การแปลงฟูเรียร์: คุณสมบัติการใช้งานตัวอย่าง - เลข

การแปลงฟูริเยร์เป็นวิธีการวิเคราะห์ที่เพียงพอสำหรับฟังก์ชันเชิงบูรณาการซึ่งเป็นของตระกูลของการแปลงอินทิกรัล ประกอบด้วยการกำหนดฟังก์ชันใหม่ f (t) ในแง่ของ Cos (t) และ Sen (t)

อัตลักษณ์ทางตรีโกณมิติของฟังก์ชันเหล่านี้ร่วมกับการได้มาและลักษณะการต่อต้านการทำงานของฟังก์ชันเหล่านี้ทำหน้าที่กำหนดการแปลงฟูริเยร์ผ่านฟังก์ชันที่ซับซ้อนดังต่อไปนี้:

ซึ่งจะเป็นจริงตราบใดที่นิพจน์นั้นสมเหตุสมผลนั่นคือเมื่ออินทิกรัลที่ไม่เหมาะสมมาบรรจบกัน ในเชิงพีชคณิตการแปลงฟูเรียร์กล่าวได้ว่าเป็นชีวธรรมชาติเชิงเส้น

ทุกฟังก์ชันที่สามารถทำงานร่วมกับการแปลงฟูริเยร์ต้องแสดงค่าว่างนอกพารามิเตอร์ที่กำหนด

คุณสมบัติ

ที่มา: pexels

การแปลงฟูเรียร์ตรงตามคุณสมบัติต่อไปนี้:

การดำรงอยู่

ในการตรวจสอบการมีอยู่ของการแปลงฟูเรียร์ในฟังก์ชัน f (t) ที่กำหนดไว้ในเรียลRต้องปฏิบัติตามสัจพจน์ 2 ข้อต่อไปนี้:

f (t) ต่อเนื่องทีละชิ้นสำหรับRทั้งหมด
f (t) สามารถรวมได้ในR

เส้นตรงของการเปลี่ยนแปลงฟูเรียร์

ให้ M (t) และ N (t) เป็นสองฟังก์ชันที่มีการแปลงฟูริเยร์แน่นอนโดยมีค่าคงที่ a และ b

F (z) = a F (z) + b F (z)

ซึ่งได้รับการสนับสนุนโดยความเป็นเชิงเส้นของอินทิกรัลของชื่อเดียวกัน

การแปลงฟูเรียร์ของอนุพันธ์

มีฟังก์ชัน f ที่ต่อเนื่องและสามารถรวมได้ในทุกเรียลโดยที่:

และอนุพันธ์ของ f (f ') นั้นต่อเนื่องและกำหนดทีละชิ้นตลอดR

การแปลงฟูริเยร์ของอนุพันธ์ถูกกำหนดโดยการรวมโดยส่วนต่างๆโดยนิพจน์ต่อไปนี้:

F (z) = iz F (z)

ในรูปแบบของลำดับที่สูงขึ้นจะถูกนำไปใช้ในลักษณะคล้ายคลึงกันโดยที่เรามี n 1 ทั้งหมด:

F (z) = (iz) ⁿF (z)

ความแตกต่างของการแปลงฟูเรียร์

มีฟังก์ชัน f ที่ต่อเนื่องและสามารถรวมได้ในทุกเรียลโดยที่:

การแปลงฟูเรียร์ของการแปล

สำหรับทุกθที่เป็นของเซต S และTที่เป็นของเซต S 'เรามี:

F = e ^-iay FF = e ^-iax F

ด้วยτ _การทำงานเป็นตัวดำเนินการแปลบนเวกเตอร์ก.

การแปลการแปลงฟูเรียร์

สำหรับทุกθที่เป็นของเซต S และTที่เป็นของเซต S 'เรามี:

τ _ก F = F τ _ก F = F

สำหรับทั้งหมดของที่เป็นของR

การแปลงฟูเรียร์ของกลุ่มมาตราส่วน

สำหรับθทั้งหมดที่เป็นของเซต S. Tที่เป็นของเซต S '

λเป็นของR - {0}เรามี:

F = (1 / -λ-) F ( y / λ )

F = (1 / -λ-) F (y / λ )

ถ้า f เป็นฟังก์ชันที่ต่อเนื่องและรวมได้อย่างชัดเจนโดยที่ a> 0 แล้ว:

F (z) = (1 / ก) F (z / a)

