พิกัดทรงกลม: ตัวอย่างและแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้ - เลข

พิกัดทรงกลมเป็นชุดของจุดที่ตั้งอยู่ในพื้นที่สามมิติประกอบด้วยรัศมีประสานงานและสองพิกัดเชิงมุมเรียกว่าขั้วโลกประสานงานและประสานงาน Azimuthal

รูปที่ 1 ที่เราเห็นด้านล่างแสดงพิกัดทรงกลม (r, θ, φ) ของจุด M พิกัดเหล่านี้อ้างถึงระบบมุมฉากของแกนคาร์ทีเซียน X, Y, Z ต้นกำเนิด O

รูปที่ 1. พิกัดทรงกลม (r, θ, φ) ของจุด M. (วิกิมีเดียคอมมอนส์)

ในกรณีนี้พิกัด r ของจุด M คือระยะทางจากจุดนั้นไปยังจุดกำเนิด O พิกัดเชิงขั้วθแสดงถึงมุมระหว่างแกนกึ่งบวก Z และเวกเตอร์รัศมี OM ในขณะที่พิกัดราบ ut คือมุมระหว่างแกนกึ่งบวก X กับเวกเตอร์รัศมี OM 'โดยที่ M' คือการฉายภาพมุมฉากของ M บนระนาบ XY

พิกัดเรเดียล r รับเฉพาะค่าบวกเท่านั้น แต่ถ้าจุดตั้งอยู่ที่จุดกำเนิด r = 0 พิกัดเชิงขั้วθรับเป็นค่าต่ำสุด0ºสำหรับจุดที่อยู่บนแกนกึ่งบวก Z และค่าสูงสุด180ºสำหรับจุดจะอยู่บนแกนกึ่งลบ Z สุดท้ายพิกัดราบφรับค่าต่ำสุด0ºและความสูงสูงสุด360º

0 ≤ r <∞

0 ≤θ≤180º

0 ≤φ <360º

เปลี่ยนพิกัด

ถัดไปสูตรที่อนุญาตให้ได้รับพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y, z) ของจุด M จะได้รับโดยสมมติว่าพิกัดทรงกลมของจุดเดียวกัน (r, θ, φ) เป็นที่รู้จัก:

x = r เสน (θ) คอส (φ)

y = r เสน (θ) เสน (φ)

z = r คอส (θ)

ในทำนองเดียวกันจะมีประโยชน์ในการค้นหาความสัมพันธ์ที่จะไปจากพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y, z) ของจุดที่กำหนดไปยังพิกัดทรงกลมของจุดดังกล่าว:

r = √ (x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

θ = อาร์กแทน (√ (x ^ 2 + y ^ 2) / z)

φ = อาร์กแทน (y / x)

เวกเตอร์ฐานในพิกัดทรงกลม

จากพิกัดทรงกลมพื้นฐาน orthonormal ของเวกเตอร์ฐานที่กำหนดไว้ซึ่งจะแสดงด้วยUr , Uθ , Uφในรูปที่ 1 แสดงเวกเตอร์หน่วยทั้งสามนี้ซึ่งมีลักษณะดังต่อไปนี้:

- Urคือเวกเตอร์หน่วยแทนเจนต์ของเส้นเรเดียลθ = ctte และφ = ctte;

- Uθคือเวกเตอร์หน่วยแทนเจนต์กับส่วนโค้งφ = ctte และ r = ctte;

- Uφคือเวกเตอร์หน่วยแทนเจนต์ของส่วนโค้ง r = ctte และθ = ctte

องค์ประกอบเส้นและปริมาตรในพิกัดทรงกลม

เวกเตอร์ตำแหน่งของจุดในอวกาศในพิกัดทรงกลมเขียนดังนี้:

r = r เออ

แต่การแปรผันน้อยที่สุดหรือการกระจัดของจุดในปริภูมิสามมิติในพิกัดเหล่านี้แสดงโดยความสัมพันธ์เวกเตอร์ต่อไปนี้:

d r = dr Ur + r dθUθ + r Sen (θ) d φUφ

สุดท้าย dV ปริมาตรน้อยที่สุดในพิกัดทรงกลมเขียนดังนี้:

dV = r ^ 2 เสน (θ) dr dθdφ

ความสัมพันธ์เหล่านี้มีประโยชน์มากสำหรับการคำนวณปริพันธ์ของเส้นและปริมาตรในสถานการณ์ทางกายภาพที่มีสมมาตรทรงกลม

