ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข: สูตรและสมการคุณสมบัติตัวอย่าง - ดูดาส

น่าจะเป็นเงื่อนไขความเป็นไปได้ของการเกิดเหตุการณ์บางอย่างที่ระบุว่าเกิดขึ้นอีกเป็นเงื่อนไข ข้อมูลเพิ่มเติมนี้อาจ (หรือไม่) แก้ไขการรับรู้ว่าจะมีบางสิ่งเกิดขึ้น

ตัวอย่างเช่นเราสามารถถามตัวเองว่า: วันนี้มีความเป็นไปได้เท่าไรที่ฝนจะตกโดยที่ฝนไม่ตกมาสองวันแล้ว? เหตุการณ์ที่เราต้องการทราบความน่าจะเป็นคือวันนี้ฝนตกและข้อมูลเพิ่มเติมที่เป็นเงื่อนไขของคำตอบก็คือ "ฝนไม่ตกมาสองวันแล้ว"

รูปที่ 1 ความน่าจะเป็นที่ฝนจะตกในวันนี้เนื่องจากฝนตกเมื่อวานก็เป็นตัวอย่างของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขเช่นกัน ที่มา: Pixabay

ให้พื้นที่ความน่าจะเป็นประกอบด้วยΩ (พื้นที่ตัวอย่าง), ℬ (เหตุการณ์สุ่ม) และ P (ความน่าจะเป็นของแต่ละเหตุการณ์) บวกเหตุการณ์ A และ B ที่เป็นของℬ

ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขที่ A เกิดขึ้นเนื่องจาก B เกิดขึ้นซึ่งแสดงเป็น P (A│B) ถูกกำหนดดังนี้:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A และ B) / P (B)

โดยที่: P (A) คือความน่าจะเป็นของการเกิด A, P (B) คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ B และแตกต่างจาก 0 และ P (A∩B) คือความน่าจะเป็นของจุดตัดระหว่าง A และ B นั่นคือ , ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ทั้งสองเกิดขึ้น (ความน่าจะเป็นร่วม)

นี่คือนิพจน์สำหรับทฤษฎีบทของ Bayes ที่ใช้กับเหตุการณ์สองเหตุการณ์ซึ่งเสนอในปี 1763 โดย Thomas Bayes นักเทววิทยาและนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ

คุณสมบัติ

- ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขทั้งหมดอยู่ระหว่าง 0 ถึง 1:

0 ≤ P (A│B) ≤ 1

- ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A เกิดขึ้นเนื่องจากเหตุการณ์ดังกล่าวเกิดขึ้นชัดเจนคือ 1:

P (A│A) = P (A∩A) / P (A) = P (A) / P (A) = 1

- หากสองเหตุการณ์เป็นเอกสิทธิ์นั่นคือเหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นพร้อมกันได้ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขที่เหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นคือ 0 เนื่องจากจุดตัดเป็นศูนย์:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = 0 / P (B) = 0

- ถ้า B เป็นเซตย่อยของ A ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขก็จะเป็น 1 เช่นกัน:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = 1

สำคัญ

โดยทั่วไปแล้ว P (A│B) จะไม่เท่ากับ P (B│A) ดังนั้นเราจึงต้องระมัดระวังไม่ให้เหตุการณ์ต่างๆเปลี่ยนไปเมื่อพบความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข

กฎทั่วไปของการคูณ

หลายครั้งคุณต้องการหาความน่าจะเป็นร่วม P (A∩B) แทนที่จะเป็นความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข จากนั้นผ่านทฤษฎีบทต่อไปนี้เรามี:

P (A∩B) = P (A และ B) = P (A│B) P (B)

ทฤษฎีบทสามารถขยายได้สำหรับสามเหตุการณ์ A, B และ C:

P (A∩B∩C) = P (A และ B และ C) = P (A) P (B│A) P (C│A∩B)

และสำหรับเหตุการณ์ต่างๆเช่น A ₁ , A ₂ , A ₃และอื่น ๆ สามารถแสดงได้ดังนี้:

P (A ₁ ∩ A ₂ ∩ A ₃ …∩ A _n ) = P (A ₁ ) P (A ₂ │A ₁ ) P (A ₃ │A ₁ ∩ A ₂ ) … P (A _n ││A ₁ ∩ A ₂ ∩… A _n-1 )