เพื่อแสดงผลลัพธ์นี้เราสามารถดำเนินการเปลี่ยนแปลงตัวแปรได้

เมื่อ T → + แล้ว s = ที่→ + ∞

เมื่อ T → - แล้ว s = ที่→ - ∞

สมมาตร

ในการศึกษาความสมมาตรของการแปลงฟูเรียร์ต้องมีการตรวจสอบเอกลักษณ์ของ Parseval และสูตร Plancherel

เรามีθและδที่เป็นของS.จากที่นั่นสามารถอนุมานได้ว่า:

การเดินทาง

1 / (2π) ^d { F, F } Parseval identity

1 / (2π) ^{d / 2} - F - _L²_R^dสูตร Plancherel

การแปลงฟูเรียร์ของผลิตภัณฑ์คอนโวลูชั่น

ตามวัตถุประสงค์ที่คล้ายคลึงกันในการแปลงลาปลาซการแปลงฟังก์ชันหมายถึงผลิตภัณฑ์ระหว่างการแปลงฟูเรียร์ของพวกเขา

เรามี f และ g เป็น 2 ฟังก์ชันที่มีขอบเขตกำหนดและรวมเข้าด้วยกันได้อย่างสมบูรณ์:

F (f * g) = F (ฉ) F (ก.)

F (ฉ) F (g) = F (ฉ G)

ความต่อเนื่องและตกอยู่ในความไม่มีที่สิ้นสุด

การแปลงฟูเรียร์มีไว้เพื่ออะไร?

ทำหน้าที่หลักในการทำให้สมการง่ายขึ้นอย่างมากในขณะที่การแปลงนิพจน์ที่ได้มาเป็นองค์ประกอบกำลังแสดงถึงนิพจน์ที่แตกต่างในรูปแบบของพหุนามเชิงปริพันธ์

ในการเพิ่มประสิทธิภาพการมอดูเลตและการสร้างแบบจำลองของผลลัพธ์จะทำหน้าที่เป็นนิพจน์มาตรฐานซึ่งเป็นแหล่งข้อมูลที่ใช้บ่อยสำหรับงานวิศวกรรมหลังจากหลายชั่วอายุคน

อนุกรมฟูริเยร์

เป็นอนุกรมที่กำหนดในรูปแบบของโคไซน์และไซน์ พวกเขาทำหน้าที่อำนวยความสะดวกในการทำงานกับฟังก์ชันประจำงวดทั่วไป เมื่อนำไปใช้เป็นส่วนหนึ่งของเทคนิคการแก้สมการเชิงอนุพันธ์สามัญและสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

อนุกรมฟูเรียร์มีความกว้างมากกว่าอนุกรมเทย์เลอร์เนื่องจากมีการพัฒนาฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องเป็นระยะซึ่งไม่มีการแสดงอนุกรมเทย์เลอร์

อนุกรมฟูริเยร์ในรูปแบบอื่น ๆ

เพื่อทำความเข้าใจการแปลงฟูริเยร์ในเชิงวิเคราะห์สิ่งสำคัญคือต้องทบทวนรูปแบบอื่น ๆ ที่สามารถพบอนุกรมฟูริเยร์ได้จนกว่าจะกำหนดอนุกรมฟูริเยร์ในสัญกรณ์ที่ซับซ้อนได้

-Fourier series ในฟังก์ชันของคาบเวลา 2L

หลายครั้งจำเป็นต้องปรับโครงสร้างของอนุกรมฟูริเยร์ให้เป็นฟังก์ชันคาบที่มีคาบคือ p = 2L> 0 ในช่วงเวลา

-Fourier ซีรีส์ในฟังก์ชันคี่และคู่

มีการพิจารณาช่วงเวลาซึ่งมีข้อดีเมื่อใช้ประโยชน์จากลักษณะสมมาตรของฟังก์ชัน

ถ้า f เท่ากันอนุกรมฟูเรียร์จะถูกกำหนดเป็นอนุกรมของโคไซน์

ถ้า f เป็นเลขคี่อนุกรมฟูริเยร์จะถูกสร้างเป็นอนุกรมของไซน์

- สัญกรณ์ที่ซับซ้อนของอนุกรมฟูริเยร์

หากเรามีฟังก์ชัน f (t) ซึ่งตรงตามข้อกำหนดความสามารถในการพัฒนาทั้งหมดของอนุกรมฟูริเยร์เป็นไปได้ที่จะแสดงเป็นช่วงเวลาโดยใช้สัญกรณ์ที่ซับซ้อน:

