องศาอิสระ: วิธีคำนวณประเภทตัวอย่าง - ดูดาส - 2025

องศาอิสระในสถิติมีจำนวนขององค์ประกอบที่เป็นอิสระของเวกเตอร์สุ่ม ถ้าเวกเตอร์มีองค์ประกอบ n และมีสมการเชิงเส้นที่เกี่ยวข้องกับส่วนประกอบของมันระดับความอิสระจะเป็น np

แนวคิดเรื่ององศาอิสระยังปรากฏในกลศาสตร์เชิงทฤษฎีซึ่งเทียบเท่ากับมิติของอวกาศที่อนุภาคเคลื่อนที่โดยลบด้วยจำนวนพันธะ

รูปที่ 1. ลูกตุ้มเคลื่อนที่ในสองมิติ แต่มีอิสระเพียงหนึ่งองศาเนื่องจากถูกบังคับให้เคลื่อนที่ในส่วนโค้งของรัศมี L ที่มา: F. Zapata

บทความนี้จะกล่าวถึงแนวคิดเรื่ององศาอิสระที่ใช้กับสถิติ แต่ตัวอย่างเชิงกลนั้นง่ายกว่าในการมองเห็นในรูปแบบเรขาคณิต

ประเภทขององศาอิสระ

ขึ้นอยู่กับบริบทที่ใช้วิธีคำนวณจำนวนองศาอิสระอาจแตกต่างกันไป แต่แนวคิดพื้นฐานจะเหมือนกันเสมอ: มิติข้อมูลทั้งหมดน้อยกว่าข้อ จำกัด

ในกรณีเชิงกล

ให้เราพิจารณาอนุภาคที่กำลังสั่นซึ่งผูกติดกับสตริง (ลูกตุ้ม) ที่เคลื่อนที่ในระนาบ xy แนวตั้ง (2 มิติ) อย่างไรก็ตามอนุภาคถูกบังคับให้เคลื่อนที่ไปตามเส้นรอบวงรัศมีเท่ากับความยาวของคอร์ด

เนื่องจากอนุภาคเคลื่อนที่ได้เฉพาะในส่วนโค้งนั้นจำนวนองศาอิสระจึงเป็น 1 ซึ่งสามารถเห็นได้ในรูปที่ 1

วิธีคำนวณจำนวนองศาอิสระคือการเอาผลต่างของจำนวนมิติลบด้วยจำนวนข้อ จำกัด :

องศาอิสระ: = 2 (ขนาด) - 1 (มัด) = 1

คำอธิบายอื่นที่ช่วยให้เราได้ผลลัพธ์มีดังต่อไปนี้:

- เรารู้ว่าตำแหน่งในสองมิติแสดงด้วยจุดพิกัด (x, y)

- แต่เนื่องจากจุดต้องเป็นไปตามสมการของเส้นรอบวง (x ² + y ² = L ² ) สำหรับค่าที่กำหนดของตัวแปร x ตัวแปร y จะถูกกำหนดโดยสมการหรือข้อ จำกัด ดังกล่าว

ด้วยวิธีนี้ตัวแปรเพียงตัวเดียวเท่านั้นที่เป็นอิสระและระบบมีอิสระหนึ่ง (1) ระดับ

ในชุดของค่าสุ่ม

เพื่อแสดงให้เห็นถึงความหมายของแนวคิดสมมติว่าเวกเตอร์

x = (x ₁ , x ₂ , … , x _n )

เป็นตัวแทนของตัวอย่างของ n ค่าสุ่มที่กระจายตามปกติ ในกรณีนี้เวกเตอร์สุ่มxมีองค์ประกอบอิสระ n ดังนั้นจึงกล่าวว่าxมีองศาอิสระ n

ตอนนี้ให้เราสร้างเวกเตอร์rของเศษเหลือ

r = (x ₁ -, x ₂ -, …., X _n -)

ที่ไหน แสดงถึงค่าเฉลี่ยตัวอย่างซึ่งคำนวณได้ดังนี้:

= (x ₁ + x ₂ + …. + x _n ) / น

ดังนั้นผลรวม

(x ₁ -) + (x ₂ -) + …. + (X _n -) = (x ₁ + x ₂ + …. + x _n ) - น= 0

เป็นสมการที่แสดงถึงข้อ จำกัด (หรือการผูก) ในองค์ประกอบของเวกเตอร์rของเศษเหลือเนื่องจากถ้าทราบส่วนประกอบ n-1 ของเวกเตอร์rสมการข้อ จำกัด จะกำหนดองค์ประกอบที่ไม่รู้จัก

