กฎ Sarrusใช้ในการคำนวณผลมาจาก 3 × 3 ปัจจัย สิ่งเหล่านี้ใช้เพื่อแก้สมการเชิงเส้นและดูว่าเข้ากันได้หรือไม่
ระบบที่เข้ากันได้ช่วยให้รับโซลูชันได้ง่ายขึ้น นอกจากนี้ยังใช้เพื่อพิจารณาว่าเซตของเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้นหรือไม่และเพื่อสร้างพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์
แอปพลิเคชันเหล่านี้ขึ้นอยู่กับความไม่กลับด้านของเมทริกซ์ ถ้าเมทริกซ์เป็นแบบปกติดีเทอร์มิแนนต์จะแตกต่างจาก 0 ถ้าเป็นเอกพจน์ดีเทอร์มิแนนต์จะเท่ากับ 0 ดีเทอร์มิแนนต์สามารถคำนวณได้ในเมทริกซ์กำลังสองเท่านั้น
ในการคำนวณเมทริกซ์ของคำสั่งใด ๆ สามารถใช้ทฤษฎีบทของลาปลาซ ทฤษฎีบทนี้ช่วยให้เราสามารถลดความซับซ้อนของเมทริกซ์ที่มีขนาดสูงได้โดยรวมของดีเทอร์มิแนนต์ขนาดเล็กที่เราย่อยสลายจากเมทริกซ์หลัก
ระบุว่าดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เท่ากับผลรวมของผลคูณของแต่ละแถวหรือคอลัมน์คูณด้วยดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เสริม
สิ่งนี้จะลดดีเทอร์มิแนนต์เพื่อให้ดีเทอร์มิแนนต์ของดีกรี n กลายเป็นดีเทอร์มิแนนต์ของ n-1 หากเราใช้กฎนี้อย่างต่อเนื่องเราจะได้รับดีเทอร์มิแนนต์ของมิติที่ 2 (2 × 2) หรือ 3 (3 × 3) ซึ่งการคำนวณจะง่ายกว่ามาก
กฎ Sarrus
Pierre Frederic Sarrus เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 19 บทความทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ของเขาใช้วิธีการแก้สมการและแคลคูลัสของการแปรผันภายในสมการตัวเลข
ในบทความของเขาเขาได้ไขปริศนาที่ซับซ้อนที่สุดในกลศาสตร์ เพื่อแก้ปัญหาของชิ้นส่วนที่ประกบกัน Sarrus ได้แนะนำการเปลี่ยนแปลงของการเคลื่อนไหวแนวเส้นตรงทางเลือกในการเคลื่อนไหวแบบวงกลมที่สม่ำเสมอ ระบบใหม่นี้เรียกว่ากลไก Sarrus
งานวิจัยที่ทำให้นักคณิตศาสตร์คนนี้มีชื่อเสียงมากที่สุดคือการที่เขาแนะนำวิธีการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์แบบใหม่ในบทความ "Nouvelles méthodes pour la résolution des équations" (วิธีใหม่ในการแก้สมการ) ซึ่งตีพิมพ์ใน ปี 1833 วิธีการแก้สมการเชิงเส้นนี้เรียกว่ากฎของซาร์รัส
กฎของ Sarrus ช่วยให้เราสามารถคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ 3 × 3 ได้โดยไม่จำเป็นต้องใช้ทฤษฎีบทของลาปลาซแนะนำวิธีที่ง่ายกว่าและใช้งานง่ายกว่ามาก ในการตรวจสอบค่าของกฎของ Sarrus เราใช้เมทริกซ์ของมิติที่ 3:
การคำนวณดีเทอร์มิแนนต์จะดำเนินการโดยใช้ผลคูณของเส้นทแยงมุมหลักลบผลคูณของเส้นทแยงมุมผกผัน สิ่งนี้จะเป็นดังนี้:
กฎของ Sarrus ช่วยให้เราได้รับการมองเห็นที่ง่ายขึ้นมากเมื่อคำนวณเส้นทแยงมุมของดีเทอร์มิแนนต์ มันจะง่ายขึ้นโดยการเพิ่มสองคอลัมน์แรกที่ด้านหลังของเมทริกซ์ ด้วยวิธีนี้จะเห็นได้ชัดเจนยิ่งขึ้นว่าเส้นทแยงมุมใดเป็นเส้นทแยงมุมหลักและเป็นเส้นผกผันสำหรับการคำนวณผลิตภัณฑ์
จากภาพนี้เราสามารถเห็นการประยุกต์ใช้กฎของ Sarrus เรารวมแถวที่ 1 และ 2 ไว้ด้านล่างการแสดงกราฟิกของเมทริกซ์เริ่มต้น ด้วยวิธีนี้เส้นทแยงมุมหลักคือเส้นทแยงมุมสามเส้นที่ปรากฏก่อน