ความสัมพันธ์กับพิกัดทางภูมิศาสตร์

เป็นที่เข้าใจกันว่าพิกัดทางภูมิศาสตร์คือพิกัดที่ใช้ในการระบุตำแหน่งบนพื้นผิวโลก ระบบนี้ใช้พิกัดของละติจูดและลองจิจูดเพื่อค้นหาตำแหน่งบนพื้นผิวโลก

ในระบบพิกัดทางภูมิศาสตร์พื้นผิวโลกถูกสันนิษฐานว่าเป็นทรงกลมโดยมีรัศมี Rt แม้ว่าจะทราบว่าแบนที่เสาก็ตามและมีการพิจารณาชุดของเส้นจินตภาพที่เรียกว่าแนวขนานและเส้นเมอริเดียน

รูปที่ 2. ลองจิจูดαและละติจูดβของผู้สังเกตบนพื้นผิวโลก

ละติจูดβคือมุมที่เกิดจากรัศมีที่เริ่มจากจุดศูนย์กลางของโลกไปยังจุดที่คุณต้องการจัดตำแหน่ง วัดจากระนาบเส้นศูนย์สูตรดังแสดงในรูปที่ 2 ในทางกลับกันลองจิจูดαคือมุมที่เส้นเมริเดียนของจุดที่ตั้งอยู่ก่อตัวขึ้นโดยเทียบกับเส้นเมริเดียนศูนย์ (เรียกว่าเส้นเมริเดียนกรีนิช)

ละติจูดอาจเป็นละติจูดเหนือหรือใต้ก็ได้ขึ้นอยู่กับว่าสถานที่ที่คุณค้นหาอยู่ในซีกโลกเหนือหรือในซีกโลกใต้ ในทำนองเดียวกันลองจิจูดอาจอยู่ทางตะวันตกหรือตะวันออกขึ้นอยู่กับว่าตำแหน่งนั้นอยู่ทางตะวันตกหรือตะวันออกของเส้นเมริเดียนศูนย์

สูตรที่จะเปลี่ยนจากภูมิศาสตร์เป็นทรงกลม

เพื่อให้ได้สูตรเหล่านี้สิ่งแรกคือการสร้างระบบพิกัด ระนาบ XY ถูกเลือกให้ตรงกับระนาบเส้นศูนย์สูตรโดยแกน X กึ่งบวกคือแกนที่เคลื่อนที่จากใจกลางโลกและผ่านเส้นเมริเดียนศูนย์ ในทางกลับกันแกน Y จะผ่านเส้นเมริเดียน90º E พื้นผิวโลกมีรัศมี Rt

ด้วยระบบพิกัดนี้การเปลี่ยนแปลงจากภูมิศาสตร์เป็นทรงกลมมีลักษณะดังนี้:

αEβN→ (Rt, θ = 90º-β, φ = α)

αOβN→ (Rt, θ = 90º-β, φ = 360º-α)

αEβS→ (Rt, θ = 90º + β, φ = α)

αOβS→ (Rt, θ = 90º + β, φ = 360º-α)

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

พิกัดทางภูมิศาสตร์ของ Palma de Mallorca (สเปน) คือ:

ลองจิจูดตะวันออก38.847ºและละติจูดเหนือ39.570º ในการกำหนดพิกัดทรงกลมที่สอดคล้องกับ Palma de Mallorca จะใช้สูตรแรกของสูตรในส่วนก่อนหน้า:

38,847ºE39,570ºN→ (r = 6371 กม., θ = 90º-39,570º, φ = 38,847º)

ดังนั้นพิกัดทรงกลมคือ:

Palma de Mallorca: (r = 6371 km, θ = 50.43º, φ = 38.85º)

