อนุพันธ์บางส่วน: สัญกรณ์ตัวอย่างและแบบฝึกหัดที่มีการแก้ไข - เลข - 2025

อนุพันธ์ของฟังก์ชั่นหลายตัวแปรเป็นผู้ที่กำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชั่นเมื่อหนึ่งในตัวแปรที่มีการเปลี่ยนแปลงเล็กในขณะที่ตัวแปรอื่น ๆ ยังคงไม่เปลี่ยนแปลง

เพื่อให้แนวคิดเป็นรูปธรรมมากขึ้นสมมติว่ากรณีของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว: z = f (x, y) อนุพันธ์ย่อยบางส่วนของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x คำนวณเป็นอนุพันธ์สามัญเทียบกับ x แต่รับตัวแปร y ราวกับว่ามันเป็นค่าคงที่

รูปที่ 1. ฟังก์ชัน f (x, y) และอนุพันธ์บางส่วน∂ _x f y ∂ _y f ที่จุด P (อธิบายโดยR.Pérezพร้อม geogebra)

สัญกรณ์อนุพันธ์บางส่วน

การดำเนินการอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน f (x, y) บนตัวแปร x แสดงด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งดังต่อไปนี้:

ในอนุพันธ์บางส่วนสัญลักษณ์∂ (ชนิดของตัวอักษรกลม d เรียกอีกอย่างว่า Jacobi's d) ซึ่งตรงข้ามกับอนุพันธ์ธรรมดาสำหรับฟังก์ชันตัวแปรเดียวที่ใช้ตัวอักษร d สำหรับอนุพันธ์

โดยทั่วไปอนุพันธ์บางส่วนของฟังก์ชันหลายตัวแปรเมื่อเทียบกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งส่งผลให้เกิดฟังก์ชันใหม่ในตัวแปรเดียวกันของฟังก์ชันเดิม:

∂ _x f (x, y) = ก (x, y)

∂ _y f (x, y) = h (x, y)

การคำนวณและความหมายของอนุพันธ์ย่อย

ในการกำหนดอัตราการเปลี่ยนแปลงหรือความชันของฟังก์ชันสำหรับจุดเฉพาะ (x = a, y = b) ในทิศทางขนานกับแกน X:

1- ฟังก์ชัน∂ _x f (x, y) = g (x, y) ถูกคำนวณโดยหาอนุพันธ์สามัญในตัวแปร x และปล่อยให้ตัวแปร y คงที่หรือคงที่

2- จากนั้นค่าของจุด x = a และ y = b จะถูกแทนที่ซึ่งเราต้องการทราบอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันในทิศทาง x:

{ลาดไปในทิศทาง x ที่จุด (a, b)} = ∂ _x f (a, b)

3- ในการคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงในทิศทาง y ที่จุดพิกัด (a, b) ให้คำนวณ∂ _และ f (x, y) = h (x, y) ก่อน

4- จากนั้นจุด (x = a, y = b) จะถูกแทนที่ในผลลัพธ์ก่อนหน้าเพื่อให้ได้:

{ลาดในทิศทาง y ที่จุด (a, b)} = ∂ _y f (a, b)

ตัวอย่างของอนุพันธ์บางส่วน

ตัวอย่างบางส่วนของอนุพันธ์บางส่วนมีดังนี้:

ตัวอย่าง 1

รับฟังก์ชั่น:

f (x, y) = -x ^ 2 - y ^ 2 + 6

ค้นหาอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x และตัวแปร y

สารละลาย:

∂ xf = -2x

∂ yf = -2y

โปรดทราบว่าในการคำนวณอนุพันธ์ย่อยของฟังก์ชัน f เทียบกับตัวแปร x อนุพันธ์สามัญที่เกี่ยวข้องกับ x จะดำเนินการ แต่ตัวแปร y ถูกนำมาใช้ราวกับว่าเป็นค่าคงที่ ในทำนองเดียวกันในการคำนวณอนุพันธ์ย่อยของ f เทียบกับ y ตัวแปร x ถูกนำมาใช้ราวกับว่ามันเป็นค่าคงที่

ฟังก์ชัน f (x, y) คือพื้นผิวที่เรียกว่าพาราโบลาที่แสดงในรูปที่ 1 ด้วยสีเหลือง

ตัวอย่าง 2

ค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลง (หรือความชัน) ของฟังก์ชัน f (x, y) จากตัวอย่างที่ 1 ในทิศทางของแกน X และแกน Y สำหรับจุด (x = 1, y = 2)

วิธีแก้ไข: ในการค้นหาความลาดชันในทิศทาง x และ y ที่จุดที่กำหนดเพียงแค่แทนที่ค่าของจุดลงในฟังก์ชัน∂ _x f (x, y) และในฟังก์ชัน∂ _y f (x, y):

