พิกัดทรงกระบอก: ระบบการเปลี่ยนแปลงและแบบฝึกหัด - เลข - 2026

พิกัดทรงกระบอกที่ใช้ในการค้นหาจุดในพื้นที่สามมิติและประกอบด้วยรัศมีประสานงานρ, φ azimuthal ประสานงานและประสานงาน Z ของความสูง

จุด P ที่อยู่ในอวกาศจะถูกฉายในแนวตั้งฉากบนระนาบ XY ทำให้เกิดจุด P 'ในระนาบนั้น ระยะห่างจากจุดกำเนิดถึงจุด P 'กำหนดพิกัดρในขณะที่มุมระหว่างแกน X และ ray OP' กำหนดพิกัดφ สุดท้ายพิกัด z คือการฉายภาพมุมฉากของจุด P บนแกน Z (ดูรูปที่ 1)

รูปที่ 1. จุด P ของพิกัดทรงกระบอก (ρ, φ, z) (ความประณีตของตัวเอง)

พิกัดเรเดียลρเป็นค่าบวกเสมอพิกัดแอซิมุททัลφแตกต่างกันไปตั้งแต่ศูนย์เรเดียนไปจนถึงสองเรเดียนไพในขณะที่พิกัด z สามารถรับค่าที่แท้จริงได้:

0 ≤ρ <∞

0 ≤φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

เปลี่ยนพิกัด

มันค่อนข้างง่ายที่จะได้รับพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y, z) ของจุด P จากพิกัดทรงกระบอก (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρบาป (φ)

z = z

แต่ก็เป็นไปได้ที่จะได้รับพิกัดเชิงขั้ว (ρ, φ, z) โดยเริ่มจากความรู้เกี่ยวกับพิกัดคาร์ทีเซียน (x, y, z) ของจุด P:

ρ = √ (x ² + y ² )

φ = อาร์กแทน (y / x)

z = z

เวกเตอร์ฐานในพิกัดทรงกระบอก

ฐานของหน่วยกระบอกพาหะUρ , Uφ , อูถูกกำหนดไว้

เวกเตอร์Uρแทนเจนต์ของเส้นφ = ctte และ z = ctte (ชี้ออกไปด้านนอกในแนวรัศมี) เวกเตอร์Uφแทนเจนต์กับเส้นρ = ctte และ z = ctte และสุดท้ายUzมีทิศทางเดียวกันของแกน Z

รูปที่ 2. ฐานพิกัดทรงกระบอก (วิกิมีเดียคอมมอนส์)

ในฐานหน่วยทรงกระบอกเวกเตอร์ตำแหน่งrของจุด P เขียนแบบเวกเตอร์ดังนี้:

r = ρUρ + 0 Uφ + z Uz

ในทางกลับกันการกระจัดน้อยที่สุด d rจากจุด P จะแสดงดังนี้:

d R = dρ Uρ + ρdφ Uφ + DZ อู

ในทำนองเดียวกันองค์ประกอบที่น้อยที่สุดของปริมาตร dV ในพิกัดทรงกระบอกคือ:

dV = ρdρdφ dz

ตัวอย่าง

มีตัวอย่างมากมายเกี่ยวกับการใช้และการประยุกต์ใช้พิกัดทรงกระบอก ตัวอย่างเช่นในการทำแผนที่จะใช้การฉายภาพทรงกระบอกโดยพิจารณาจากพิกัดเหล่านี้อย่างแม่นยำ มีตัวอย่างเพิ่มเติม:

ตัวอย่าง 1

พิกัดทรงกระบอกมีการประยุกต์ใช้ในเทคโนโลยี ตัวอย่างเช่นเรามีระบบ CHS (Cylinder-Head-Sector) ของตำแหน่งข้อมูลบนฮาร์ดดิสก์ซึ่งประกอบด้วยดิสก์หลายตัว:

- กระบอกสูบหรือรางสอดคล้องกับพิกัดρ

- เซกเตอร์สอดคล้องกับตำแหน่งφของดิสก์ที่หมุนด้วยความเร็วเชิงมุมสูง

- ส่วนหัวตรงกับตำแหน่ง z ของหัวอ่านบนดิสก์ที่เกี่ยวข้อง

ข้อมูลแต่ละไบต์มีที่อยู่ที่แม่นยำในพิกัดทรงกระบอก (C, S, H)

รูปที่ 2. ตำแหน่งของข้อมูลในพิกัดทรงกระบอกบนระบบฮาร์ดดิสก์ (วิกิมีเดียคอมมอนส์)

ตัวอย่าง 2

ปั้นจั่นก่อสร้างกำหนดตำแหน่งของโหลดในพิกัดทรงกระบอก ตำแหน่งแนวนอนกำหนดโดยระยะทางไปยังแกนหรือลูกศรของเครนρและตามตำแหน่งเชิงมุมφตามแกนอ้างอิงบางส่วน ตำแหน่งแนวตั้งของโหลดถูกกำหนดโดยพิกัด z ของความสูง

รูปที่ 3. ตำแหน่งของน้ำหนักบรรทุกบนเครนก่อสร้างสามารถแสดงเป็นพิกัดทรงกระบอกได้อย่างง่ายดาย (ภาพ pixabay - คำอธิบายประกอบR.Pérez)

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

แบบฝึกหัด 1

มีจุด P1 ที่มีพิกัดทรงกระบอก (3, 120º, -4) และจุด P2 ที่มีพิกัดทรงกระบอก (2, 90º, 5) จงหาระยะห่างแบบยุคลิดระหว่างสองจุดนี้

วิธีแก้ไข: ขั้นแรกเราจะดำเนินการหาพิกัดคาร์ทีเซียนของแต่ละจุดตามสูตรที่ระบุไว้ข้างต้น