ในคำตอบก่อนหน้านี้ได้รับ r เท่ากับรัศมีเฉลี่ยของโลก

ตัวอย่าง 2

เมื่อทราบว่าหมู่เกาะ Malvinas (Falkland) มีพิกัดทางภูมิศาสตร์ที่ 59 geographicO 51.75ºSให้กำหนดพิกัดเชิงขั้วที่สอดคล้องกัน จำไว้ว่าแกน X เคลื่อนจากศูนย์กลางโลกไปยังเส้นเมริเดียน0ºและบนระนาบเส้นศูนย์สูตร แกน Y ยังอยู่ในระนาบเส้นศูนย์สูตรและผ่านเส้นเมริเดียนตะวันตก90º ในที่สุดแกน Z บนแกนการหมุนของโลกในทิศทางใต้ - เหนือ

ในการค้นหาพิกัดทรงกลมที่เกี่ยวข้องเราใช้สูตรที่นำเสนอในส่วนก่อนหน้านี้:

59ºO51.75ºS→ (r = 6371 km, θ = 90º + 51.75º, φ = 360º-59º) นั่นคือ

มัลวินาส: (r = 6371 กม., θ = 141.75º, φ = 301º)

การออกกำลังกาย

แบบฝึกหัด 1

ค้นหาพิกัดคาร์ทีเซียนของ Palma de Mallorca ในระบบอ้างอิง XYZ Cartesian ที่แสดงในรูปที่ 2

วิธีแก้ปัญหา: ก่อนหน้านี้ในตัวอย่างที่ 1 พิกัดทรงกลมได้มาจากพิกัดทางภูมิศาสตร์ของเกาะมายอร์กา ดังนั้นสูตรที่นำเสนอข้างต้นสามารถใช้เพื่อเปลี่ยนจากทรงกลมเป็นคาร์ทีเซียน:

x = 6371 กม. เสน (50.43º) คอส (38.85º)

y = 6371 กม. เสน (50.43º) เสน (38.85º)

z = 6371 กม. คอส (50.43º)

ทำการคำนวณที่สอดคล้องกันที่เรามี:

Palma de Mallorca: (x = 3825 กม., y = 3081 กม., z = 4059)

แบบฝึกหัด 2

ค้นหาพิกัดคาร์ทีเซียนของหมู่เกาะฟอล์กแลนด์ในระบบอ้างอิง XYZ Cartesian ที่แสดงในรูปที่ 2

วิธีแก้ไข: ก่อนหน้านี้ในตัวอย่างที่ 2 พิกัดทรงกลมได้มาจากพิกัดทางภูมิศาสตร์ของหมู่เกาะมัลวินาส ดังนั้นสูตรที่นำเสนอข้างต้นสามารถใช้เพื่อเปลี่ยนจากทรงกลมเป็นคาร์ทีเซียน:

x = 6371 กม. เสน (141.75º) คอส (301º)

y = 6371 กม. เสน (141.75º) เสน (301º)

z = 6371 กม. คอส (141.75º)

ทำการคำนวณที่สอดคล้องกันเราได้รับ:

หมู่เกาะฟอล์กแลนด์: (x = 2031 km, y = -3381 km, z = -5003)

อ้างอิง

Arfken G และ Weber H. (2012). วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับนักฟิสิกส์ คู่มือที่ครอบคลุม พิมพ์ครั้งที่ 7. สำนักพิมพ์วิชาการ. ไอ 978-0-12-384654-9
การคำนวณ cc. แก้ไขปัญหาพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม กู้คืนจาก: calculo.cc
การประชุมเชิงปฏิบัติการดาราศาสตร์ ละติจูดและลองจิจูด กู้คืนจาก: tarifamates.blogspot.com/
Weisstein, Eric W. "พิกัดทรงกลม" จาก MathWorld-A Wolfram Web สืบค้นจาก: mathworld.wolfram.com
วิกิพีเดีย ระบบพิกัดทรงกลม สืบค้นจาก: en.wikipedia.com
วิกิพีเดีย ฟิลด์เวกเตอร์ในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม สืบค้นจาก: en.wikipedia.com

พิกัดทรงกลม: ตัวอย่างและแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้ - เลข - 2026