- ผลิตภัณฑ์และตัวอย่างที่โดดเด่น
- ทวินามกำลังสอง
- ผลคูณของทวินามผัน
- ผลคูณของทวินามสองรายการที่มีคำทั่วไป
- พหุนามกำลังสอง
- ทวินามลูกบาศก์
- ลูกบาศก์ของไตรโนเมียล
- แก้ไขแบบฝึกหัดของผลิตภัณฑ์ที่มีชื่อเสียง
- แบบฝึกหัด 1
- สารละลาย
- แบบฝึกหัด 2
- สารละลาย
- อ้างอิง
ผลิตภัณฑ์ที่โดดเด่นมีการดำเนินงานเกี่ยวกับพีชคณิตที่คูณของพหุนามจะแสดงซึ่งไม่จำเป็นต้องได้รับการแก้ไขแบบดั้งเดิม แต่ด้วยความช่วยเหลือของกฎระเบียบบางอย่างผลของเดียวกันที่สามารถพบได้
พหุนามจะคูณด้วยใช่ดังนั้นจึงเป็นไปได้ว่ามีจำนวนคำและตัวแปรจำนวนมาก เพื่อให้กระบวนการสั้นลงจึงใช้กฎผลคูณที่โดดเด่นซึ่งอนุญาตให้คูณได้โดยไม่ต้องไปทีละคำ
ผลิตภัณฑ์และตัวอย่างที่โดดเด่น
ผลิตภัณฑ์เด่นแต่ละรายการเป็นสูตรที่เป็นผลมาจากการแยกตัวประกอบซึ่งประกอบด้วยพหุนามหลายคำเช่นทวินามหรือตรีนามเรียกว่าแฟกเตอร์
ปัจจัยเป็นฐานของอำนาจและมีเลขชี้กำลัง เมื่อคูณปัจจัยแล้วต้องเพิ่มเลขชี้กำลัง
มีสูตรผลิตภัณฑ์ที่น่าทึ่งหลายสูตรบางสูตรใช้มากกว่าสูตรอื่น ๆ ขึ้นอยู่กับพหุนามและมีดังต่อไปนี้:
ทวินามกำลังสอง
มันคือการคูณของทวินามด้วยตัวมันเองโดยแสดงเป็นเลขยกกำลังโดยที่เงื่อนไขจะถูกเพิ่มหรือลบ:
ถึง. ทวินามผลรวมกำลังสอง: มันเท่ากับกำลังสองของเทอมแรกบวกผลคูณสองของเทอมบวกกำลังสองของเทอมที่สอง แสดงดังนี้:
(a + b) 2 = (a + b) * (a + b)
ในรูปต่อไปนี้คุณจะเห็นว่าผลิตภัณฑ์พัฒนาไปอย่างไรตามกฎข้างต้น ผลลัพธ์เรียกว่าไตรโนเมียลของกำลังสองสมบูรณ์
ตัวอย่าง 1
(x + 5) ² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5) ² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5) ² = x² + 10x + 25
ตัวอย่าง 2
(4a + 2b) = (4a) 2 + 2 (4a * 2b) + (2b) 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 2 (8ab) + 4b 2
(4a + 2b) = 8a 2 + 16 ab + 4b 2 .
ข. ทวินามของการลบกำลังสอง:ใช้กฎเดียวกันของทวินามของผลรวมเฉพาะในกรณีนี้คำที่สองเป็นลบ สูตรดังต่อไปนี้:
(a - b) 2 = 2
(a - b) 2 = a 2 + 2a * (-b) + (-b) 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2 .
