ความน่าจะเป็นตามทฤษฎี: ทำอย่างไรจึงจะได้ตัวอย่างแบบฝึกหัด - ดูดาส - 2026

ทฤษฎี (หรือ Laplace) ความน่าจะเป็นว่าเหตุการณ์ E เกิดขึ้นที่เป็นพื้นที่ตัวอย่าง S ซึ่งในเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นทุกคนมีความน่าจะเป็นของการเกิดเดียวกัน, กำหนดไว้ในสัญกรณ์คณิตศาสตร์เป็น: P (E) = n (E) / N (S)

โดยที่ P (E) คือความน่าจะเป็นที่กำหนดให้เป็นผลหารระหว่างจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของเหตุการณ์ E ซึ่งเราเรียกว่า n (E) หารด้วยจำนวนทั้งหมด N (S) ของผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ในพื้นที่ตัวอย่าง S

รูปที่ 1. ในการทอยของแม่พิมพ์หกด้านความน่าจะเป็นตามทฤษฎีที่หัวสามจุดอยู่ด้านบนคือ⅙ ที่มา: Pixabay

ความน่าจะเป็นตามทฤษฎีคือจำนวนจริงระหว่าง 0 ถึง 1 แต่มักแสดงเป็นเปอร์เซ็นต์ซึ่งในกรณีนี้ความน่าจะเป็นจะเป็นค่าระหว่าง 0% ถึง 100%

การคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นมีความสำคัญมากในหลาย ๆ ด้านเช่นการค้าขาย บริษัท ประกันการพนันและอื่น ๆ อีกมากมาย

วิธีการรับความน่าจะเป็นทางทฤษฎี?

กรณีตัวอย่างคือกรณีของการจับฉลากหรือลอตเตอรี่ สมมติว่ามีการออกตั๋ว 1,000 ใบเพื่อจับฉลากสมาร์ทโฟน เมื่อการจับฉลากเสร็จสิ้นแบบสุ่มตั๋วใด ๆ มีโอกาสเป็นผู้ชนะเท่ากัน

ในการค้นหาความน่าจะเป็นที่ผู้ที่ซื้อตั๋วที่มีหมายเลข 81 จะเป็นผู้ชนะจะมีการคำนวณความน่าจะเป็นตามทฤษฎีต่อไปนี้:

P (1) = 1 / 1,000 = 0.001 = 0.1%

ผลลัพธ์ข้างต้นถูกตีความดังนี้: หากการจับซ้ำหลาย ๆ ครั้งไม่สิ้นสุดทุกๆ 1,000 ครั้งตั๋ว 81 จะถูกเลือกโดยเฉลี่ยหนึ่งครั้ง

หากมีเหตุผลบางอย่างที่มีคนได้รับตั๋วทั้งหมดเป็นที่แน่นอนว่าพวกเขาจะชนะรางวัล ความน่าจะเป็นในการชนะรางวัลหากคุณมีตั๋วทั้งหมดคำนวณได้ดังนี้:

P (1,000) = 1,000 / 1,000 = 1 = 100%

นั่นคือความน่าจะเป็น 1 หรือ 100% หมายความว่าแน่นอนว่าผลลัพธ์นี้จะเกิดขึ้น

หากมีใครครอบครองตั๋ว 500 ใบโอกาสในการชนะหรือแพ้จะเท่ากัน ความน่าจะเป็นตามทฤษฎีที่จะได้รับรางวัลในกรณีนี้คำนวณได้ดังนี้:

P (500) = 500 / 1,000 = ½ = 0.5 = 50%

ผู้ที่ไม่ได้ซื้อตั๋วใด ๆ จะไม่มีโอกาสชนะและความน่าจะเป็นตามทฤษฎีของเขาถูกกำหนดดังนี้:

P (0) = 0 / 1,000 = 0 = 0%

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

คุณมีเหรียญที่มีใบหน้าด้านหนึ่งและมีโล่หรือตราประทับที่อีกด้านหนึ่ง เมื่อโยนเหรียญความน่าจะเป็นทางทฤษฎีที่จะเกิดขึ้นในหัวคืออะไร?

P (ใบหน้า) = n (ใบหน้า) / N (ใบหน้า + โล่) = ½ = 0.5 = 50%

ผลลัพธ์จะถูกตีความดังนี้: หากมีการโยนจำนวนมากโดยเฉลี่ยในทุกๆ 2 การทอยหนึ่งในนั้นจะเกิดขึ้นในหัว

ในแง่เปอร์เซ็นต์การตีความผลลัพธ์ก็คือการโยนจำนวนมากอย่างไม่สิ้นสุดโดยเฉลี่ยจาก 100 ใน 50 จะส่งผลให้เกิดหัว

ตัวอย่าง 2

ในกล่องมีหินอ่อนสีน้ำเงิน 3 ลูกหินอ่อนสีแดง 2 ลูกและสีเขียว 1 ลูก ความน่าจะเป็นทางทฤษฎีที่ว่าเมื่อคุณนำหินอ่อนออกจากกล่องจะเป็นสีแดง?