P1 = (3 * cos 120º, 3 * บาป120º, -4) = (-1.5, 2.60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * บาป90º, 5) = (0, 2, 5)

ระยะห่างแบบยุคลิดระหว่าง P1 และ P2 คือ:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1.5)) ² + (2 - 2.60) ² + (5 - (- 4)) ² ) = …

…√ (2.25 + 0.36 + 81) = 9.14

แบบฝึกหัด 2

จุด P มีพิกัดคาร์ทีเซียน (-3, 4, 2) ค้นหาพิกัดทรงกระบอกที่ตรงกัน

วิธีแก้ไข: เราดำเนินการค้นหาพิกัดทรงกระบอกโดยใช้ความสัมพันธ์ที่ระบุข้างต้น:

ρ = √ (x ² + y ² ) = √ ((- 3) ² + 4 ² ) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = arctan (y / x) = arctan (4 / (- 3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

z = 2

ควรจำไว้ว่าฟังก์ชันอาร์กแทนเจนต์มีหลายค่าโดยมีระยะเวลา180º นอกจากนี้มุมφต้องเป็นของจตุภาคที่สองเนื่องจากพิกัด x และ y ของจุด P อยู่ในจตุภาคนั้น นี่คือเหตุผลว่าทำไมจึงเพิ่ม180ºในผลลัพธ์φ

แบบฝึกหัด 3

แสดงในพิกัดทรงกระบอกและในคาร์ทีเซียนจะประสานพื้นผิวของทรงกระบอกที่มีรัศมี 2 และแกนของมันตรงกับแกน Z

วิธีแก้ปัญหา: เป็นที่เข้าใจกันว่าทรงกระบอกมีส่วนขยายที่ไม่มีที่สิ้นสุดในทิศทาง z ดังนั้นสมการของพื้นผิวดังกล่าวในพิกัดทรงกระบอกคือ:

ρ = 2

เพื่อให้ได้สมการคาร์ทีเซียนของพื้นผิวทรงกระบอกให้นำกำลังสองของสมาชิกทั้งสองของสมการก่อนหน้านี้:

ρ ² = 4

เราคูณสมาชิกทั้งสองของความเท่าเทียมกันก่อนหน้านี้ด้วย 1 และใช้เอกลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน (บาป² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(บาป² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

วงเล็บได้รับการพัฒนาเพื่อรับ:

(ρบาป (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

เราจำได้ว่าวงเล็บแรก (ρ sin (φ)) คือพิกัด y ของจุดในพิกัดเชิงขั้วในขณะที่วงเล็บ (ρ cos (φ)) แทนพิกัด x เพื่อให้เรามีสมการของทรงกระบอกในพิกัด คาร์ทีเซียน:

y ² + x ² = 2 ²

ไม่ควรสับสนสมการข้างต้นกับเส้นรอบวงในระนาบ XY เนื่องจากในกรณีนี้จะมีลักษณะดังนี้: {y ² + x ² = 2 ² ; z = 0}

แบบฝึกหัด 4

รัศมีทรงกระบอก R = 1 ม. และความสูง H = 1 ม. มีมวลกระจายในแนวรัศมีตามสมการต่อไปนี้ D (ρ) = C (1 - ρ / R) โดยที่ C คือค่าคงที่ C = 1 กก. / ม. ³ . หามวลรวมของทรงกระบอกเป็นกิโลกรัม

วิธีแก้ปัญหา: สิ่งแรกคือต้องตระหนักว่าฟังก์ชัน D (ρ) แสดงถึงความหนาแน่นของมวลเชิงปริมาตรและความหนาแน่นของมวลนั้นกระจายอยู่ในเปลือกทรงกระบอกที่มีความหนาแน่นลดลงจากจุดศูนย์กลางไปยังรอบนอก องค์ประกอบของปริมาตรที่น้อยที่สุดตามความสมมาตรของปัญหาคือ:

dV = ρdρ2π H

ดังนั้นมวลน้อยที่สุดของเปลือกทรงกระบอกจะเป็น:

dM = D (ρ) dV

ดังนั้นมวลรวมของกระบอกสูบจะแสดงด้วยอินทิกรัลที่แน่นอนดังต่อไปนี้:

M = ∫ _หรือ^R D (ρ) dV = ∫ _หรือ^R C (1 - ρ / R) ρdρ2π H = 2π HC ∫ _หรือ^R (1 - ρ / R) ρdρ

การแก้ปัญหาของอินทิกรัลที่ระบุนั้นไม่ยากที่จะได้รับผลลัพธ์คือ:

∫ _หรือ^R (1 - ρ / R) ρdρ = (⅙) R ²

รวมผลลัพธ์นี้ในการแสดงออกของมวลของกระบอกสูบที่เราได้รับ:

M = 2π HC (⅙) R ² = ⅓π HCR ² =

⅓π 1 ม. * 1 กก. / ม. ³ * 1 ม. ² = π / 3 กก. ≈ 1.05 กก

อ้างอิง

1. Arfken G และ Weber H. (2012). วิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับนักฟิสิกส์ คู่มือที่ครอบคลุม พิมพ์ครั้งที่ 7. สำนักพิมพ์วิชาการ. ไอ 978-0-12-384654-9
2. การคำนวณ cc. แก้ไขปัญหาพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม กู้คืนจาก: calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "พิกัดทรงกระบอก" จาก MathWorld - A Wolfram Web สืบค้นจาก: mathworld.wolfram.com
4. วิกิพีเดีย ระบบพิกัดทรงกระบอก สืบค้นจาก: en.wikipedia.com
5. วิกิพีเดีย ฟิลด์เวกเตอร์ในพิกัดทรงกระบอกและทรงกลม สืบค้นจาก: en.wikipedia.com