เมื่อเป็นกรณีของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นตามลำดับและผ่านขั้นตอนต่างๆจะสะดวกในการจัดระเบียบข้อมูลในแผนภาพหรือตาราง สิ่งนี้ช่วยให้เห็นภาพตัวเลือกในการเข้าถึงความน่าจะเป็นที่ร้องขอได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่างเช่นแผนภาพต้นไม้และตารางฉุกเฉิน จากหนึ่งในนั้นคุณสามารถสร้างอีกอันได้

ตัวอย่างของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

มาดูสถานการณ์บางอย่างที่ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งถูกเปลี่ยนแปลงโดยการเกิดขึ้นของเหตุการณ์อื่น:

- ตัวอย่าง 1

เค้กสองประเภทขายในร้านขายขนมหวาน: สตรอเบอร์รี่และช็อคโกแลต โดยการลงทะเบียนการตั้งค่าของลูกค้า 50 คนของทั้งสองเพศได้กำหนดค่าต่อไปนี้:

ผู้หญิง -27 คนโดย 11 คนชอบเค้กสตรอเบอร์รี่และช็อกโกแลต 16 ชิ้น

-23 คน: เลือกช็อกโกแลต 15 ชิ้นและสตรอเบอร์รี่ 8 ลูก

ความเป็นไปได้ที่ลูกค้าจะเลือกเค้กช็อคโกแลตสามารถพิจารณาได้โดยใช้กฎของลาปลาซตามความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ คือ:

P = จำนวนเหตุการณ์ที่น่าพอใจ / จำนวนเหตุการณ์ทั้งหมด

ในกรณีนี้ลูกค้าจาก 50 คนจากทั้งหมด 31 คนชอบช็อกโกแลตดังนั้นความน่าจะเป็นคือ P = 31/50 = 0.62 นั่นคือลูกค้า 62% ชอบเค้กช็อกโกแลต

แต่จะแตกต่างกันไหมถ้าลูกค้าเป็นผู้หญิง นี่คือกรณีของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข

ตารางฉุกเฉิน

การใช้ตารางฉุกเฉินเช่นนี้ผลรวมจะแสดงอย่างง่ายดาย:

จากนั้นจะมีการสังเกตกรณีที่น่าพอใจและใช้กฎของ Laplace แต่ก่อนอื่นเรากำหนดเหตุการณ์:

-B คือเหตุการณ์ "ลูกค้าหญิง"

- เป็นงาน "ชอบเค้กช็อกโกแลต" ในฐานะผู้หญิง

เราไปที่คอลัมน์ที่มีข้อความว่า "ผู้หญิง" แล้วเราจะเห็นว่าผลรวมเป็น 27

จากนั้นหาเคสที่ถูกใจในแถว "ช็อคโกแลต" มี 16 เหตุการณ์เหล่านี้ดังนั้นความน่าจะเป็นที่ต้องการโดยตรงคือ:

P (A│B) = 16/27 = 0.5924

ลูกค้าผู้หญิง 59.24% ชอบเค้กช็อกโกแลต

ค่านี้จะจับคู่เมื่อเราเปรียบเทียบกับคำจำกัดความของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขในตอนแรก:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B)

ตรวจสอบให้แน่ใจว่าใช้กฎของ Laplace และค่าตาราง:

P (B) = 27/50

P (A และ B) = 16/50

โดยที่ P (A และ B) คือความน่าจะเป็นที่ลูกค้าชอบช็อกโกแลตและเป็นผู้หญิง ตอนนี้ค่าถูกแทนที่:

P (A│B) = P (A และ B) / P (B) = (16/50) / (27/50) = 16/27 = 0.5924

และพิสูจน์แล้วว่าผลเหมือนกัน

- ตัวอย่าง 2

ในตัวอย่างนี้ใช้กฎการคูณ สมมติว่ามีกางเกงสามขนาดวางแสดงอยู่ในร้านค้า: เล็กกลางและใหญ่

ในล็อตที่มีกางเกงทั้งหมด 24 ตัวซึ่งมีทั้งหมด 8 ขนาดและมีการผสมกันทั้งหมดความน่าจะเป็นของการแยกกางเกง 2 ตัวและทั้งคู่มีขนาดเล็กเพียงใด

เป็นที่ชัดเจนว่าความน่าจะเป็นของการถอดกางเกงตัวเล็กในครั้งแรกคือ 8/24 = 1/3 ตอนนี้การสกัดครั้งที่สองเป็นไปตามเงื่อนไขสำหรับเหตุการณ์แรกเนื่องจากเมื่อถอดกางเกงออกจะไม่มี 24 อีกต่อไป แต่ 23 และถ้ากางเกงตัวเล็กถูกถอดออกจะมี 7 แทนที่จะเป็น 8

