- ประวัติศาสตร์
- ความเป็นมาของเรขาคณิตวิเคราะห์
- ศตวรรษที่สิบหก
- พื้นฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์
- มีอิทธิพล
- เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์สามมิติขึ้นไป
- อ้างอิง
พงศาวดารประวัติศาสตร์ของเรขาคณิตวิเคราะห์กลับไปยังศตวรรษที่สิบเจ็ดเมื่อแยร์เดอแฟร์มาต์และRené Descartes กำหนดความคิดพื้นฐาน สิ่งประดิษฐ์ของเขาเป็นไปตามความทันสมัยของพีชคณิตและสัญกรณ์พีชคณิตของFrançoisViète
สาขานี้มีฐานในกรีกโบราณโดยเฉพาะในผลงานของ Apollonius และ Euclid ซึ่งมีอิทธิพลอย่างมากในสาขาคณิตศาสตร์นี้
แนวคิดสำคัญที่อยู่เบื้องหลังเรขาคณิตวิเคราะห์คือความสัมพันธ์ระหว่างสองตัวแปรเช่นที่หนึ่งเป็นฟังก์ชันของอีกตัวแปรหนึ่งกำหนดเส้นโค้ง
แนวคิดนี้พัฒนาขึ้นครั้งแรกโดย Pierre de Fermat ด้วยกรอบการทำงานที่สำคัญนี้ทำให้ Isaac Newton และ Gottfried Leibniz สามารถพัฒนาแคลคูลัสได้
เดส์การ์ตนักปรัชญาชาวฝรั่งเศสได้ค้นพบวิธีพีชคณิตเกี่ยวกับเรขาคณิตด้วยตัวของเขาเอง ผลงานของ Descartes เกี่ยวกับรูปทรงเรขาคณิตปรากฏในหนังสือ Discourse on Method ที่มีชื่อเสียงของเขา
หนังสือเล่มนี้ชี้ให้เห็นว่าเข็มทิศและโครงสร้างทางเรขาคณิตขอบตรงเกี่ยวข้องกับการบวกการลบการคูณและรากที่สอง
เรขาคณิตวิเคราะห์แสดงถึงการรวมกันของประเพณีที่สำคัญสองประการในคณิตศาสตร์: เรขาคณิตเป็นการศึกษารูปแบบและเลขคณิตและพีชคณิตซึ่งเกี่ยวข้องกับปริมาณหรือตัวเลข ดังนั้นเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์คือการศึกษาสาขาของเรขาคณิตโดยใช้ระบบพิกัด
ประวัติศาสตร์
ความเป็นมาของเรขาคณิตวิเคราะห์
ความสัมพันธ์ระหว่างเรขาคณิตและพีชคณิตมีวิวัฒนาการมาตลอดประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์แม้ว่าเรขาคณิตจะมาถึงขั้นตอนก่อนกำหนด
ตัวอย่างเช่น Euclid นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกสามารถจัดเรียงผลลัพธ์หลายอย่างในหนังสือคลาสสิกของเขา The Elements
แต่เป็น Apollonius of Perga ชาวกรีกโบราณที่ทำนายการพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์ในหนังสือ Conics ของเขา เขากำหนดรูปกรวยเป็นจุดตัดระหว่างกรวยกับระนาบ
การใช้ผลของ Euclid กับรูปสามเหลี่ยมและเส้นคั่นของวงกลมที่คล้ายกันเขาพบความสัมพันธ์ที่กำหนดโดยระยะทางจากจุดใด ๆ "P" ของรูปกรวยถึงสองเส้นตั้งฉากแกนหลักของรูปกรวยและแทนเจนต์ที่จุดสิ้นสุดของแกน Apollonius ใช้ความสัมพันธ์นี้เพื่ออนุมานคุณสมบัติพื้นฐานของรูปกรวย