ดังนั้นเวกเตอร์rของมิติ n ที่มีข้อ จำกัด :

∑ (x _i -) = 0

มีองศาอิสระ (n - 1)

อีกครั้งมีการใช้การคำนวณจำนวนองศาอิสระคือ:

องศาอิสระ: = n (ขนาด) - 1 (ข้อ จำกัด ) = n-1

ตัวอย่าง

ความแปรปรวนและระดับความอิสระ

ความแปรปรวน s ²ถูกกำหนดให้เป็นค่าเฉลี่ยของกำลังสองของส่วนเบี่ยงเบน (หรือส่วนที่เหลือ) ของตัวอย่างของข้อมูล n:

s ² = ( r • r ) / (n-1)

โดยที่rคือเวกเตอร์ของเศษเหลือr = (x1 -, x2 - , …., Xn - ) และจุดหนา (•) คือตัวดำเนินการดอทผลิตภัณฑ์ หรือสามารถเขียนสูตรความแปรปรวนได้ดังนี้:

s ² = ∑ (x _ผม -) ² / (n-1)

ไม่ว่าในกรณีใดควรสังเกตว่าเมื่อคำนวณค่าเฉลี่ยของกำลังสองของเศษเหลือจะหารด้วย (n-1) ไม่ใช่ด้วย n เนื่องจากตามที่กล่าวไว้ในหัวข้อก่อนหน้าจำนวนองศาอิสระของเวกเตอร์rคือ ( n-1)

หากสำหรับการคำนวณความแปรปรวนนั้นหารด้วย n แทน (n-1) ผลลัพธ์จะมีอคติที่มีนัยสำคัญมากสำหรับค่า n ที่น้อยกว่า 50

ในวรรณคดีสูตรความแปรปรวนยังปรากฏขึ้นพร้อมกับตัวหาร n แทน (n-1) เมื่อพูดถึงความแปรปรวนของประชากร

แต่ชุดของตัวแปรสุ่มของส่วนที่เหลือซึ่งแสดงโดยเวกเตอร์rแม้ว่าจะมีมิติ n แต่ก็มีองศาอิสระ (n-1) เท่านั้น อย่างไรก็ตามหากจำนวนข้อมูลมากพอ (n> 500) สูตรทั้งสองจะมาบรรจบกันเป็นผลลัพธ์เดียวกัน

เครื่องคำนวณและสเปรดชีตให้ความแปรปรวนทั้งสองเวอร์ชันและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (ซึ่งเป็นรากที่สองของความแปรปรวน)

คำแนะนำของเราในมุมมองของการวิเคราะห์ที่นำเสนอนี้คือการเลือกเวอร์ชันที่มี (n-1) ทุกครั้งที่จำเป็นต้องใช้ในการคำนวณความแปรปรวนหรือส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานเพื่อหลีกเลี่ยงผลลัพธ์ที่เอนเอียง

ในการแจกแจงไคสแควร์

การแจกแจงความน่าจะเป็นบางส่วนในตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่เรียกว่าองศาอิสระนี่คือกรณีของการแจกแจงไคสแควร์ (χ ² )

ชื่อของพารามิเตอร์นี้มาจากระดับความเป็นอิสระของเวกเตอร์สุ่มพื้นฐานที่ใช้การแจกแจงนี้

สมมติว่าเรามีประชากร g ซึ่งเป็นตัวอย่างขนาด n:

X ₁ = (x1 ₁ , x1 ₂ … ..x1 _n )

X2 = (x2 ₁ , x 2 ₂ … ..x2 _n )

…

X _J = (XJ ₁ , XJ ₂ … ..xj _n )

…

Xg = (xg ₁ , xg ₂ , … ..xg _n )

ประชากร j ที่มีค่าเฉลี่ย และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน Sj ตามด้วยการแจกแจงปกติ N ( , Sj).

ตัวแปรมาตรฐานหรือตัวแปรมาตรฐาน zj _iถูกกำหนดให้เป็น:

zj _ฉัน = (xj _ฉัน - ) / Sj.

