การแก้ไขเชิงเส้นเป็นวิธีการที่มาจากการแก้ไขและการประมาณค่าของนิวตันทั่วไปเพื่อหาค่าที่ไม่รู้จักซึ่งอยู่ระหว่างตัวเลขสองตัวที่กำหนด นั่นคือพบค่ากลาง มันยังใช้ฟังก์ชั่นโดยประมาณของค่าเอฟ(ก)และ F (ข)เป็นที่รู้จักกันและเราต้องการที่จะรู้ว่ากลางของ F (x)
การแก้ไขมีหลายประเภทเช่นเส้นตรงกำลังสองลูกบาศก์และองศาที่สูงกว่าวิธีที่ง่ายที่สุดคือการประมาณเชิงเส้น ราคาที่ต้องจ่ายด้วยการแก้ไขเชิงเส้นคือผลลัพธ์จะไม่แม่นยำเท่ากับการประมาณโดยใช้ฟังก์ชันที่มีดีกรีสูงกว่า
คำนิยาม
การแก้ไขเชิงเส้นเป็นกระบวนการที่ช่วยให้คุณสามารถอนุมานค่าระหว่างค่าที่กำหนดไว้อย่างดีสองค่าซึ่งอาจอยู่ในตารางหรือในกราฟเส้น
ตัวอย่างเช่นถ้าคุณรู้ว่านม 3 ลิตรมีมูลค่า 4 เหรียญสหรัฐและ 5 ลิตรนั้นมีมูลค่า 7 เหรียญสหรัฐ แต่คุณอยากรู้ว่านม 4 ลิตรมีค่าเท่าใดให้คุณแก้ไขเพื่อกำหนดค่ากลางนั้น
วิธี
ในการประมาณค่ากลางของฟังก์ชันฟังก์ชัน f (x)จะประมาณโดยใช้เส้น r (x)ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะแปรผันตามเส้นตรงกับ« x »สำหรับส่วน« x = a »และ« x = ข "; นั่นคือสำหรับค่า "x" ในช่วงเวลา (x 0 , x 1 ) และ (y 0 , y 1 ) ค่าของ "y" จะถูกกำหนดโดยเส้นระหว่างจุดและแสดงด้วยความสัมพันธ์ต่อไปนี้:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
เพื่อให้การแก้ไขเป็นเชิงเส้นพหุนามการสอดแทรกต้องอยู่ในระดับหนึ่ง (n = 1) เพื่อให้พอดีกับค่า x 0 และ x 1
การแก้ไขเชิงเส้นจะขึ้นอยู่กับความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมในลักษณะที่ได้รับทางเรขาคณิตจากนิพจน์ก่อนหน้านี้สามารถหาค่า "y" ซึ่งแสดงถึงค่าที่ไม่รู้จักสำหรับ "x"
ด้วยวิธีนี้คุณต้อง:
a = tan Ɵ = (ขาตรงข้าม1 ÷ขาที่อยู่ติดกัน1 ) = (ขาตรงข้าม2 ÷ขาที่อยู่ติดกัน2 )
แสดงออกในอีกแง่หนึ่งคือ:
(y - y 0 ) ÷ (x - x 0 ) = (y 1 - y 0 ) ÷ (x 1 - x 0 )
การแก้«และ»จากนิพจน์เรามี:
(y - y 0 ) * (x 1 - x 0 ) = (x - x 0 ) * (y 1 - y 0 )
(y - y 0 ) = (y 1 - y 0 ) *
ดังนั้นจึงได้สมการทั่วไปสำหรับการแก้ไขเชิงเส้น:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
โดยทั่วไปการแก้ไขเชิงเส้นจะให้ข้อผิดพลาดเล็กน้อยกับค่าจริงของฟังก์ชันจริงแม้ว่าข้อผิดพลาดจะน้อยมากเมื่อเทียบกับการที่คุณเลือกตัวเลขที่ใกล้เคียงกับค่าที่คุณต้องการค้นหาโดยสังหรณ์ใจ
ข้อผิดพลาดนี้เกิดขึ้นเมื่อพยายามประมาณค่าของเส้นโค้งด้วยเส้นตรง ในกรณีเหล่านี้ต้องลดขนาดของช่วงเวลาเพื่อให้การประมาณแม่นยำยิ่งขึ้น
เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ที่ดีขึ้นเกี่ยวกับการประมาณขอแนะนำให้ใช้ฟังก์ชันระดับ 2, 3 หรือสูงกว่าเพื่อทำการแก้ไข สำหรับกรณีเหล่านี้ทฤษฎีบทเทย์เลอร์เป็นเครื่องมือที่มีประโยชน์มาก
แบบฝึกหัดที่แก้ไข
แบบฝึกหัด 1
จำนวนแบคทีเรียต่อหน่วยปริมาตรที่มีอยู่ในการฟักตัวหลังจาก x ชั่วโมงแสดงไว้ในตารางต่อไปนี้ คุณต้องการทราบปริมาณของแบคทีเรียเป็นเวลา 3.5 ชั่วโมง
สารละลาย
ตารางอ้างอิงไม่ได้กำหนดค่าที่ระบุปริมาณแบคทีเรียเป็นเวลา 3.5 ชั่วโมง แต่มีค่าบนและล่างที่สอดคล้องกับเวลา 3 และ 4 ชั่วโมงตามลำดับ ทางนั้น:
x 0 = 3 และ0 = 91
x = 3.5 y =?
