อัตราส่วนของปัวซอง: สัมประสิทธิ์สูตรค่าตัวอย่าง - กายภาพ

Poisson 's อัตราส่วนเป็นปริมาณมิติลักษณะของวัสดุทุก เป็นการบ่งชี้ถึงการเสียรูปของวัสดุก่อนการใช้แรงบางอย่าง

เมื่อชิ้นส่วนของวัสดุที่ต้องรับแรงดึงหรือการบีบอัดเกิดการเสียรูปผลหารระหว่างการเปลี่ยนรูปตามขวางและการเปลี่ยนรูปตามยาวจะเป็นอัตราส่วนของปัวซองอย่างแม่นยำ

รูปที่ 1. อัตราส่วนของปัวซองวัดความสัมพันธ์ระหว่างการยืดตามยาวและการแคบลงตามขวาง (จัดทำโดย Ricardo Pérez)

ตัวอย่างเช่นกระบอกสูบยางที่ต้องรับแรงดึงที่ปลายจะยืดออกไปในทิศทางตามยาว แต่จะแคบไปตามขวาง รูปที่ 1 แสดงแถบที่มีขนาดดั้งเดิม: ความยาว L และเส้นผ่านศูนย์กลาง D

แถบจะต้องรับแรงดึง T ที่ปลายและเป็นผลมาจากความตึงเครียดนี้ทำให้เกิดการยืดออกเพื่อให้ความยาวใหม่คือ L '> L แต่เมื่อยืดออกเส้นผ่านศูนย์กลางของมันจะแคบลงเมื่อเทียบกับค่าใหม่: D '<D

ผลหารระหว่างความยืด (บวก) และการ จำกัด (ลบ) คูณด้วย (-1) คือจำนวนบวกระหว่าง 0 ถึง 0.5 ตัวเลขนี้เรียกว่าอัตราส่วนของปัวซองν (อักษรกรีก nu)

สูตรอัตราส่วนของปัวซอง

ในการคำนวณอัตราส่วนของปัวซองจำเป็นต้องกำหนดความเครียดตามยาวและตามขวาง

ความเครียดตามยาวε _Lคือความยืดหารด้วยความยาวเดิม:

ε _L = (ล '- ล) / ล

ในทำนองเดียวกันความเครียดตามขวางε _Tคือการตีบตามแนวรัศมีหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางเดิม:

ε _T = (D '- D) / D

ดังนั้นอัตราส่วนของปัวซองจะคำนวณโดยสูตรต่อไปนี้:

ν = - ε _T / ε _ล

ความสัมพันธ์กับโมดูลัสของความยืดหยุ่นและโมดูลัสของความแข็งแกร่ง

อัตราส่วนของปัวซองνเกี่ยวข้องกับโมดูลัส E ของความยืดหยุ่น (หรือโมดูลัสของ Young) และโมดูลัสของความแข็งแกร่ง G ตามสูตรต่อไปนี้:

ค่าอัตราส่วนของปัวซองสำหรับวัสดุ

รูปที่ 2. เหล็กกล้าไร้สนิมมีอัตราส่วนของปัวซองระหว่าง 0.30 ถึง 0.31 ที่มา: Pixabay

ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่าง 1

แท่งของวัสดุพลาสติกบางชนิดมีความยาว 150 มม. และส่วนวงกลมเส้นผ่านศูนย์กลาง 20 มม. เมื่ออยู่ภายใต้แรงบีบอัด F ที่ 612.25 kg-f จะสังเกตเห็นการสั้นลง 14 มม. และเส้นผ่านศูนย์กลางของแท่งจะเพิ่มขึ้น 0.85 มม.

คำนวณ:

ก) ความเครียดตามยาว

b) ความเครียดตามขวาง

c) อัตราส่วนของปัวซองต่อวัสดุนั้น

d) โมดูลัสความยืดหยุ่นของ Young ที่สอดคล้องกับวัสดุ

จ) โมดูลัสความแข็งของพลาสติกนั้น

วิธีแก้ปัญหา

จำไว้ว่าความเครียดตามยาวεLคือความยืดหารด้วยความยาวเดิม:

εL = (ล '- ล) / ล

εL = (-14 มม.) / 150 มม. = -0.0933

โปรดสังเกตว่าความเครียดตามยาวไม่มีมิติและในกรณีนี้เป็นค่าลบเนื่องจากมีการลดลงของขนาดตามยาว

แนวทางแก้ไข b

ในทำนองเดียวกันความเครียดตามขวางεTคือความเรียวตามแนวรัศมีหารด้วยเส้นผ่านศูนย์กลางเดิม:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0.85 มม.) / 20 มม. = 0.0425

ความเครียดตามขวางเป็นบวกเนื่องจากมีการเพิ่มขึ้นของเส้นผ่านศูนย์กลางของแท่ง

แนวทางแก้ไข c

สำหรับการคำนวณอัตราส่วนของปัวซองเราต้องจำไว้ว่ามันถูกกำหนดให้เป็นลบของผลหารระหว่างการเปลี่ยนรูปตามขวางและการเปลี่ยนรูปตามยาว:

ν = - εT / εL

ν = - 0.0425 / (-0.0933) = 0.4554

ควรจำไว้ว่าอัตราส่วนของปัวซองเป็นตัวเลขที่ไม่มีมิติเชิงบวกและสำหรับวัสดุส่วนใหญ่จะอยู่ระหว่าง 0 ถึง 0.5