รูปที่ 2. ความน่าจะเป็นของการสกัดหินอ่อนสี ที่มา: F. Zapata

ความน่าจะเป็นที่จะออกมาเป็นสีแดงคือ:

P (สีแดง) = จำนวนเคสที่ถูกใจ / จำนวนเคสที่เป็นไปได้

กล่าวคือ:

P (สีแดง) = จำนวนหินอ่อนสีแดง / จำนวนหินอ่อนทั้งหมด

สุดท้ายความน่าจะเป็นที่หินอ่อนสีแดงถูกวาดขึ้นคือ:

P (สีแดง) = 2/6 = ⅓ = 0.3333 = 33.33%

ในขณะที่ความเป็นไปได้ที่เมื่อวาดหินอ่อนสีเขียวคือ:

P (สีเขียว) = ⅙ = 0.1666 = 16.66%

สุดท้ายความน่าจะเป็นตามทฤษฎีของการได้รับหินอ่อนสีน้ำเงินจากการสกัดแบบตาบอดคือ:

P (สีน้ำเงิน) = 3/6 = ½ = 0.5 = 50%

นั่นคือทุกๆ 2 ความพยายามผลลัพธ์จะเป็นสีน้ำเงินในหนึ่งในนั้นและอีกสีหนึ่งในความพยายามอื่นภายใต้สมมติฐานที่ว่าหินอ่อนที่สกัดได้ถูกแทนที่และจำนวนการทดลองนั้นมากและมาก

การออกกำลังกาย

แบบฝึกหัด 1

กำหนดความน่าจะเป็นที่การหมุนแม่พิมพ์จะได้ค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับ 4

สารละลาย

ในการคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้จะใช้คำจำกัดความของความน่าจะเป็นตามทฤษฎี:

P (≤4) = จำนวนเคสที่ถูกใจ / จำนวนเคสที่เป็นไปได้

P (≤5) = 5/6 = = 83.33%

แบบฝึกหัด 2

ค้นหาความน่าจะเป็นที่ในการทอยสองครั้งติดต่อกันของการตายหกด้านปกติ 5 จะหมุน 2 ครั้ง

สารละลาย

เพื่อตอบแบบฝึกหัดนี้ให้สร้างตารางเพื่อแสดงความเป็นไปได้ทั้งหมด ตัวเลขตัวแรกบ่งบอกถึงผลลัพธ์ของการตายตัวแรกและตัวที่สองคือผลลัพธ์ของอีกตัว

ในการคำนวณความน่าจะเป็นทางทฤษฎีเราจำเป็นต้องทราบจำนวนกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดในกรณีนี้ดังที่เห็นได้จากตารางก่อนหน้านี้มีความเป็นไปได้ 36 ข้อ

นอกจากนี้จากการสังเกตตารางสามารถอนุมานได้ว่าจำนวนกรณีที่เหมาะสำหรับเหตุการณ์ที่ในการเปิดตัวสองครั้งติดต่อกันออกมา 5 เป็นเพียง 1 เท่านั้นที่เน้นด้วยสีดังนั้นความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์นี้จะเกิดขึ้นคือ:

P (5 x 5) = 1/36

ผลลัพธ์นี้อาจมาจากการใช้หนึ่งในคุณสมบัติของความน่าจะเป็นเชิงทฤษฎีซึ่งระบุว่าความน่าจะเป็นรวมของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์เป็นผลคูณของความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์

ในกรณีนี้ความน่าจะเป็นที่การโยนครั้งแรกจะหมุน 5 คือ⅙ การโยนครั้งที่สองไม่ขึ้นกับครั้งแรกโดยสิ้นเชิงดังนั้นความน่าจะเป็นที่ 5 จะถูกหมุนในครั้งที่สองจึงเป็น⅙ด้วย ดังนั้นความน่าจะเป็นรวมคือ:

P (5 × 5) = P (5) P (5) = (1/6) (1/6) = 1/36

แบบฝึกหัด 3

ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะมีการหมุนหมายเลขน้อยกว่า 2 ในการโยนครั้งแรกและจำนวนที่มากกว่า 2 จะถูกหมุนในครั้งที่สอง

สารละลาย

อีกครั้งต้องสร้างตารางเหตุการณ์ที่เป็นไปได้โดยที่การโยนครั้งแรกน้อยกว่า 2 และในครั้งที่สองมากกว่า 2 จะถูกขีดเส้นใต้

มีความเป็นไปได้ทั้งหมด 4 รายการจากทั้งหมด 36 รายการนั่นคือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์นี้คือ:

พี (<2;> 2) = 4/36 = 1/9 = 0.1111 = 11.11%

ใช้ทฤษฎีบทความน่าจะเป็นที่ระบุว่า:

ได้ผลลัพธ์เดียวกัน:

P (<2) P (> 2) = (1/6) (4/6) = 4/36 = 0.1111 = 11.11%

ค่าที่ได้จากขั้นตอนนี้เกิดขึ้นพร้อมกับผลลัพธ์ก่อนหน้าโดยใช้นิยามทางทฤษฎีหรือคลาสสิกของความน่าจะเป็น

แบบฝึกหัด 4

ความน่าจะเป็นที่เมื่อทอยลูกเต๋าสองลูกผลรวมของค่าเท่ากับ 7

สารละลาย

ในการหาวิธีแก้ปัญหาในกรณีนี้ตารางความเป็นไปได้ถูกร่างขึ้นซึ่งกรณีที่ตรงตามเงื่อนไขที่ผลรวมของค่าเป็น 7 ถูกระบุเป็นสี

เมื่อพิจารณาจากตารางจะสามารถนับกรณีที่เป็นไปได้ 6 กรณีดังนั้นความน่าจะเป็นคือ:

P (I + II: 7) = 6/36 = 1/6 = 0.1666 = 16.66%

อ้างอิง

1. Canavos, G. 1988. ความน่าจะเป็นและสถิติ: การประยุกต์ใช้และวิธีการ. McGraw Hill
2. Devore, J. 2012. ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์. 8. ฉบับ กรง
3. Lipschutz, S. 1991. ซีรี่ส์ Schaum: ความน่าจะเป็น. McGraw Hill
4. Obregón, I. 1989. ทฤษฎีความน่าจะเป็น. กองบรรณาธิการ Limusa
5. Walpole, R. 2007. ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์. เพียร์สัน