x 1 = 4 และ1 = 135
ตอนนี้สมการทางคณิตศาสตร์ถูกนำไปใช้เพื่อค้นหาค่าที่ถูกแทรกซึ่งมีดังต่อไปนี้:
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) * .
จากนั้นค่าที่เกี่ยวข้องจะถูกแทนที่:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0.5
y = 113.
ดังนั้นจึงได้ว่าในเวลา 3.5 ชั่วโมงจำนวนแบคทีเรียคือ 113 ซึ่งแสดงถึงระดับกลางระหว่างปริมาตรของแบคทีเรียที่มีอยู่ในช่วงเวลา 3 และ 4 ชั่วโมง
แบบฝึกหัด 2
Luis มีโรงงานผลิตไอศกรีมและเขาต้องการทำการศึกษาเพื่อกำหนดรายได้ที่เขามีในเดือนสิงหาคมโดยพิจารณาจากค่าใช้จ่ายที่เกิดขึ้น ผู้ดูแลระบบของ บริษัท สร้างกราฟที่แสดงความสัมพันธ์นี้ แต่ Luis ต้องการทราบ:
รายได้สำหรับเดือนสิงหาคมเป็นเท่าใดหากมีค่าใช้จ่าย $ 55,000 เกิดขึ้น?
สารละลาย
กราฟแสดงมูลค่ารายได้และค่าใช้จ่าย หลุยส์ต้องการทราบว่ารายได้สำหรับเดือนสิงหาคมเป็นอย่างไรหากโรงงานมีค่าใช้จ่าย 55,000 ดอลลาร์ ค่านี้ไม่ได้สะท้อนโดยตรงในกราฟ แต่ค่าจะสูงกว่าและต่ำกว่านี้
ขั้นแรกให้สร้างตารางเพื่อให้สามารถเชื่อมโยงค่าได้ง่าย:
ตอนนี้สูตรการแก้ไขถูกใช้เพื่อกำหนดค่าของ y
y = y 0 + (y 1 - y 0 ) *
จากนั้นค่าที่เกี่ยวข้องจะถูกแทนที่:
ปี = 56,000 + (78,000 - 56,000) *
y = 56,000 + (22,000) *
y = 56,000 + (22,000) * (0.588)
y = 56,000 + 12,936
y = 68,936 เหรียญ
หากมีค่าใช้จ่าย 55,000 ดอลลาร์ในเดือนสิงหาคมรายรับเท่ากับ 68,936 ดอลลาร์
อ้างอิง
- อาเธอร์กู๊ดแมน LH (2539) พีชคณิตและตรีโกณมิติกับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
- ฮาร์ป, P. d. (2000) หัวข้อในทฤษฎีกลุ่มเรขาคณิต สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก
- เฮซวิงเคิล, M. (2001). การแก้ไขเชิงเส้น ", สารานุกรมคณิตศาสตร์.
- , JM (1998). องค์ประกอบของวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับวิศวกรรม UASLP
- , จ. (2545). ลำดับเหตุการณ์ของการแก้ไข: ตั้งแต่ดาราศาสตร์โบราณไปจนถึงการประมวลผลสัญญาณและภาพสมัยใหม่ การดำเนินการของ IEEE
- ตัวเลข I. ก. (2006) Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González