แนวทางแก้ไข d

โมดูลัสความยืดหยุ่นของ Young ซึ่งแสดงด้วยตัวอักษร E คือค่าคงที่ของสัดส่วนในกฎของ Hooke โดย E ความเครียดปกติσLเกี่ยวข้องกับความเครียดεLดังต่อไปนี้:

σL = E εL

ความเค้นปกติถูกกำหนดให้เป็นผลหารระหว่างแรงปกติ (ในกรณีนี้ขนานกับแกนของแท่ง) และพื้นที่หน้าตัด:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

ในแบบฝึกหัดนี้แรง F คือ 612.25 kg-f ซึ่งจะต้องถูกแปลงเป็นนิวตันซึ่งเป็นหน่วยแรง SI:

F = 612.25 กก. -F = 612.25 * 9.8 N = 6000 N = 6 kN

ในส่วนของมันหน้าตัดของพื้นที่ A คือ:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 ม.) ^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 ม. ^ 2

ในที่สุดความเครียดปกติที่ใช้กับแถบคือ:

σL = F / A = 6000 N / 3.1416 * 10 ^ -4 ม. ^ 2 = 19.098.593 Pa = 19.098 MPa

ในการคำนวณโมดูลัสความยืดหยุ่นของ Young เราแก้ปัญหาสำหรับ E จากกฎของ Hooke σL = E εL:

E = σL / εL = 19,098,593 Pa / 0.0933 = 204.7 MPa

แนวทางแก้ไข e

โมดูลัสของความแข็งแกร่ง G สัมพันธ์กับโมดูลัสของ Young และอัตราส่วนของปัวซองνโดยสูตรนี้:

E / (2 G) = 1 + ν

จากนั้นเราสามารถแก้ปัญหาสำหรับ G:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204.7 MPa / (2 (1 + 0.4554)) = 70.33 MPa

ตัวอย่าง 2

มีสายทองแดงขนาดเส้นผ่านศูนย์กลาง 4 มม. และยาว 1 ม. เมื่อทราบว่าโมดูลัสของทองแดงของ Young คือ 110,000 MPa และอัตราส่วนของปัวซองคือ 0.34 ประมาณเส้นผ่านศูนย์กลางการยืดและการแคบลงที่เส้นลวดต้องผ่านเมื่อมีน้ำหนัก 100 กก. -F แขวนไว้

สารละลาย

ขั้นแรกจำเป็นต้องคำนวณความเค้นดึงตามปกติที่น้ำหนักกระทำบนเส้นลวดตามสูตรนี้:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

แรง F คือ 980 N และพื้นที่หน้าตัดคือ:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 ม.) ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 ม. ^ 2

จากนั้นความเค้นดึงคือ:

σL = 980 N / 1.2566 * 10 ^ -5 ม. ^ 2 = 77,986,000 Pa

การคำนวณความเครียดของลวด

โมดูลัสความยืดหยุ่นของ Young ซึ่งแสดงด้วยตัวอักษร E คือค่าคงที่ของสัดส่วนในกฎของ Hooke ที่เกี่ยวข้องกับความเครียดปกติσLกับความเครียดεL:

σL = E εL

จากนั้นสามารถแก้ไขความเครียดตามยาวของลวดทองแดงได้:

εL = σL / E = 77.986 MPa / 110000 MPa = 7.09 * 10 ^ -4

การคำนวณความเครียดตามขวาง

ในทางกลับกันหากต้องการทราบความเครียดตามขวางจะใช้อัตราส่วนของปัวซอง:

ν = - εT / εL

ในที่สุดความเครียดตามขวางคือ:

εT = –ν εL = - 0.34 * 7.09 * 10 ^ -4 = -2.41 * 10 ^ -4

การคำนวณการยืดของสายเคเบิลแบบสัมบูรณ์

ในที่สุดหากต้องการทราบความยาวของสายเคเบิลต้องใช้ความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

ΔL = εL * L = 7.09 * 10 ^ -4 * 1 ม. = 7.09 * 10 ^ -4 ม. = 0.709 มม.

กล่าวคือด้วยน้ำหนักนั้นสายเคเบิลแทบจะไม่ยืด 0.709 มม.

การคำนวณการลดลงของเส้นผ่านศูนย์กลาง

เพื่อให้ได้เส้นผ่านศูนย์กลางที่หดตัวแน่นอนเราใช้สูตรต่อไปนี้:

ΔD = εT * D = -2.41 * 10 ^ -4 * 4 มม. = -9.64 * 10 ^ -4 มม. = -0.000964 มม.

เส้นผ่านศูนย์กลางที่แคบลงนี้มีขนาดเล็กมากจนมองด้วยตาเปล่าได้ยากแม้การวัดจะต้องใช้เครื่องมือที่มีความแม่นยำสูง

อ้างอิง

Beer F .. กลศาสตร์ของวัสดุ. 5 ฉบับ 2553. Mc Graw Hill. 1-130
Hibbeler R. กลศาสตร์ของวัสดุ ฉบับที่แปด. ศิษย์ฮอลล์. 2554. 3-60.
Gere J. กลศาสตร์ของวัสดุ. ฉบับที่แปด. การเรียนรู้ Cengage 4-220
Giancoli, D. 2006. Physics: Principles with Applications. 6th Ed. Prentice Hall. 238-242
Valera Negrete, J. 2005. หมายเหตุเกี่ยวกับฟิสิกส์ทั่วไป. ไต้หวัน 87-98

อัตราส่วนของปัวซอง: สัมประสิทธิ์สูตรค่าตัวอย่าง - กายภาพ - 2026