พิกัดสี่เหลี่ยม: ตัวอย่างและแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้ - เลข - 2026

พิกัดฉากหรือคาร์ทีเซียนเป็นผู้ที่จะได้รับใน orthogonally ฉายสามแกนคาร์ทีเซียน X, Y, Z จุดที่ตั้งอยู่ในสาม - มิติ

แกนคาร์ทีเซียนเป็นเส้นที่เน้นซึ่งกันและกันที่ตั้งฉากซึ่งกันและกัน ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนแต่ละจุดในอวกาศจะถูกกำหนดจำนวนจริงสามจำนวนซึ่งเป็นพิกัดสี่เหลี่ยมของมัน

รูปที่ 1. พิกัดสี่เหลี่ยมของจุด P (การอธิบายด้วยตัวเอง)

ระนาบเป็นส่วนย่อยของพื้นที่สามมิติ ในกรณีที่พิจารณาจุดบนระนาบก็เพียงพอที่จะเลือกคู่ของแกนตั้งฉาก X, Y เป็นระบบคาร์ทีเซียน จากนั้นแต่ละจุดบนระนาบจะถูกกำหนดจำนวนจริงสองจำนวนซึ่งเป็นพิกัดสี่เหลี่ยมของมัน

ที่มาของพิกัดสี่เหลี่ยม

พิกัดสี่เหลี่ยมถูกเสนอโดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสRené Descartes (1596 และ 1650) ซึ่งเป็นสาเหตุที่เรียกว่า Cartesian

ด้วยแนวคิดของเดส์การ์ตส์นี้จุดของระนาบและช่องว่างจะถูกกำหนดเป็นตัวเลขเพื่อให้ตัวเลขทางเรขาคณิตมีสมการพีชคณิตที่เกี่ยวข้องและสามารถพิสูจน์ทฤษฎีเรขาคณิตคลาสสิกได้ในเชิงพีชคณิต ด้วยพิกัดคาร์ทีเซียนจึงเกิดเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

เครื่องบินคาร์ทีเซียน

หากเลือกเส้นตั้งฉากสองเส้นในระนาบที่ตัดกันที่จุด O และถ้านอกจากนี้แต่ละบรรทัดได้รับการกำหนดทิศทางและมาตราส่วนตัวเลขระหว่างจุดที่เท่ากันต่อเนื่องกันก็จะมีระบบคาร์ทีเซียนหรือระนาบที่แต่ละจุดของระนาบเชื่อมโยงกับคู่ลำดับของจำนวนจริงสองตัวที่เป็นเส้นโครงร่างตามลำดับบน แกน X และ Y

จุด A = (3, 2); B = (- 2, 3); C = (- 2, -3) และ D = (3, -3) แสดงในระนาบคาร์ทีเซียนดังที่แสดงด้านล่าง:

รูปที่ 2. จุดในระนาบคาร์ทีเซียน (ความประณีตของตัวเอง)

สังเกตว่าแกนสองแกน X และ Y แบ่งระนาบออกเป็นสี่ส่วนเรียกว่าควอดแรนต์ จุด A อยู่ในจตุภาคแรกจุด B อยู่ในจตุภาคที่สองจุด C อยู่ในจตุภาคที่สามและจุด D อยู่ในจตุภาคที่สี่

ระยะห่างระหว่างสองจุด

ระยะห่างระหว่างสองจุด A และ B บนระนาบคาร์ทีเซียนคือความยาวของส่วนที่เชื่อมเข้าด้วยกัน ระยะทางนี้สามารถคำนวณในเชิงวิเคราะห์ได้ดังนี้:

d (A, B) = √ (Bx - ขวาน) ^ 2 + (โดย - Ay) ^ 2)

สูตรข้างต้นได้มาจากการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

ใช้สูตรนี้เพื่อจุด A, B ในรูปที่ 2 เรามี:

d (A, B) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + 1 ^ 2) = √ (26)

นั่นคือ d (A, B) = 5.10 หน่วย โปรดทราบว่าระยะทางนั้นได้มาโดยไม่จำเป็นต้องวัดด้วยไม้บรรทัดจึงมีการปฏิบัติตามขั้นตอนพีชคณิตอย่างสมบูรณ์

นิพจน์เชิงวิเคราะห์ของเส้น

พิกัดสี่เหลี่ยมอนุญาตให้แสดงเชิงวิเคราะห์ของวัตถุทางเรขาคณิตพื้นฐานเช่นจุดและเส้น สองจุด A และ B กำหนดบรรทัดเดียว ความชันของเส้นกำหนดเป็นผลหารระหว่างความแตกต่างของพิกัด Y ของจุด B ลบ A หารด้วยความแตกต่างของพิกัด X ของจุด B ลบ A:

ความชัน = (By - Ay) / (Bx - Axe)

จุด P ของพิกัด (x, y) ใด ๆ ที่เป็นของเส้น (AB) ต้องมีความชันเท่ากัน:

ความชัน = (y - Ay) / (x - ขวาน)

สมการที่ได้มาจากความเท่าเทียมกันของความลาดชันคือการแสดงเชิงวิเคราะห์หรือพีชคณิตของเส้นที่ผ่านจุด A และ B:

(y - Ay) / (x - ขวาน) = (โดย - Ay) / (Bx - ขวาน)

ถ้าเราหา A และ B พิกัดสี่เหลี่ยมของรูปที่ 2 เรามี:

(y - 2) / (x - 3) = (3 - 2) / (- 2 - 3)