เหตุการณ์ A กำลังดึงกางเกงตัวเล็กตัวหนึ่งโดยดึงอีกตัวในการลองครั้งแรก และเหตุการณ์ B เป็นครั้งแรกที่มีกางเกงตัวเล็ก ดังนั้น:

P (B) = 1/3; P (A│B) = 24/7

สุดท้ายใช้กฎการคูณ:

P (A∩B) = (7/24). (1/3) = 7/72 = 0.097

การออกกำลังกายได้รับการแก้ไข

ในการศึกษาความตรงต่อเวลาของเที่ยวบินเชิงพาณิชย์มีข้อมูลดังต่อไปนี้:

-P (B) = 0.83 คือความน่าจะเป็นที่เครื่องบินจะออกตรงเวลา

-P (A) = 0.81 คือความน่าจะเป็นของการลงจอดตรงเวลา

-P (B∩A) = 0.78 คือความน่าจะเป็นที่เที่ยวบินมาถึงตรงเวลาบินตรงเวลา

ระบบจะขอให้คำนวณ:

ก) อะไรคือความน่าจะเป็นที่เครื่องบินจะลงจอดตรงเวลาเนื่องจากเครื่องบินออกตรงเวลา?

b) ความน่าจะเป็นข้างต้นจะเหมือนกับความน่าจะเป็นที่คุณทิ้งไว้ตรงเวลาหรือไม่หากคุณสามารถลงจอดได้ตรงเวลา

c) และสุดท้าย: อะไรคือความน่าจะเป็นที่จะมาถึงตรงเวลาเนื่องจากไม่ได้ออกตรงเวลา?

รูปที่ 2 การตรงต่อเวลาของเที่ยวบินพาณิชย์เป็นสิ่งสำคัญเนื่องจากความล่าช้าสร้างความสูญเสียหลายล้านดอลลาร์ ที่มา: Pixabay

วิธีแก้ปัญหา

ในการตอบคำถามจะใช้นิยามของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข:

P (A│B) = P (A∩B) / P (B) = P (A และ B) / P (B) = 0.78 /0.83 = 0.9398

แนวทางแก้ไข b

ในกรณีนี้จะมีการแลกเปลี่ยนเหตุการณ์ในคำจำกัดความ:

P (B│A) = P (A∩B) / P (A) = P (A และ B) / P (A) = 0.78 /0.81 = 0.9630

โปรดทราบว่าความน่าจะเป็นนี้แตกต่างจากครั้งก่อนเล็กน้อยดังที่เราได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้

แนวทางแก้ไข c

ความน่าจะเป็นที่จะไม่ออกตรงเวลาคือ 1 - P (B) = 1 - 0.83 = 0.17 เราจะเรียกมันว่า P (B ^C ) เนื่องจากเป็นเหตุการณ์เสริมที่จะเกิดขึ้นตรงเวลา ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขที่ต้องการคือ:

P (A│B ^C ) = P (A∩B ^C ) / P (B ^C ) = P (A และ B ^C ) / P (B ^C )

ในทางกลับกัน:

P (A∩B ^C ) = P (ลงจอดตรงเวลา) - P (ลงจอดตรงเวลาและขึ้นเครื่องตรงเวลา) = 0.81-0.78 = 0.03

ในกรณีนี้ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขคือ:

P (A│B ^C ) = 0.03 / 0.17 = 0.1765

อ้างอิง

Canavos, G. 1988. ความน่าจะเป็นและสถิติ: การประยุกต์ใช้และวิธีการ. McGraw Hill
Devore, J. 2012. ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์. 8. ฉบับ กรง
Lipschutz, S. 1991. ซีรี่ส์ Schaum: ความน่าจะเป็น. McGraw Hill
Obregón, I. 1989. ทฤษฎีความน่าจะเป็น. กองบรรณาธิการ Limusa
Walpole, R. 2007. ความน่าจะเป็นและสถิติสำหรับวิศวกรรมและวิทยาศาสตร์. เพียร์สัน
วิกิพีเดีย ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข สืบค้นจาก: es.wikipedia.org.

ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไข: สูตรและสมการคุณสมบัติตัวอย่าง - ดูดาส - 2026