การประยุกต์ใช้งาน

ที่มา: pexels

การคำนวณวิธีแก้ปัญหาพื้นฐาน

การแปลงฟูเรียร์เป็นเครื่องมือที่ทรงพลังในการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยของชนิดเชิงเส้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์คงที่ พวกเขาใช้สำหรับฟังก์ชันที่มีโดเมนที่ไม่ถูกผูกไว้อย่างเท่าเทียมกัน

เช่นเดียวกับการแปลงลาปลาซการแปลงฟูริเยร์จะแปลงฟังก์ชันอนุพันธ์ย่อยบางส่วนให้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์สามัญที่ง่ายกว่ามากในการทำงาน

ปัญหา Cauchy สำหรับสมการความร้อนแสดงเขตข้อมูลของการประยุกต์ใช้การแปลงฟูริเยร์บ่อยๆซึ่งนิวเคลียสของความร้อนหรือนิวเคลียสของไดริชเลตถูกสร้างขึ้น

เกี่ยวกับการคำนวณวิธีแก้ปัญหาพื้นฐานจะมีการนำเสนอกรณีต่อไปนี้ซึ่งเป็นเรื่องปกติที่จะพบการแปลงฟูริเยร์:

ทฤษฎีสัญญาณ

เหตุผลทั่วไปสำหรับการประยุกต์ใช้การแปลงฟูริเยร์ในสาขานี้ส่วนใหญ่เกิดจากลักษณะการสลายตัวของสัญญาณเป็นการซ้อนทับที่ไม่มีที่สิ้นสุดของสัญญาณที่รักษาได้ง่ายกว่า

อาจเป็นคลื่นเสียงหรือคลื่นแม่เหล็กไฟฟ้าการแปลงฟูเรียร์จะแสดงออกในรูปคลื่นที่เรียบง่ายซ้อนทับกัน การแสดงนี้ค่อนข้างบ่อยในวิศวกรรมไฟฟ้า

ในทางกลับกันเป็นตัวอย่างของการประยุกต์ใช้การแปลงฟูริเยร์ในด้านทฤษฎีสัญญาณ:

ตัวอย่าง

ตัวอย่าง 1

กำหนดการแปลงฟูริเยร์สำหรับนิพจน์ต่อไปนี้:

เรายังสามารถแสดงได้ด้วยวิธีต่อไปนี้:

F (เสื้อ) = Sen (เสื้อ)

มีการกำหนดพัลส์สี่เหลี่ยม:

p (เสื้อ) = H _{(t + k)} - H _{(t - k)}

การแปลงฟูเรียร์ถูกนำไปใช้กับนิพจน์ต่อไปนี้ซึ่งคล้ายกับทฤษฎีบทการมอดูเลต

f (เสื้อ) = p (เสื้อ) เสน (เสื้อ)

ที่ไหน: F = (1/2) i

และการแปลงฟูเรียร์ถูกกำหนดโดย:

F = (1/2) i

ตัวอย่าง 2

กำหนดการแปลงฟูริเยร์สำหรับนิพจน์:

เนื่องจาก f (h) เป็นฟังก์ชันคู่จึงสามารถระบุได้ว่า

การอินทิเกรตตามส่วนถูกนำไปใช้โดยการเลือกตัวแปรและส่วนต่างดังต่อไปนี้

u = บาป (zh) du = z cos (zh) dh

DV = h (E ^-h ) ² v = (E ^-h ) ² /2

แทนที่คุณมี

หลังจากการประเมินภายใต้ทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส

การใช้ความรู้เดิมเกี่ยวกับสมการเชิงอนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งนิพจน์จะแสดงเป็น

เพื่อให้ได้ K เราประเมิน

ในที่สุดการแปลงฟูเรียร์ของนิพจน์ถูกกำหนดให้เป็น

แบบฝึกหัดที่เสนอ

รับการแปลงนิพจน์ W / (1 + w ² )

อ้างอิง

Duoandikoetxea Zuazo, J. , การวิเคราะห์ฟูริเยร์. Addison– Wesley Iberoamericana, Autonomous University of Madrid, 1995
Lions, JL, การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และวิธีการเชิงตัวเลขสำหรับวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี Springer - Verlag, 1990
Lieb, EH, Gaussian kernels มีเพียง maximizers แบบเกาส์เซียนเท่านั้น คิดค้น. คณิตศาสตร์. 102 , 179-208, 2533
Dym, H. , McKean, HP, Fourier Series และ Integrals สำนักพิมพ์วิชาการนิวยอร์ก 2515
Schwartz, L. , Théorie des Distributions. เอ็ดเฮอร์มันน์ปารีส 2509

การแปลงฟูเรียร์: คุณสมบัติการใช้งานตัวอย่าง - เลข - 2025