ในทางกลับกันเส้นทแยงมุมสามเส้นคือเส้นที่ปรากฏก่อนด้านหลัง
ด้วยวิธีนี้เส้นทแยงมุมจะปรากฏในรูปแบบที่มองเห็นได้ชัดเจนขึ้นโดยไม่ทำให้ความละเอียดของดีเทอร์มีแนนต์ซับซ้อนขึ้นพยายามค้นหาว่าองค์ประกอบใดของเมทริกซ์ที่อยู่ในเส้นทแยงมุมแต่ละเส้น
ตามที่ปรากฏในภาพเราเลือกเส้นทแยงมุมและคำนวณผลคูณที่ได้ของแต่ละฟังก์ชัน เส้นทแยงมุมที่ปรากฏเป็นสีน้ำเงินคือเส้นที่บวกกัน ในผลรวมของสิ่งเหล่านี้เราลบค่าของเส้นทแยงมุมที่ปรากฏเป็นสีแดง
เพื่อให้การบีบอัดง่ายขึ้นเราสามารถใช้ตัวอย่างตัวเลขแทนการใช้คำศัพท์เกี่ยวกับพีชคณิตและคำย่อย
ถ้าเราใช้เมทริกซ์ 3 × 3 ใด ๆ ตัวอย่างเช่น:
ในการใช้กฎของ Sarrus และแก้ปัญหาด้วยวิธีที่มองเห็นได้ชัดเจนขึ้นเราควรรวมแถวที่ 1 และ 2 เป็นแถวที่ 4 และ 5 ตามลำดับ สิ่งสำคัญคือต้องรักษาแถวที่ 1 ในตำแหน่งที่ 4 และแถวที่ 2 ในตำแหน่งที่ 5 เนื่องจากถ้าเราแลกเปลี่ยนมันกฎซาร์รัสจะไม่มีผล
ในการคำนวณดีเทอร์มิแนนต์เมทริกซ์ของเราจะเป็นดังนี้:
เพื่อดำเนินการคำนวณต่อไปเราจะคูณองค์ประกอบของเส้นทแยงมุมหลัก ลูกหลานที่เริ่มจากทางซ้ายจะมีสัญญาณบวก ในขณะที่เส้นทแยงมุมผกผันซึ่งเริ่มจากทางขวามีเครื่องหมายลบ
ในตัวอย่างนี้สีน้ำเงินจะมีเครื่องหมายบวกและสีแดงมีเครื่องหมายลบ การคำนวณขั้นสุดท้ายของกฎ Sarrus จะมีลักษณะดังนี้:
ประเภทของดีเทอร์มิแนนต์
ตัวกำหนดมิติ 1
ถ้ามิติของเมทริกซ์คือ 1 เมทริกซ์จะมีลักษณะดังนี้ A = (a)
ดังนั้นดีเทอร์มีแนนต์จะเป็นดังนี้ det (A) = -A- = a
โดยสรุปแล้วดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ A เท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเมทริกซ์ A ซึ่งในกรณีนี้คือ a
ตัวกำหนดมิติ 2
หากเราผ่านไปยังเมทริกซ์ของมิติที่ 2 เราจะได้เมทริกซ์ประเภท:
โดยที่ดีเทอร์มิแนนต์ถูกกำหนดเป็น:
ความละเอียดของดีเทอร์มิแนนต์นี้ขึ้นอยู่กับการคูณของเส้นทแยงมุมหลักลบผลคูณของเส้นทแยงมุมผกผัน
ในฐานะผู้ช่วยจำเราสามารถใช้แผนภาพต่อไปนี้เพื่อจดจำดีเทอร์มิแนนต์:
ตัวกำหนดมิติ 3
ถ้ามิติของเมทริกซ์คือ 3 เมทริกซ์ที่ได้จะเป็นประเภทนี้:
ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์นี้จะได้รับการแก้ไขผ่านกฎของ Sarrus ด้วยวิธีนี้:
อ้างอิง
- Jenny Olive (1998) คณิตศาสตร์: คู่มือการอยู่รอดของนักเรียน สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์
- Richard J.Brown (2012) คณิตศาสตร์ 30 วินาที: 50 ทฤษฎีที่ขยายใจมากที่สุดในคณิตศาสตร์ ไอวี่เพรส จำกัด
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann
- Awol Assen (2013) การศึกษาเกี่ยวกับการคำนวณตัวกำหนดของเมทริกซ์ 3 × 3 สำนักพิมพ์วิชาการแลปแลมเบิร์ต.
- Anthony Nicolaides (1994) ปัจจัยกำหนดและเมทริกซ์. ผ่านสิ่งพิมพ์
- Jesse Russell (2012) กฎของ Sarrus.
- M. Casteleiro Villalba (2004) พีชคณิตเชิงเส้นเบื้องต้น. บรรณาธิการ ESIC