การพัฒนาระบบพิกัดในคณิตศาสตร์ในเวลาต่อมาเกิดขึ้นหลังจากที่พีชคณิตเติบโตเต็มที่แล้วเนื่องจากนักคณิตศาสตร์อิสลามและอินเดีย
จนถึงยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาเรขาคณิตถูกนำมาใช้เพื่อแก้ปัญหาเกี่ยวกับพีชคณิต แต่มีไม่มากนักที่พีชคณิตสามารถนำไปสู่เรขาคณิตได้
สถานการณ์นี้จะเปลี่ยนไปเมื่อใช้สัญกรณ์ที่สะดวกสำหรับความสัมพันธ์ทางพีชคณิตและการพัฒนาแนวคิดของฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ซึ่งตอนนี้เป็นไปได้
ศตวรรษที่สิบหก
ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 16 นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสFrançoisVièteได้แนะนำสัญกรณ์เกี่ยวกับพีชคณิตเชิงระบบตัวแรกโดยใช้ตัวอักษรเพื่อแสดงปริมาณตัวเลขทั้งที่ทราบและไม่ทราบ
นอกจากนี้เขายังพัฒนาวิธีการทั่วไปที่มีประสิทธิภาพสำหรับการทำงานนิพจน์พีชคณิตและการแก้สมการพีชคณิต
ด้วยเหตุนี้นักคณิตศาสตร์จึงไม่ได้พึ่งพารูปทรงเรขาคณิตและสัญชาตญาณทางเรขาคณิตในการแก้ปัญหาอย่างสมบูรณ์
แม้แต่นักคณิตศาสตร์บางคนก็เริ่มละทิ้งวิธีคิดทางเรขาคณิตมาตรฐานตามที่ตัวแปรเชิงเส้นของความยาวและกำลังสองสอดคล้องกับพื้นที่ในขณะที่ตัวแปรลูกบาศก์สอดคล้องกับปริมาตร
คนแรกที่ทำตามขั้นตอนนี้คือนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์René Descartes และทนายความและนักคณิตศาสตร์ปิแอร์เดอแฟร์มาต์
พื้นฐานของเรขาคณิตวิเคราะห์
เดส์การ์ตส์และแฟร์มาต์ได้ก่อตั้งเรขาคณิตวิเคราะห์โดยอิสระในช่วงทศวรรษที่ 1630 โดยใช้พีชคณิตของVièteในการศึกษาโลคัส
นักคณิตศาสตร์เหล่านี้ตระหนักว่าพีชคณิตเป็นเครื่องมือที่ทรงพลังในรูปทรงเรขาคณิตและได้คิดค้นสิ่งที่เรียกว่าเรขาคณิตวิเคราะห์ในปัจจุบัน
ความก้าวหน้าอย่างหนึ่งที่พวกเขาทำคือการก้าวข้ามVièteโดยใช้ตัวอักษรเพื่อแสดงระยะทางที่แปรผันแทนที่จะคงที่
Descartes ใช้สมการเพื่อศึกษาเส้นโค้งที่กำหนดทางเรขาคณิตและเน้นถึงความจำเป็นในการพิจารณาเส้นโค้งพีชคณิต - กราฟิกทั่วไปของสมการพหุนามในรูปองศา "x" และ "y"
ในส่วนของเขาแฟร์มาต์เน้นว่าความสัมพันธ์ระหว่างพิกัด "x" และ "y" กำหนดเส้นโค้ง
ด้วยแนวคิดเหล่านี้เขาได้ปรับโครงสร้างคำแถลงของ Apollonius เกี่ยวกับเงื่อนไขทางพีชคณิตและฟื้นฟูงานที่หายไปบางส่วนของเขา
แฟร์มาต์ระบุว่าสมการกำลังสองใด ๆ ใน "x" และ "y" สามารถวางในรูปแบบมาตรฐานของหนึ่งในภาคตัดกรวย อย่างไรก็ตามเรื่องนี้แฟร์มาต์ไม่เคยเผยแพร่ผลงานของเขาในเรื่องนี้