∂ _x f (1,2) = -2⋅ 1 = -2

∂ _และ f (1,2) = -2⋅ 2 = -4

รูปที่ 1 แสดงเส้นสัมผัส (สีแดง) กับเส้นโค้งที่กำหนดโดยจุดตัดของฟังก์ชัน f (x, y) กับระนาบ y = 2 ความชันของเส้นนี้คือ -2 รูปที่ 1 ยังแสดงเส้นสัมผัส (สีเขียว) กับเส้นโค้งที่กำหนดจุดตัดของฟังก์ชัน f กับระนาบ x = 1; เส้นนี้มีความชัน -4

การออกกำลังกาย

แบบฝึกหัด 1

แก้วทรงกรวยในช่วงเวลาที่กำหนดบรรจุน้ำเพื่อให้พื้นผิวของน้ำมีรัศมี r และความลึก h แต่แก้วมีรูเล็ก ๆ ที่ด้านล่างซึ่งน้ำจะสูญเสียไปในอัตรา C ลูกบาศก์เซนติเมตรต่อวินาที กำหนดอัตราการสืบเชื้อสายจากผิวน้ำเป็นหน่วยเซนติเมตรต่อวินาที

สารละลาย:

ก่อนอื่นคุณต้องจำไว้ว่าปริมาณน้ำในช่วงเวลาที่กำหนดคือ:

ปริมาตรเป็นฟังก์ชันของสองตัวแปรรัศมี r และความลึก h: V (r, h)

เมื่อปริมาตรเปลี่ยนแปลงโดย dV ปริมาณน้อยรัศมี r ของผิวน้ำและความลึก h ของน้ำจะเปลี่ยนไปตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

dV = ∂ _r V dr + ∂ _h V dh

เราดำเนินการคำนวณอนุพันธ์บางส่วนของ V เทียบกับ r และ h ตามลำดับ:

∂ _r V = ∂ _r (⅓π r ^ 2 h) = ⅔π rh

∂ _h V = ∂ _h (⅓π r ^ 2 h) = ⅓π r ^ 2

นอกจากนี้รัศมี r และความลึก h ตรงตามความสัมพันธ์ดังต่อไปนี้:

การหารสมาชิกทั้งสองตามผลต่างเวลา dt ให้:

dV / dt = π r ^ 2 (dh / dt)

แต่ dV / dt คือปริมาตรของน้ำที่สูญเสียไปต่อหนึ่งหน่วยเวลาซึ่งทราบว่าเป็น C เซนติเมตรต่อวินาทีในขณะที่ dh / dt คืออัตราการลดลงของพื้นผิวที่เป็นอิสระซึ่งจะเรียกว่า v นั่นคือผิวน้ำในทันทีที่กำหนดลงมาด้วยความเร็ว v (เป็น cm / s) กำหนดโดย:

v = C / (π r ^ 2)

ในการประยุกต์ใช้ตัวเลขสมมติว่า r = 3 cm, h = 4 cm และอัตราการรั่วไหล C คือ 3 cm ^ 3 / s จากนั้นความเร็วของการตกลงมาของพื้นผิวในทันทีนั้นคือ:

v = 3 / (π 3 ^ 2) = 0.11 ซม. / วินาที = 1.1 มม. / วินาที

แบบฝึกหัด 2

The Clairaut - Schwarz theorem ระบุว่าหากฟังก์ชันมีความต่อเนื่องในตัวแปรอิสระและอนุพันธ์บางส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวแปรอิสระนั้นต่อเนื่องกันดังนั้นอนุพันธ์แบบผสมลำดับที่สองก็สามารถแลกเปลี่ยนกันได้ ตรวจสอบทฤษฎีบทนี้สำหรับฟังก์ชัน

f (x, y) = x ^ 2 y นั่นคือมันต้องเป็นจริงว่าf _xy f = ∂ _yx f

สารละลาย:

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) ในขณะที่∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f)

∂ _x f = 2 xy; ∂ _y f = x ^ 2

∂ _xy f = ∂ _x (∂ _y f) = 2x

∂ _yx f = ∂ _y (∂ _x f) = 2x

ทฤษฎีบทของชวาร์ซได้รับการพิสูจน์แล้วว่าถือได้เนื่องจากฟังก์ชัน f และอนุพันธ์บางส่วนต่อเนื่องกันสำหรับจำนวนจริงทั้งหมด

อ้างอิง

1. Frank Ayres, J. , & Mendelson, E. (2000). การคำนวณ 5ed. Mc Graw Hill
2. Leithold, L. (1992). การคำนวณด้วยเรขาคณิตวิเคราะห์ ฮาร์ลา, SA
3. Purcell, EJ, Varberg, D. , & Rigdon, SE (2007) การคำนวณ เม็กซิโก: การศึกษาของเพียร์สัน.
4. แสนซ, เจ. (2548). แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ ด้านของสามเหลี่ยม
5. แสนซ. (2549). แคลคูลัสเชิงปริพันธ์ ด้านของสามเหลี่ยม
6. วิกิพีเดีย อนุพันธ์บางส่วน สืบค้นจาก: es.wikipedia.com