(y - 2) / (x - 3) = -⅕

ในกรณีนี้เรามีเส้นที่มีความชันเป็นลบ-⅕ซึ่งหมายความว่าเมื่อหาจุดบนเส้นและเพิ่มพิกัด x ทีละหน่วยพิกัด y จะลดลง 0.2 หน่วย

วิธีที่ใช้กันทั่วไปในการเขียนสมการของเส้นในระนาบคือพิกัด y ที่เคลียร์เป็นฟังก์ชันของตัวแปร x:

y = - (1/5) x + 13/5

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

หาโดยวิธีวิเคราะห์ระยะห่างระหว่างจุด C และ A ซึ่งเป็นพิกัดสี่เหลี่ยมของ C = (-2, -3) และของ A = (3,2)

สูตรสำหรับระยะห่างแบบยุคลิดระหว่างสองจุดนี้เขียนดังนี้:

d (A, C) = √ ((Cx - ขวาน) ^ 2 + (Cy - Ay) ^ 2)

การแทนที่พิกัดสี่เหลี่ยมที่สอดคล้องกันเรามี:

d (A, C) = √ (-2 - 3) ^ 2 + (-3 - 2) ^ 2) = √ (-5) ^ 2 + (-5) ^ 2) = 5√2 = 7.07

ตัวอย่าง 2

รับสมการของเส้นที่ผ่านจุด C ของพิกัด (-2, -3) และจุด P ของพิกัด (2, 0)

ขั้นแรกให้ได้รับความชันของเส้น CP:

ความชัน = (0 - (- 3)) / (2 - (-2)) = ¾

จุด Q ของพิกัดสี่เหลี่ยมทั่วไป (x, y) ใด ๆ ที่เป็นของเส้น CP ต้องมีความชันเท่ากัน:

ความชัน = (y - (- 3)) / (x - (-2)) = (y +3) / (x +2)

กล่าวอีกนัยหนึ่งสมการของเส้น CP คือ:

(y +3) / (x +2) = ¾

อีกทางเลือกหนึ่งในการเขียนสมการของเส้น CP คือการแก้สำหรับ y:

y = ¾ x - 3/2

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

หาพิกัดสี่เหลี่ยมของจุดตัดระหว่างเส้น y = - (1/5) x + 13/5 และเส้น y = ¾ x - 3/2

วิธีแก้ไข: ตามความหมายจุดตัดของทั้งสองเส้นจะใช้พิกัดสี่เหลี่ยมเดียวกัน ดังนั้นพิกัด y ที่จุดตัดจะเหมือนกันสำหรับทั้งสองเส้น:

- (1/5) x + 13/5 = ¾ x - 3/2

ซึ่งนำไปสู่นิพจน์ต่อไปนี้:

(¾ + ⅕) x = 13/5 +3/2

การแก้ผลรวมของเศษส่วนที่เราได้รับ:

19/20 x = 41/10

การแก้สำหรับ x:

x = 82/19 = 4.32

เพื่อให้ได้ค่า y ของจุดตัดค่า x ที่ได้รับจะถูกแทนที่ในบรรทัดใด ๆ :

y = ¾ 4.32 - 3/2 = 1.74

ซึ่งหมายความว่าเส้นที่กำหนดตัดกันที่จุด I ของพิกัด I = (4.32, 1.74)

แบบฝึกหัด 2

หาสมการของเส้นรอบวงที่ผ่านจุด R ของพิกัดสี่เหลี่ยม (3, 4) และมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของพิกัด

วิธีแก้ไข: รัศมี R คือระยะทางจากจุด R ถึงจุดกำเนิด O ของพิกัด (0, 0)

d (R, O) = √ ((Rx - 0) ^ 2 + (Ry - 0) ^ 2) = √ ((3 - 0) ^ 2 + (4 - 0) ^ 2) = √ (3 ^ 2 + 4 ^ 2) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

นั่นคือมันเป็นวงกลมรัศมี 5 ศูนย์กลางที่ (0,0)

จุดใดก็ได้ P (x, y) บนเส้นรอบวงต้องมีระยะห่างเท่ากัน 5 จากจุดศูนย์กลาง (0, 0) จึงสามารถเขียนได้:

d (P, O) = √ ((x - 0) ^ 2 + (y - 0) ^ 2) = √ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

กล่าวคือ:

√ (x ^ 2 + y ^ 2) = 5

ในการกำจัดรากที่สองสมาชิกทั้งสองของความเท่าเทียมกันจะถูกยกกำลังสองโดยได้รับ:

x ^ 2 + y ^ 2 = 25

สมการของเส้นรอบวงคืออะไร

ตัวอย่างนี้แสดงให้เห็นถึงพลังของระบบพิกัดสี่เหลี่ยมซึ่งช่วยในการกำหนดวัตถุทางเรขาคณิตเช่นเส้นรอบวงโดยไม่จำเป็นต้องใช้กระดาษดินสอและเข็มทิศ เส้นรอบวงที่ร้องขอถูกกำหนดโดยวิธีพีชคณิตเท่านั้น

อ้างอิง

1. Arfken G และ Weber H. (2012). วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับนักฟิสิกส์ คู่มือที่ครอบคลุม พิมพ์ครั้งที่ 7. สำนักพิมพ์วิชาการ. ไอ 978-0-12-384654-9
2. การคำนวณ cc. แก้ไขปัญหาพิกัดสี่เหลี่ยม กู้คืนจาก: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "พิกัดคาร์ทีเซียน" จาก MathWorld-A Wolfram Web สืบค้นจาก: mathworld.wolfram.com
4. วิกิพีเดีย ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน สืบค้นจาก: en.wikipedia.com