และเวกเตอร์Zjถูกกำหนดดังนี้:

Zj = ( zj ₁ , zj ₂ , …, zj _i , …, zj _n ) และเป็นไปตามการแจกแจงปกติมาตรฐาน N (0,1)

ดังนั้นตัวแปร:

Q = ((z1 ₁ ^ 2 + z2 ₁ ^ 2 + …. + Zg ₁ ^ 2), …., (Z1 _n ^ 2 + z2 _n ^ 2 + …. + Zg _n ^ 2))

ตามการแจกแจงχ ² (g) เรียกว่าการแจกแจงแบบไคสแควร์โดยมีระดับอิสระ g

ในการทดสอบสมมติฐาน (พร้อมตัวอย่างแก้ไข)

เมื่อคุณต้องการทดสอบสมมติฐานจากข้อมูลสุ่มชุดหนึ่งคุณจำเป็นต้องทราบจำนวนองศาอิสระ g เพื่อใช้การทดสอบไคสแควร์

รูปที่ 2 ความสัมพันธ์ระหว่างความชอบของรสชาติไอศกรีมกับเพศของลูกค้าหรือไม่? ที่มา: F. Zapata

ตัวอย่างเช่นข้อมูลที่รวบรวมเกี่ยวกับความชอบของไอศกรีมช็อกโกแลตหรือสตรอเบอร์รี่ของชายและหญิงในร้านไอศกรีมบางแห่งจะได้รับการวิเคราะห์ ความถี่ที่ผู้ชายและผู้หญิงเลือกสตรอเบอร์รี่หรือช็อกโกแลตสรุปไว้ในรูปที่ 2

ขั้นแรกให้คำนวณตารางความถี่ที่คาดไว้ซึ่งจัดทำขึ้นโดยการคูณจำนวนแถวทั้งหมดด้วยจำนวนคอลัมน์ทั้งหมดหารด้วยข้อมูลทั้งหมด ผลลัพธ์จะแสดงในรูปต่อไปนี้:

รูปที่ 3. การคำนวณความถี่ที่คาดหวังตามความถี่ที่สังเกตได้ (ค่าเป็นสีน้ำเงินในรูปที่ 2) ที่มา: F. Zapata

จากนั้นคำนวณ Chi square (จากข้อมูล) โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

χ ² = ∑ (F _o - F _e ) ² / F _e

โดยที่ F _oคือความถี่ที่สังเกตได้ (รูปที่ 2) และ F _eคือความถี่ที่คาดหวัง (รูปที่ 3) ผลรวมจะอยู่เหนือแถวและคอลัมน์ทั้งหมดซึ่งในตัวอย่างของเราให้สี่คำ

หลังจากดำเนินการคุณจะได้รับ:

χ ² = 0.2043

ตอนนี้จำเป็นต้องเปรียบเทียบกับ Chi square ตามทฤษฎีซึ่งขึ้นอยู่กับจำนวนองศาอิสระ g

ในกรณีของเราตัวเลขนี้ถูกกำหนดดังนี้:

g = (# แถว - 1) (#columns - 1) = (2 - 1) (2 - 1) = 1 * 1 = 1

ปรากฎว่าจำนวนองศาอิสระ g ในตัวอย่างนี้คือ 1

หากคุณต้องการตรวจสอบหรือปฏิเสธสมมติฐานว่าง (H0: ไม่มีความสัมพันธ์ระหว่าง TASTE และ GENDER) ที่มีระดับนัยสำคัญ 1% ค่าไคสแควร์ทางทฤษฎีจะคำนวณด้วยระดับอิสระ g = 1

หาค่าที่ทำให้ความถี่สะสม (1 - 0.01) = 0.99 นั่นคือ 99% ค่านี้ (ซึ่งหาได้จากตาราง) คือ 6,636

เนื่องจาก Chi ทางทฤษฎีมีค่าเกินค่าที่คำนวณได้จึงมีการตรวจสอบสมมติฐานว่าง

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือเมื่อรวบรวมข้อมูลแล้วจะไม่มีการสังเกตความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร TASTE และ GENDER

อ้างอิง

1. Minitab ระดับความอิสระคืออะไร? ดึงมาจาก: support.minitab.com.
2. มัวร์เดวิด (2552) สถิติประยุกต์พื้นฐาน. บรรณาธิการ Antoni Bosch
3. ลีห์เจนนิเฟอร์ วิธีคำนวณองศาอิสระในแบบจำลองทางสถิติ สืบค้นจาก: geniolandia.com
4. วิกิพีเดีย ระดับเสรีภาพ (สถิติ) สืบค้นจาก: es.wikipedia.com
5. วิกิพีเดีย ระดับความอิสระ (ทางกายภาพ) สืบค้นจาก: es.wikipedia.com