิง

1. อนุกรมตรีโกณมิติเล่ม 1. ก. Zygmund. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2545
2. แคลคูลัสของตัวแปรเดียว รอนลาร์สันบรูซเอชเอ็ดเวิร์ดส์ Cengage Learning, 10 พ.ย. 2008
3. แคลคูลัสกับตรีโกณมิติและเรขาคณิตวิเคราะห์ John H. Saxon, John Saxon, Frank Wang, Diana Harvey สำนักพิมพ์แซกซอน 2531
4. การวิเคราะห์หลายตัวแปร Satish Shirali, Harkrishan Lal Vasudeva Springer Science & Business Media, 13 ธ.ค. 2010
5. พลวัตของระบบ: การสร้างแบบจำลองการจำลองและการควบคุมระบบเมคคาทรอนิกส์ Dean C.Karnopp, Donald L. Margolis, Ronald C. Rosenberg John Wiley & Sons 7 มี.ค. 2012
6. แคลคูลัส: คณิตศาสตร์และการสร้างแบบจำลอง William Bauldry, Joseph R.Fiedler, Frank R. Giordano, Ed Lodi, Rick Vitray แอดดิสันเวสลีย์ลองแมน 1 ม.ค. 1999