ต้องขอบคุณความก้าวหน้าของพวกเขาสิ่งที่อาร์คิมีดีสสามารถแก้ไขได้ด้วยความยากลำบากอย่างยิ่งและสำหรับกรณีที่แยกกันแฟร์มาต์และเดส์การ์ตสามารถแก้ปัญหาได้อย่างรวดเร็วและสำหรับเส้นโค้งจำนวนมาก (ปัจจุบันเรียกว่าเส้นโค้งพีชคณิต)
แต่แนวคิดของเขาได้รับการยอมรับโดยทั่วไปจากความพยายามของนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 17
นักคณิตศาสตร์ Frans van Schooten, Florimond de Beaune และ Johan de Witt ช่วยขยายงานของ Decartes และเพิ่มเนื้อหาเพิ่มเติมที่สำคัญ
มีอิทธิพล
ในอังกฤษ John Wallis นิยมใช้เรขาคณิตวิเคราะห์ เขาใช้สมการเพื่อกำหนดรูปกรวยและหาคุณสมบัติ แม้ว่าเขาจะใช้พิกัดเชิงลบอย่างอิสระ แต่ไอแซกนิวตันเป็นผู้ที่ใช้แกนเอียงสองแกนเพื่อแบ่งระนาบออกเป็นสี่ส่วน
นิวตันและกอตต์ฟรีดไลบนิซชาวเยอรมันได้ปฏิวัติคณิตศาสตร์ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 17 โดยแสดงให้เห็นถึงพลังของแคลคูลัสอย่างอิสระ
นิวตันแสดงให้เห็นถึงความสำคัญของวิธีการวิเคราะห์ทางเรขาคณิตและบทบาทของพวกเขาในแคลคูลัสเมื่อเขายืนยันว่าลูกบาศก์ใด ๆ (หรือเส้นโค้งพีชคณิตระดับที่สามใด ๆ ) มีสมการมาตรฐานสามหรือสี่สมการสำหรับแกนพิกัดที่เหมาะสม ด้วยความช่วยเหลือของนิวตันเองจอห์นสเตอร์ลิงนักคณิตศาสตร์ชาวสก็อตได้พิสูจน์ให้เห็นในปีค. ศ. 1717
เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์สามมิติขึ้นไป
แม้ว่าทั้ง Descartes และ Fermat แนะนำให้ใช้พิกัดสามจุดเพื่อศึกษาเส้นโค้งและพื้นผิวในอวกาศรูปทรงเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์สามมิติได้รับการพัฒนาอย่างช้าๆจนถึงปี 1730
นักคณิตศาสตร์ Euler, Hermann และ Clairaut ได้สร้างสมการทั่วไปสำหรับกระบอกสูบกรวยและพื้นผิวของการปฏิวัติ
ตัวอย่างเช่นออยเลอร์ใช้สมการสำหรับการแปลในอวกาศเพื่อเปลี่ยนพื้นผิวกำลังสองทั่วไปเพื่อให้แกนหลักตรงกับแกนพิกัด
ออยเลอร์โจเซฟ - หลุยส์ลากรองจ์และกัสปาร์ดมอนจ์ทำให้เรขาคณิตวิเคราะห์เป็นอิสระจากเรขาคณิตสังเคราะห์ (ไม่ใช่การวิเคราะห์)
อ้างอิง
- การพัฒนาเรขาคณิตวิเคราะห์ (2544). สืบค้นจาก encyclopedia.com
- ประวัติเรขาคณิตวิเคราะห์ (2558). สืบค้นจาก maa.org
- การวิเคราะห์ (คณิตศาสตร์). กู้คืนจาก britannica.com
- เรขาคณิตวิเคราะห์. กู้คืนจาก britannica.com
- เดส์การ์ตและกำเนิดเรขาคณิตวิเคราะห์ กู้คืนจาก sciencedirect.com