คะแนน COPLANAR: สมการตัวอย่างและแบบฝึกหัดที่แก้ไขได้ - คณิตศาสตร์ - 2025

จุดในระนาบเดียวกันทั้งหมดอยู่ในระนาบเดียวกัน จุดสองจุดเป็นฉากกั้นเสมอเนื่องจากจุดเหล่านี้กำหนดเส้นที่เครื่องบินไม่มีที่สิ้นสุดผ่าน จากนั้นทั้งสองจุดเป็นของเครื่องบินแต่ละลำที่ผ่านเส้นดังนั้นพวกเขาจะเป็น coplanar เสมอ

ในทางกลับกันจุดสามจุดกำหนดระนาบเดียวจากนั้นจุดสามจุดจะเป็น coplanar กับระนาบที่พวกเขากำหนดเสมอ

รูปที่ 1. A, B, C และ D เป็น coplanar กับระนาบ (Ω) E, F และ G ไม่ใช่ coplanar ถึง (Ω) แต่เป็น coplanar ของระนาบที่พวกเขากำหนด ที่มา: F. Zapata

มากกว่าสามจุดสามารถเป็น coplanar หรือไม่ ตัวอย่างเช่นในรูปที่ 1 จุด A, B, C และ D คือ coplanar กับระนาบ (Ω) แต่ E, F และ G ไม่ใช่ coplanar ถึง (Ω) แม้ว่าจะเป็น coplanar กับระนาบที่พวกเขากำหนด

สมการของเครื่องบินให้สามจุด

สมการของระนาบที่กำหนดโดยจุดที่ทราบสามจุด A, B, C เป็นความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่รับประกันว่าจุด P ใด ๆ ที่มีพิกัดทั่วไป (x, y, z) ที่เติมเต็มสมการเป็นของระนาบดังกล่าว

คำสั่งก่อนหน้านี้เทียบเท่ากับการบอกว่าถ้า P ของพิกัด (x, y, z) เป็นไปตามสมการของระนาบจุดดังกล่าวจะเป็น coplanar ด้วยจุดสามจุด A, B, C ที่กำหนดระนาบ

ในการหาสมการของระนาบนี้เริ่มต้นด้วยการหาเวกเตอร์ABและAC :

AB =

AC =

ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์AB X ACส่งผลให้เวกเตอร์ตั้งฉากหรือปกติกับระนาบที่กำหนดโดยจุด A, B, C

จุด P ของพิกัดใด ๆ (x, y, z) เป็นของระนาบถ้าเวกเตอร์APตั้งฉากกับเวกเตอร์AB X ACซึ่งรับประกันได้หาก:

AP • (AB X AC) = 0

เท่ากับเป็นการบอกว่าผลคูณสามของAP , ABและACเป็นศูนย์ สมการข้างต้นสามารถเขียนในรูปแบบเมทริกซ์:

ตัวอย่าง

ให้คะแนน A (0, 1, 2); B (1, 2, 3); C (7, 2, 1) และ D (a, 0, 1) ต้องมีค่าอะไรบ้างสำหรับจุดทั้งสี่ที่จะเป็น coplanar?

สารละลาย

ในการหาค่าของ a จุด D ต้องเป็นส่วนหนึ่งของระนาบที่กำหนดโดย A, B และ C ซึ่งรับประกันได้ว่าเป็นไปตามสมการของระนาบหรือไม่

การพัฒนาดีเทอร์มิแนนต์ที่เรามี:

สมการก่อนหน้านี้บอกเราว่า a = -1 สำหรับการเติมเต็มความเท่าเทียมกัน กล่าวอีกนัยหนึ่งวิธีเดียวที่จุด D (a, 0,1) คือ coplanar ที่มีจุด A, B และ C คือเพื่อให้เป็น -1 มิฉะนั้นจะไม่เป็น coplanar

แบบฝึกหัดที่แก้ไข

- แบบฝึกหัด 1

ระนาบตัดแกนคาร์ทีเซียน X, Y, Z ที่ 1, 2 และ 3 ตามลำดับ จุดตัดของระนาบนี้กับแกนกำหนดจุด A, B และ C ค้นหาส่วนประกอบ Dz ของจุด D ซึ่งมีส่วนประกอบของคาร์ทีเซียน:

โดยมีเงื่อนไขว่า D คือ coplanar ที่มีจุด A, B และ C

สารละลาย

เมื่อทราบการสกัดกั้นของระนาบที่มีแกนคาร์ทีเซียนสามารถใช้รูปแบบแบ่งส่วนของสมการของเครื่องบินได้:

x / 1 + y / 2 + z / 3 = 1

เนื่องจากจุด D ต้องเป็นของระนาบก่อนหน้าจึงต้อง:

-Dz / 1 + (Dz + 1) / 2 + Dz / 3 = 1

กล่าวคือ:

