เชือก (เรขาคณิต): ความยาวทฤษฎีบทและแบบฝึกหัด - เลข - 2026

คอร์ดในรูปทรงเรขาคณิตเครื่องบินเป็นส่วนของเส้นที่เชื่อมจุดสองจุดบนเส้นโค้ง เส้นที่มีส่วนนี้กล่าวว่าเป็นเส้นเซแคนท์กับเส้นโค้ง ซึ่งมักจะเป็นวงกลม แต่สามารถลากคอร์ดบนเส้นโค้งอื่น ๆ ได้เช่นจุดไข่ปลาและพาราโบลา

ในรูปที่ 1 ทางด้านซ้ายมีเส้นโค้งซึ่งจุด A และ B อยู่คอร์ดระหว่าง A และ B คือส่วนสีเขียว ทางด้านขวาคือเส้นรอบวงและหนึ่งในสตริงของมันเนื่องจากสามารถวาด infinities ได้

รูปที่ 1. ทางด้านซ้ายของคอร์ดของเส้นโค้งตามอำเภอใจและทางด้านขวาของคอร์ดของวงกลม ที่มา: Wikimedia Commons

ในเส้นรอบวงเส้นผ่านศูนย์กลางนั้นน่าสนใจเป็นพิเศษซึ่งเรียกอีกอย่างว่าคอร์ดหลัก เป็นคอร์ดที่มีจุดศูนย์กลางของเส้นรอบวงเสมอและวัดรัศมีเป็นสองเท่า

รูปต่อไปนี้แสดงรัศมีเส้นผ่านศูนย์กลางคอร์ดและส่วนโค้งของเส้นรอบวง การระบุแต่ละข้อให้ถูกต้องเป็นสิ่งสำคัญเมื่อแก้ปัญหา

รูปที่ 2. องค์ประกอบของเส้นรอบวง ที่มา: Wikimedia Commons

ความยาวคอร์ดของวงกลม

เราสามารถคำนวณความยาวของคอร์ดเป็นวงกลมได้จากตัวเลข 3a และ 3b โปรดทราบว่ารูปสามเหลี่ยมจะถูกสร้างขึ้นโดยมีด้านเท่ากันสองด้าน (หน้าจั่ว): ส่วน OA และ OB ซึ่งวัด R รัศมีของเส้นรอบวง ด้านที่สามของสามเหลี่ยมคือเซกเมนต์ AB เรียกว่า C ซึ่งเป็นความยาวของคอร์ดอย่างแม่นยำ

จำเป็นต้องลากเส้นตั้งฉากกับคอร์ด C เพื่อแบ่งครึ่งมุมθที่มีอยู่ระหว่างรัศมีทั้งสองและจุดยอดคือจุดศูนย์กลาง O ของเส้นรอบวง นี่คือมุมตรงกลาง - เนื่องจากจุดยอดคือจุดศูนย์กลาง - และเส้นแบ่งครึ่งก็เป็นเส้นคั่นกับเส้นรอบวงด้วย

รูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูปจะถูกสร้างขึ้นทันทีด้านตรงข้ามมุมฉากซึ่งวัด R เนื่องจากเส้นแบ่งครึ่งและด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางจะแบ่งคอร์ดออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กันปรากฎว่าขาข้างใดข้างหนึ่งเป็นครึ่งหนึ่งของ C ตามที่ระบุไว้ใน รูปที่ 3b.

จากความหมายของไซน์ของมุม:

บาป (θ / 2) = ขาตรงข้าม / ด้านตรงข้ามมุมฉาก = (C / 2) / R

ดังนั้น:

บาป (θ / 2) = C / 2R

C = 2R บาป (θ / 2)

รูปที่ 3 รูปสามเหลี่ยมที่เกิดจากรัศมีสองเส้นและเส้นรอบวงของเส้นรอบวงคือหน้าจั่ว (รูปที่ 3) เนื่องจากมีด้านเท่ากันสองด้าน เส้นแบ่งครึ่งแบ่งออกเป็นสองรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (รูปที่ 3b) ที่มา: จัดทำโดย F. Zapata

ทฤษฎีบทสตริง

ทฤษฎีบทสตริงมีลักษณะดังนี้:

รูปต่อไปนี้แสดงคอร์ดสองเส้นที่มีเส้นรอบวงเดียวกัน: AB และ CD ซึ่งตัดกันที่จุด P ในคอร์ด AB มีการกำหนดเซ็กเมนต์ AP และ PB ในขณะที่กำหนดคอร์ด CD CP และ PD ดังนั้นตามทฤษฎีบท:

AP PB = CP ป.ล.