ตัวอย่าง 1
(2x - 6) 2 = (2x) 2 - 2 (2x * 6) + 6 2
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 2 (12x) + 36
(2x - 6) 2 = 4x 2 - 24x + 36
ผลคูณของทวินามผัน
ทวินามสองตัวจะถูกรวมเข้าด้วยกันเมื่อเงื่อนไขที่สองของแต่ละคำมีเครื่องหมายต่างกันนั่นคือคำแรกเป็นบวกและค่าลบที่สองหรือในทางกลับกัน แก้ไขได้โดยการยกกำลังสองแบบโมโนเมียลและการลบ สูตรดังต่อไปนี้:
(a + b) * (a - b)
ในรูปต่อไปนี้จะมีการพัฒนาผลคูณของทวินามแบบผันสองตัวซึ่งสังเกตได้ว่าผลลัพธ์คือความแตกต่างของกำลังสอง
ตัวอย่าง 1
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b 2 )
(2a + 3b) (2a - 3b) = 4a 2 - 9b 2 .
ผลคูณของทวินามสองรายการที่มีคำทั่วไป
เป็นผลิตภัณฑ์เด่นที่ซับซ้อนและไม่ค่อยมีใครใช้มากที่สุดเนื่องจากเป็นการคูณของทวินามสองตัวที่มีคำทั่วไป กฎระบุสิ่งต่อไปนี้:
- กำลังสองของคำทั่วไป
- บวกผลรวมของคำศัพท์ที่ไม่เหมือนกันแล้วคูณด้วยคำทั่วไป
- บวกกับผลรวมของการคูณของเงื่อนไขที่ไม่ธรรมดา
แสดงในสูตร: (x + a) * (x + b) และได้รับการพัฒนาดังที่แสดงในภาพ ผลลัพธ์คือไตรโนเมียลกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x 2 + 15x + 54
มีความเป็นไปได้ที่พจน์ที่สอง (เทอมที่แตกต่างกัน) จะเป็นลบและมีสูตรดังนี้: (x + a) * (x - b)
ตัวอย่าง 2
(7x + 4) * (7x - 2) = (7x * 7x) + (4 - 2) * 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + (2) * 7x - 8
(7x + 4) * (7x - 2) = 49x 2 + 14x - 8
นอกจากนี้ยังสามารถเป็นกรณีที่ทั้งสองคำที่แตกต่างกันเป็นลบ สูตรของมันจะเป็น: (x - a) * (x - b)
ตัวอย่างที่ 3
(3b - 6) * (3b - 5) = (3b * 3b) + (-6 - 5) * (3b) + (-6 * -5)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 + (-11) * (3b) + (30)
(3b - 6) * (3b - 5) = 9b 2 - 33b + 30
พหุนามกำลังสอง
ในกรณีนี้มีมากกว่าสองคำและในการพัฒนาแต่ละคำจะถูกยกกำลังสองและบวกพร้อมกับการคูณสองเทอมของหนึ่งเทอมกับอีกคำหนึ่ง สูตรของมันคือ: (a + b + c) 2และผลลัพธ์ของการดำเนินการคือไตรโนเมียลกำลังสอง
ตัวอย่าง 1
(3x + 2y + 4z) 2 = (3x) 2 + (2y) 2 + (4z) 2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z) 2 = 9x 2 + 4y 2 + 16z 2 + 12xy + 24xz + 16yz
ทวินามลูกบาศก์
เป็นผลิตภัณฑ์ที่ซับซ้อนอย่างน่าทึ่ง ในการพัฒนาทวินามจะถูกคูณด้วยกำลังสองดังนี้:
ถึง. สำหรับทวินามลูกบาศก์ของผลรวม:
- ลูกบาศก์ของเทอมแรกบวกสามเท่าของเทอมแรกคูณสอง
- บวกกับสามของเทอมแรกคูณสองกำลังสอง
- บวกลูกบาศก์ของเทอมสอง.