-Dz + Dz / 2 + ½ + Dz / 3 = 1

Dz (-1 + ½ + ⅓) = ½

Dz (-1 / 6⅙) = ½

Dz = -3

จากด้านบนจะเป็นไปตามจุด D (3, -2, -3) คือ coplanar ที่มีจุด A (1, 0, 0); B (0, 2, 0) และ C (0, 0, 3)

- แบบฝึกหัด 2

ตรวจสอบว่าจุด A (0, 5, 3); B (0, 6, 4); C (2, 4, 2) และ D (2, 3, 1) เป็น coplanar

สารละลาย

เราสร้างเมทริกซ์ที่มีแถวเป็นพิกัดของ DA, BA และ CA จากนั้นจะคำนวณดีเทอร์มิแนนต์และตรวจสอบว่าเป็นศูนย์หรือไม่

หลังจากทำการคำนวณทั้งหมดแล้วสรุปได้ว่าเป็น coplanar

- แบบฝึกหัด 3

มีสองบรรทัดในอวกาศ หนึ่งในนั้นคือเส้น (R) ซึ่งมีสมการพาราเมตริก:

และอีกเส้นคือเส้น (S) ที่มีสมการคือ:

แสดงว่า (R) และ (S) เป็นเส้นร่วมกันนั่นคืออยู่ในระนาบเดียวกัน

สารละลาย

เริ่มต้นด้วยการกำหนดจุดสองจุดบนเส้น (R) และสองจุดบนเส้น (S):

เส้น (R): λ = 0; A (1, 1, 1) และλ = 1; ข (3, 0, 1)

ให้ x = 0 บนบรรทัด (S) => y = ½; C (0, ½, -1) และในทางกลับกันถ้าเราสร้าง y = 0 => x = 1; D (1, 0, -1)

นั่นคือเราได้นำจุด A และ B ที่เป็นของเส้น (R) และจุด C และ D ที่เป็นของเส้น (S) ถ้าจุดเหล่านั้นเป็น coplanar เส้นทั้งสองก็จะเกินไป

ตอนนี้เราเลือกจุด A เป็นเดือยจากนั้นเราจะหาพิกัดของเวกเตอร์AB , ACและAD ด้วยวิธีนี้คุณจะได้รับ:

B - A: (3-1, 0 -1, 1 - 1) => AB = (2, -1, 0)

C - A: (0-1, 1/2 -1, -1 - 1) => AC = (-1, -1/2, -2)

D - A: (1-1, 0 -1, -1 - 1) => AD = (0, -1, -2)

ขั้นตอนต่อไปคือการสร้างและคำนวณดีเทอร์มิแนนต์ที่มีแถวแรกเป็นสัมประสิทธิ์ของเวกเตอร์ABแถวที่สองคือACและแถวที่สามของเวกเตอร์AD :

เนื่องจากดีเทอร์มิแนนต์กลายเป็นโมฆะดังนั้นเราจึงสามารถสรุปได้ว่าจุดทั้งสี่คือโคพลานาร์ นอกจากนี้ยังสามารถระบุได้ว่าเส้น (R) และ (S) เป็น coplanar ด้วย

- แบบฝึกหัด 4

เส้น (R) และ (S) เป็นโครงสร้างร่วมดังที่แสดงในแบบฝึกหัด 3 ค้นหาสมการของระนาบที่มี

สารละลาย

จุด A, B, C กำหนดระนาบนั้นอย่างสมบูรณ์ แต่เราต้องการกำหนดให้จุด X ของพิกัด (x, y, z) เป็นของมัน

เพื่อให้ X อยู่ในระนาบที่กำหนดโดย A, B, C และมีเส้น (R) และ (S) อยู่จำเป็นต้องสร้างดีเทอร์มิแนนต์ในแถวแรกโดยส่วนประกอบของAXในแถวที่สอง โดยABและในสามโดยAC :

ตามผลลัพธ์นี้เราจัดกลุ่มในลักษณะนี้:

2 (x-1) + 4 (y-1) -2 (z-1) = 0

และทันทีที่คุณเห็นว่าสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

x - 1 + 2y - 2 - z + 1 = 0

ดังนั้น x + 2y - z = 2 คือสมการของระนาบที่มีเส้น (R) และ (S)

อ้างอิง

1. Fleming, W. 1989. คณิตศาสตร์ Precalculus. Prentice Hall PTR.
2. Kolman, B. 2549. พีชคณิตเชิงเส้น. การศึกษาของเพียร์สัน.
3. Leal, JM 2005. เรขาคณิตวิเคราะห์แบบแบน. เมริดา - เวเนซุเอลา: กองบรรณาธิการ Venezolana CA
4. Navarro, Rocio เวกเตอร์ ดึงมาจาก: books.google.co.ve.
5. เปเรซซีดี 2549 การคำนวณล่วงหน้า การศึกษาของเพียร์สัน.
6. Prenowitz, W. 2012. แนวคิดพื้นฐานของเรขาคณิต. Rowman & Littlefield
7. Sullivan, M. 1997. Precalculus. การศึกษาของเพียร์สัน.