รูปที่ 4. ทฤษฎีบทคอร์ดของวงกลม ที่มา: F. Zapata

แก้ไขแบบฝึกหัดของสตริง

- แบบฝึกหัด 1

วงกลมมีคอร์ด 48 ซม. ซึ่งอยู่ห่างจากจุดศูนย์กลาง 7 ซม. คำนวณพื้นที่ของวงกลมและเส้นรอบวงของเส้นรอบวง

สารละลาย

ในการคำนวณพื้นที่ของวงกลม A ก็เพียงพอที่จะทราบรัศมีของเส้นรอบวงกำลังสองเนื่องจากเป็นจริง:

ก = π.R ²

ตอนนี้รูปที่สร้างขึ้นจากข้อมูลที่ให้ไว้คือสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งมีขา 7 และ 24 ซม. ตามลำดับ

รูปที่ 5. เรขาคณิตสำหรับแบบฝึกหัดที่แก้ไขแล้ว 1. ที่มา: F. Zapata.

ดังนั้นในการหาค่าของ R ²จึงใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส c ² = a ² + b ²โดยตรงเนื่องจาก R คือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยม:

R ² = (7 ซม.) ² + (24 ซม.) ² = 625 ซม. ²

ดังนั้นพื้นที่ที่ร้องขอคือ:

A = π. 625 ซม. ² = 1963.5 ซม. ²

เกี่ยวกับเส้นรอบวงหรือความยาว L ของเส้นรอบวงคำนวณโดย:

L = 2π. R

การแทนที่ค่า:

R = √625ซม. ² = 25 ซม

L = 2π. 25 ซม. = 157.1 ซม.

- แบบฝึกหัด 2

กำหนดความยาวของคอร์ดของวงกลมที่มีสมการ:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

ทราบพิกัดของจุดกึ่งกลางของคอร์ดคือ P (17/2; 7/2)

สารละลาย

จุดกึ่งกลางของคอร์ด P ไม่ได้อยู่ในเส้นรอบวง แต่เป็นจุดสิ้นสุดของคอร์ด ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้ทฤษฎีบทสตริงที่อธิบายไว้ก่อนหน้านี้ แต่ก่อนอื่นจะสะดวกในการเขียนสมการของเส้นรอบวงในรูปแบบบัญญัติเพื่อกำหนดรัศมี R และศูนย์กลาง O

ขั้นตอนที่ 1: รับสมการมาตรฐานของเส้นรอบวง

สมการที่เป็นที่ยอมรับของวงกลมที่มีศูนย์กลาง (h, k) คือ:

(xh) ² + (yk) ² = R ²

ในการรับมันคุณต้องกรอกช่องสี่เหลี่ยม:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

โปรดสังเกตว่า 6x = 2. (3x) และ 14y = 2. (7y) เพื่อให้นิพจน์ก่อนหน้านี้ถูกเขียนใหม่เช่นนี้โดยไม่เปลี่ยนแปลง:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ² ) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ² ) -111 = 0

และตอนนี้การจดจำคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่น (ab) ² = a ² - 2ab + b ²คุณสามารถเขียน:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

เส้นรอบวงมีศูนย์กลาง (3,7) และรัศมี R = √169 = 13 รูปต่อไปนี้แสดงกราฟของเส้นรอบวงและคอร์ดที่จะใช้ในทฤษฎีบท:

รูปที่ 6. กราฟของเส้นรอบวงของแบบฝึกหัดที่แก้ไขแล้ว 2. ที่มา: F. Zapata โดยใช้เครื่องคำนวณกราฟออนไลน์ของ Mathway

ขั้นตอนที่ 2: กำหนดเซ็กเมนต์ที่จะใช้ในทฤษฎีบทสตริง

เซ็กเมนต์ที่จะใช้คือสตริง CD และ AB ตามรูปที่ 6 ทั้งสองจะถูกตัดที่จุด P ดังนั้น:

CP PD = AP PB

ตอนนี้เราจะหาระยะห่างระหว่างจุด O และ P เนื่องจากนี่จะทำให้เรามีความยาวของส่วน OP หากเราเพิ่มรัศมีเข้าไปในความยาวนี้เราจะมี CP กลุ่ม

ระยะทาง d _OPระหว่างจุดสองจุดประสานงาน (x ₁ , y ₁ ) และ (x ₂ , y ₂ ) เป็น:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁ ) ² + (y ₂ - y ₁ ) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

ด้วยผลลัพธ์ทั้งหมดที่ได้รับบวกกับกราฟเราสร้างรายการกลุ่มต่อไปนี้ (ดูรูปที่ 6):

CO = 13 ซม. = R

OP = √170 / 2 ซม

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 ซม

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 ซม

AP = PB

2.AP = ความยาวคอร์ด

การแทนที่ในทฤษฎีบทสตริง:

CP PD = AP PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

ความยาวของสตริงคือ 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

ผู้อ่านสามารถแก้ปัญหาด้วยวิธีอื่นได้หรือไม่?

อ้างอิง

1. Baldor, A. 2004. Plane and Space Geometry with Trigonometry. Publicaciones Cultural SA de CV México
2. C-K12 ความยาวของคอร์ด สืบค้นจาก: ck12.org.
3. Escobar, J. เส้นรอบวง. ดึงมาจาก: matematicas.udea.edu.co.
4. Villena, M. Cónicas กู้คืนจาก: dspace.espol.edu.ec.
5. วิกิพีเดีย เชือก (เรขาคณิต). สืบค้นจาก: es.wikipedia.org.