(a + b) 3 = (a + b) * (a + b) 2
(a + b) 3 = (a + b) * (ก2 + 2ab + b 2 )
(a + b) 3 = a 3 + 2a 2 b + ab 2 + ba 2 + 2ab 2 + b 3
(A + B) 3 = a 3 + 3a 2 B + 3AB 2 + B 3
ตัวอย่าง 1
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (3) 2 + (3) 3
(a + 3) 3 = a 3 + 3 (a) 2 * (3) + 3 (a) * (9) + 27
(a + 3) 3 = a 3 + 9 ก2 + 27a + 27
ข. สำหรับทวินามลูกบาศก์ของการลบ:
- ลูกบาศก์ของเทอมแรกลบสามเท่าของกำลังสองของเทอมแรกคูณสอง
- บวกกับสามของเทอมแรกคูณสองกำลังสอง
- ลบลูกบาศก์ของเทอมที่สอง
(a - b) 3 = (a - b) * (a - b) 2
(a - b) 3 = (a - b) * (a 2 - 2ab + b 2 )
(a - b) 3 = a 3 - 2a 2 b + ab 2 - ba 2 + 2ab 2 - b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 .
ตัวอย่าง 2
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (-5) 2 + (-5) 3
(b - 5) 3 = b 3 + 3 (b) 2 * (-5) + 3 (b) * (25) -125
(b - 5) 3 = b 3 - 15b 2 + 75b - 125
ลูกบาศก์ของไตรโนเมียล
พัฒนาโดยการคูณด้วยกำลังสอง มันเป็นผลิตภัณฑ์ที่น่าทึ่งมากเพราะคุณมี 3 เทอมที่เป็นลูกบาศก์บวกสามเท่าของแต่ละเทอมกำลังสองคูณด้วยแต่ละเทอมบวกผลคูณหกเท่าของสามเทอม เห็นในทางที่ดีขึ้น:
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (a + b + c) 2
(a + b + c) 3 = (a + b + c) * (ก2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + 3a 2 c + 3ac 2 + 3b 2 c + 3bc 2 + 6abc
ตัวอย่าง 1
แก้ไขแบบฝึกหัดของผลิตภัณฑ์ที่มีชื่อเสียง
แบบฝึกหัด 1
ขยายทวินามลูกบาศก์ต่อไปนี้: (4x - 6) 3 .
สารละลาย
จำไว้ว่าทวินามลูกบาศก์เท่ากับเทอมแรกคีบลบสามเท่าของกำลังสองของเทอมแรกคูณสอง บวกสามของเทอมแรกคูณสองกำลังสองลบลูกบาศก์ของเทอมที่สอง
(4x - 6) 3 = (4x) 3 - 3 (4x) 2 (6) + 3 (4x) * (6) 2 - (6) 2
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 3 (16x 2 ) (6) + 3 (4x) * (36) - 36
(4x - 6) 3 = 64x 3 - 288x 2 + 432x - 36
แบบฝึกหัด 2
พัฒนาทวินามต่อไปนี้: (x + 3) (x + 8)
สารละลาย
มีทวินามที่มีคำทั่วไปซึ่งก็คือ x และเทอมที่สองเป็นบวก ในการพัฒนาคุณต้องยกกำลังสองของคำทั่วไปบวกผลรวมของคำที่ไม่เหมือนกัน (3 และ 8) จากนั้นคูณด้วยคำทั่วไปบวกผลรวมของการคูณของคำศัพท์ที่ไม่เหมือนกัน
(x + 3) (x + 8) = x 2 + (3 + 8) x + (3 * 8)
(x + 3) (x + 8) = x 2 + 11x + 24
อ้างอิง
- แองเจิล, AR (2007). พีชคณิตเบื้องต้น. เพียร์สันการศึกษา,.
- อาเธอร์กู๊ดแมน LH (2539) พีชคณิตและตรีโกณมิติกับเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์. การศึกษาของเพียร์สัน.
- Das, S. (nd). Maths Plus 8. สหราชอาณาจักร: Ratna Sagar.
- Jerome E.Kaufmann, KL (2011). พีชคณิตระดับประถมศึกษาและระดับกลาง: แนวทางผสมผสาน ฟลอริดา: Cengage Learning
- เปเรซ, ซีดี (2010). การศึกษาของเพียร์สัน.